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References
Math. Annalen87 (1922) und89 (1923).
Auf diese werden wir uns hier beinahe allein zu berufen Gelegenheit haben, und das soll unter Benutzung der Abkürzung Ann. mit Beifügung der in Frage kommenden Nummer geschehen.
Dieser Gesichtspunkt gab Veranlassung zu meiner ersten Arbeit. Über andere Gesichtspunkte siehe Helmholtz, Erkenntnistheoretische Schriften, erläutert von M. Schlick und P. Hertz, Berlin 1921, S. 57.
Während die Makrosätze verbal durch Sätze wiedergegeben werden können, die ein “wenn” enthalten, entsprechen die Mikrosätze Sätzen, die ein “weil” enthalten.
Es kann natürlich ein anderes Zeichen als die für die Hauptglieder verwandten Zeichen doch dieselbe Bedeutung haben wie eines von diesen und würde dann eben entgegen dem äußeren Anschein kein akzessorisches Element bedeuten.
Über eine Rechtfertigung dieser Festsetzungen siehe eine Mitteilung in den “Annalen der Philosophie”7 (1928), S. 272.
Die obersten Sätzebrauchen nicht alle in dem Beweis vorzukommen.
Ann. Nr. 65.
Nach dieser Definition würde also in einem reduzierten Beweis für e nur dann ein Schluß von der Form e/e vorkommen können, wenn e tautologisch oder oberster Satz ist (vgl. Anm. 8).
Ann. Nr. 38.
Diese Definition ist genetisch, während die frühere entsprechende (Ann. Nr. 38) definierende Eigenschaften des fertigen Systems angab. Auch sachlich stimmt die frühere Definition nicht ganz mit der jetzigen überein.
Von Hilbert (Math. Annalen88 (1923), S. 158) Fäden genannt. In meiner früheren Arbeit habe ich beliebige Stücke der hier als Kette bezeichneten Gebilde als Teilketten bezeichnet. (Nr. 37.) (In meiner Arbeit Math. Annalen87 (1922) wurde das Wort Kette in einem ganz anderen Sinne gebraucht.)
In einem reduzierten Beweis gibt es nureine o-Kette.
Vgl. E. Schröder,, S. 625.
Solche Sätze und Verknüpfungsregeln bildeten den Gegenstand meiner Abhandlung Math. Annalen87 (1922).
Noch ehe ich mich mit dieser Untersuchung beschäftigte, hat mir Herr Fritz London mitgeteilt, daß er Satzsysteme ohne unabhängige Axiomensysteme gefunden habe; nachdem ich das oben angeführte Beispiel gefunden hatte, teilte er mir das weiter unten wiedergegebene Beispiel mit.
Siehe Anm. Noch ehe ich mich mit dieser Untersuchung beschäftigte, hat mir Herr Fritz London mitgeteilt, daß er Satzsysteme ohne unabhängige Axiomensysteme gefunden habe; nachdem ich das oben angeführte Beispiel gefunden hatte, teilte er mir das weiter unten wiedergegebene Beispiel mit.
Zu denen also auch der unmittelbare Schluß und der Syllogismus mit mehreren Untersätzen gehört und mit Obersätzen, die akzessorische Elemente enthalten.
Siehe Ann. Nr. 57.
Hiervon überzeugt man sich leicht mit Hilfe einer einfachen überlegung. Auch folgt die Behauptung aus einem später zu beweisenden Satz (a. S. 480).
Den Namen wählen wir in Anlehnung an den Sprachgebrauch der Logiker. Doch findet sich die von ihnen als goklenischer Kettenschluß bezeichnete Beweisanordnung schon in dem Kommentar zu Aristoteles' erster Analytik von Alexander von Aphrodisias (Ausgabe von Wallis, Berlin 1883, S. 283 Z. 7–9; S. 284 Z. 20–28; S. 285 Z. 26–28, Z. 31–33).
Nicht nur gleichlautend mit solchen.
Es können daneben noch Schlußsysteme zu einem nicht-reduzierten Normal beweis gehören, die dieser Bedingung nicht genügen.
Dies ist in meiner früheren Arbeit (Ann. Nr. 54) geschehen; nur war die dort gegebene Darstellung in einem Punkte unvollständig, auf den hier aufmerksam gemacht werden soll. Es wurde die Transformation in den Normalbeweis sukzessive vorgenommen, und zwar wurde bei jedem Schritt ein aus zwei Schlüssen des gegebenen Schlußsystems bestehender Teil-selbst ein Schlußsystem—in, ein solches Schlußsystem umgewandelt, daß innerhalb des Gesamtschlußsystems ein Obersatz verschwindet, und dafür neue Obersätze von geringerer Ordnungszahl auftreten. Aber es wurde nicht berücksichtigt, daß infolge der Transformation die Konklusion des herausgegriffenen Teiles eine größere Ordnungszahl erhalten könnte, und somit auch ein späterer Obersatz. Indes genügt es, wenn man bei jedem Schritt zur Transformation solche Teilschlußsysteme auswählt, deren Konklusion mit der Konklusion Gesamtschlußsystems durch eineu-Kette verbunden ist. Näher hierauf einzugehen, ist nicht erforderlich, da im Text ein anderer Beweis für die Überführbarkeit von Beweisen in aristotelische Normalbeweise gegeben werden soll.
Ist dagegen das System unendlich, so kann es schon unendlich viel Sätze von der nullten Stufe (Axiome) geben, so daß ein anderer gar nicht erreicht wird.
Darauf, daß die Anwendung unseres Verfahrens bedenklich sein könnte, wenn das vorgegebene Satzsystem unendlich ist, bin ich durch eine Bemerkung von P. Bernays aufmerksam geworden.
Eben das Antezedens des zur Prüfung vorgelegten Satzes.
Jedes Element ist also entweder ausgezeichnet oder nicht. Das würde vom intuitionistischen Standpunkt nicht gelten für unendliche Satzsysteme, weshalb wir uns erst (s. oben) ein endliches abgeschlossenes System herstellen mußten.
Siehe Ann. Nr. 73.
Solche Sätze, damals als Sätze ersten Grades bezeichnet, und solche Schlüsse habe ich in meiner Arbeit Math. Annalen87 (1922) betrachtet.
Oder auch, was dasselbe ist: Fügt man nach Vorgabe eines Elementenbereiches zu einem System linearer Sätze alle durch lineare Schlüsse daraus folgenden, sodann alle durch unmittelbare Schlüsse sich aus dem so ergänzten System ergebenden hinzu, so entsteht ein abgeschlossenes System.
Hier können wir noch eine sehr einfache von Herrn P. Bernays herrührende Überlegung anführen: Deutet man die das→-Zeichen enthaltenden Symbole als Aussage, daß ein Bereich, falls er das Antezedens enthält, auch das Sukzedens enthalten muß (man beweist dann leicht die Gültigkeit unserer Schlußregeln), so zeigt der Elementenbereicha 1,a 2,...,a,θ daß alle Axiome außera 1...a θ→a θ+1 erfüllt sein können, dieser Satz aber nicht. Ebenso zeigt der aus demeinen Elementa θ (θ>2) bestehende Bereich, daß alle Axiome erfüllt werden können, außer dem Satza θ→a θ−1. Das System I″ II″ muß also unabhängig sein.
Ann. Nr. 94; dort wurde der Satz nur für endliche abgeschlossene Systeme ausgesprochen; indes ist der Beweis nicht auf diesen Fall beschränkt.
Man wird die hier gegebene Definition der Mikro-und Makrosätze reichlich abstrakt finden und weit abgelegen von dem, worauf die eigentlich bestimmt ist, angewandt zu werden. Indes ist diese Einführung nach reiflicher Überlegung als die am zweckmäßigsten scheinende gewählt worden. Worauf aber die hier definierten Begriffe angewandt werden sollen, ersieht man aus der Einleitung (S. 459, vgl. auch S. 488).
Es ist hier gleichgültig, ob wir die Menge von Elementen von II als ein Element ansehen, das von () betroffen wird, oder ob wir deren Elemente als das von () Betroffene ansehen, wobei es aber auf die Anordnung ankommt.
Siehe vorige Anmerkung.
Einen assoziierten Satz wollen wir alsonicht als subassoziiert bezeichnen.
Offenbar gibt es kein abgeschlossenes Makrosystem mit nur endlich vielen Sätzen; nur wenn wir unsere Definitionen ändern und ausdrücklich verlangen, daß jedes θ stets mit derselben Zahl von Untorgliedern verbunden sein soll (S. 487), kann es endliche abgeschlossene Makrosysteme geben.
Es hätte nahe gelegen, von vornherein neben unseren sechs Grundbereichen (S. 485) noch einen Bereich von Makroobersätzen und einen Bereich von Makroantezedentia zu betrachten. Doch haben wir davon Abstand genommen, weil wir nur in diesem Paragraphen Gebrauch von diesen Gebilden machen werden, und müssen sie daher als Mengen von den entsprechenden Mikrogebilden einführen. Man hätte auch wohl als Oberglieder bzw. Antezedentia dieSymbole bezeichnen können, die in der Darstellung der betreffenden Makrogebilde vorkommen; doch würde das nicht recht zur sonstigen Darstellung gepaßt haben.
Für unseren Fall genügt es sogar, zu fordern, daß jede nicht-tautologische Prämisse identisch mit einer früheren Konklusion oder einem obersten Satz ist oder aus einem obersten Satz durch Bindung hervorgeht.
Vgl. die entsprechenden Betrachtungen in Hilberts Beweistheorie Math-Annalen93 (1924), S. 6.
Genau entsprechend beweist man: Besitzt ein Satzsystem zwei verschiedene unabhängige Axiomensysteme, so gibt es mindestens ineinem einen Satz, der nicht in dem andern enthalten ist, und von dem auch kein Derivat in dem andern vorkommt.
Es ist unnötig hinzuzusetzen, daß auch dann nicht ein Axiomensystem entstehen darf, wenn außerdem noch einige Axiome durch ihre Derivate ersetzt werden. — Unsere Forderung 2″ gilt auch dann als nicht erfüllt, wenn durch die Ersetzung ein nicht-unabhängiges Axiomensystem entsteht.
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Hertz, P. Über Axiomensysteme für beliebige Satzsysteme. Math. Ann. 101, 457–514 (1929). https://doi.org/10.1007/BF01454856
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