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References
„Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven. I”. Math. Ann. Bd. 67, pag. 145–224. Außer dieser Arbeit werde ich folgende weiteren Arbeiten von mir zu zitieren Veranlassung haben:
„Fonction potentielle et fonction analytique ayant un domaine d'existence donné à un nombre quelconque (fini ou infini) de feuillets.” Comptes Rendus, 1. Juni 1909.
„Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven. (Vierte Mitteilung)”, Gött. Nachr. 31. Juli 1909.
Über die Hilbertsche Uniformisierungsmethode. Gött. Nachr., 26. Februar 1910.
„Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven durch automorphe Funktionen mit imaginärer Substitutionsgruppe (Fortsetzung und Schluß).” Gött. Nachr., 28. Mai 1910.
„Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven. Erster Teil: Das allgemeine Uniformisierungsprinzip.” Crelles Journal, Bd. 138, 1910. Ferner die in der Einleitung der Abhandlung I (Ann. 67 pag. 149) mit näherem Titel aufgeführten Arbeiten [I], [II] etc., welche ich zum Unterschiede von den vorher aufgeführten Arbeiten I–VI im folgenden durcheckige Klammern [..] kennzeichne. Ich erwähne sogleich auch folgende die Theorie der Uniformisierung betreffende oder berührende neuere Literatur, auf welche hinzuweisen sich unten mehrfach Gelegenheit bieten wird. D. Hilbert: „Zur Theorie der konformen Abbildung”. Gött. Nachr., 17. Juli 1909. Ferner dieGöttinger Dissertationen: L. Bieberbach: „Zur Theorie der automorphen Funktionen”. 1910. E. Freundlich: „Funktionen mit vorgeschriebenem unendlich-blättrigen Existenzbereich”. 1910. R. Courant: „Über die Anwendung des Dirichletschen Prinzipes auf die Probleme der konformen Abbildung”. 1910. Schließlich die Note: R. König: „Konforme Abbildung der Oberfläche einer räumlichen Ecke”. Gött. Nachr., 26. Februar 1910.
„Fonctions funchsiennes” (Poincaré), „Hauptkreisfunktionen” (Fricke-Klein).
x(t) undy(t) werden dabei „fonctions kleinéennes” (Poincaré, Acta math. t. 3), „Funktionen mit unendlich vielen isoliert liegenden Grenzpunkten” (Fricke-Klein).
Vgl. meine Arbeit I.
F. Klein, „Neue Beiträge zur Riemannschen Funktionentheorie”. Math. Ann. Bd. 21, 1883, pag. 141–218.
Schottky hat diesen Typus zum ersten Male in seiner Dissertation „Über die konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender ebener Flächen” (Berlin, 1875, Crelles Journal Bd. 83) betrachtet unter Beschränkung auf einen bestimmtensymmetrischen Fall. Später 1887, nach dem Vorgange von Poincaré und Klein (1881–1884), ist Schottky selbst auch auf den allgemeinen Fall automorpher Funktionen des betreffenden Typus eingegangen: „Über eine spezielle Funktion, welche bei einer bestimmten linearen Substitution ihres Arguments ungeändert bleibt”, Crelles Journal Bd. 101. Über sein Verhältnis zur Entdeckung des Uniformisierungstheorems äußert sich Schottky selbst in Math. Ann. Bd. 20, pag. 299 und Berliner Monatsberichte 1907, pag. 920 Fußnote.
Vgl. unten pag. 41.
Hilbert l.c. D. Hilbert: „Zur Theorie der konformen Abbildung”. Gött. Nachr., 17. Juli 1909. In dieser Arbeit des Herrn Hilbert sowie in den erwähnten Arbeiten II, III, VI des Verfassers wird überhaupt die Existenz des zu einer ganz beliebigen unendlich-vielblättrigen Riemannschen Fläche unendlich hohen Zusammenhangs gehörenden elektrischen Strömungspotentials bewiesen.
Wir werden bei dieser Untersuchung nur auf bekannte Typen elementarer Fundamentalbereiche geführt werden. Man vergl. Klein, Math. Ann. Bd. 21, sowie Fricke-Klein: „Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen” Bd. I, Leipzig, Teubner, 1897.
Schottky hat in seiner bekannten Dissertation „Über die konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender ebener Flächen” (Berlin 1875, umgearbeitet erschienen in Crelles Journal Bd. 83) nur einensymmetrischen Fall betrachtet, der allgemeine, nichtsymmetrische Fall ist zuerst von Poincaré (Comptes Rendus 1881, t. 2, pag. 44) betrachtet worden. Übrigens sei hier noch ausdrücklich bemerkt, daß wir uns nicht darauf beschränken dürfen, solche Fundamentalbereiche des Schottkyschen Typus zu betrachten, bei welchen die Begrenzung vonVollkreisen gebildet wird, vielmehr haben wir die von Klein (Math. Ann. Bd. 19 und 21) gewählte Allgemeinheit der Begrenzung innezuhalten. Nach Bieberbach (Dissertation § 11) ist es im allgemeinen nicht möglich, einen von 2p paarweise durch loxodromische Substitutionen aufeinander bezogenen Randkurven begrenzten Fundamentalbereich durch stetige Abänderung der Randkurven unter Beibehaltung der Randsubstitutionen in einen von 2p Vollkreisen begrenzten Fundamentalbereich überzuführen.
S. Fricke-Klein: Vorlesungen über automorphe Funktionen, Bd. I, pag. 234 ff; „Nichtrotationsgruppen mit zwei Grenzpunkten”.
Bezüglich der Existenz des vierten Viereckstypus s. Fricke-Klein 1. c. Vorlesungen über automorphe Funktionen, Bd. I, pag. 234 ff: „Nichtrotationsgruppen mit zwei Grenzpunkten”. pag. 236.
S. Hilfssatz I, pag. 26. Vgl. auch den Beweis des mit dem oben formulierten Hilfssatze analogen Satzes pag. 52, Hilfssatz V.
Man vergl. Poincarés ersten Konvergenzbeweis für die von ihm aufgestellten θ-Reihen. Acta Math. t. I, “Mémoire sur les fonctions fuchsiennes”.
Vergl. den pag. 27 zitierten Poincaréschen Konvergenzbeweis.
Klein, Math. Ann. Bd. 21. l. c. Vorlesungen über automorphe Funktionen, Bd. I, pag. 234 ff; „Nichtrotationsgruppen mit zwei Grenzpunkten”.
Klein, Math. Ann. Bd. 19 l. c. Vorlesungen über automorphe Funktionen, Bd. I, pag. 234 ff: „Nichtrotationsgruppen mit zwei Grenzpunkten”.
Die Abbildungsaufgabe, einen gegebeneneinblättrígen, mehrfach zusammenhängenden, analytisch begrenzten Bereich umkehrbar eindeutig und konform auf einen ebenfalls einblättrigen, von lauter geradlinigen untereinander parallelen endlichen Strecken begrenzten Bereich abzubilden, findet zum ersten Male in Schottkys Dissertation (Crelles Journal Bd 83) Erwähnung, doch wird sie daselbst nicht gelöst. Später gab Schottky in der Arbeit „Über die Wertschwankungen der harmonischen Funktionen usw.” (Crelles Journal Bd. 117) u. a. eine Lösung einer analogen Aufgabe, bei welcher die Abbildung auf einen von lauter konzentrischen Kreisbögen begrenzten Bereich stattfindet, eine Aufgabe, von welcher erstere Abbildungsaufgabe als Grenzfall aufgefaßt werden kann. Eine Lösung dieser ersteren Aufgabe hat auch Herr Cecioni in den Rendiconti di Palermo, 1907 mitgeteilt. Ich verweise schließlich noch auf meine Arbeit III, in welcher die erwähnten Sätze zugleich mit einem andern koordinierten Abbildungssatze ebenfalls bewiesen und aufunendlich vielfach zusammenhängende Bereiche ausgedehnt worden sind.
Vergl. den Verzerrungssat's für lineare Funktion pag. 26.
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Koebe, P. Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven. II. Math. Ann. 69, 1–81 (1910). https://doi.org/10.1007/BF01455152
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01455152