Stress functions in three-dimensional elastodynamics

Summary

After a historical sketch concerning the introduction of potential functions in elastodynamics, and its basic equations, a representation in terms of stresses is given with the aid of six stress functions, which are components of a symmetric stress tensor, of the second order (Schaefer's tensor) and satisfy the equation of transverse wave propagation, and with the aid of another stress function. It is also shown that this representation is equivalent to the representations given byM. Iacovache [1] andE. Sternberg andR. A. Eubanks [2] and that it is complete (each state of displacement and stress corresponding to, the problem can be expressed in this form) for a simply connected region.

The case of arbitrary body forces as well as the case of conservative body forces are also considered. The corresponding particular integrals are obtained in the form of distributions with the aid of integral transforms of the Laplace and Fourier type. The results can therefore be applied to the case of concentrated loads.

In particular, the case of a concentrated force as well as the case of a concentrated nucleus of space dilatation are treated. The latter case can be expressed in terms of conservative body forces.

Zusammenfassung

Auf eine kurze geschichtliche Beschreibung der Einführung von Potentialfunktionen in der Elastokinetik und deren Grundgleichungen folgt eine Darstellung in Spannungen mit Hilfe von sechs Spannungsfunktionen, die Komponenten eines symmetrischen Spannungstensors zweiter Ordnung (Schaefer-Tensor) sind, der die Fortpflanzungsgleichung der transversalen Wellen befriedigt, sowie mittels einer anderen Spannungsfunktion. Anschließend wird gezeigt, daß diese Darstellung den vonM. Iacovache [1] undE. Sternberg undR. A. Eubanks [2] stammenden äquivalent und für einen einfach zusammenhängenden Bereich komplett ist (jeder der Aufgabe entsprechende Verschiebungs-und Spannungszustand läßt sich in dieser Form ausdrücken).

Es werden ferner der Fall beliebiger Volumenkräfte und derjenige konservativer Volumenkräfte behandelt. Es wird der Weg zur Auffindung der entsprechenden partikulären Integrale in Form von Distributionen mittels der Laplaceschen und Fourierschen Integraltransformierten gezeigt; die Resultate lassen sich somit auch bei Einzellasten anwenden.

Im besonderen werden der Fall einer Einzelkraft sowie der eines räumlichen Dilatationszentrums erörtert. Diese letztere Einzellast kann durch konservative Volumenkräfte ausgedrückt werden.