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Abhandlungen
Vgl. die „Voranzeige” der vorliegenden Abhandlung in den Gött. Nachr. 13. Jan. 1912; „Begründung der Kontinuitätsmethode im Gebiete der konformen Abbildung und Uniforminsierung”, welche wesentilich die bezüglichen Mitteilungen des Verfassers auf der Naturforscherversammlung in Karlsruhe (September 1911, s. Jahresbericht der D. M. V. 1912, S. 161–163) wiedergibt. S. auch die Note des Verfassers „Zur Begründung der Kontinuitätsmethode”. Sitzungsberichte Ak. Leipzig 1912, S. 59 ff.
Schläfli, „Über die allgemeine Möglichkeit der konformen Abbildung einer von Geraden begrenzten ebenen Figur auf eine halbebene”, Journal für Math.78, S. 63–80 (1874). Man lese besonders S. 63 u. 68. Noch vor Schläfli sind H. A. Schwarz und Weierstraß zu nennen (H. A. Schwarz, Ges. Abh. Bd. II, S. 77 oben und die Abhandlung über Tetraederabbilung Ges. Abh. S. 84 ff.).
Die Methode der „polygones limites” findet ein Vorbild bei H.A. Schwarz. in dessen Abhandlung „Konforme Abildung der Oberfläche eines Tetraeders auf die Oberfläche einer Kugel”. Journla für reine und augewandte Mahematik Bd. 70, 1869, S. 121 ff. Ges. Abh. Bd. II, S. 84 ff.
Vgl. auch meine bereits in „U. d. a. K. III.” (Einleitung, Fußnote) augeführten Noten: „Begründung der Kontinuitätsmethode im Gebiete der konformen Abbildung und Uniformisierung”, Gött. Nachr. 13. Jan. 1912, S. 879–886. „Zur Begründung der Kontinuitätsmethode”. Sitzungsb. Ak. Leipzig 1912, S. 59–62. „Referat über automorphe Funktionen und Uniformistierung”, der D. M. V. erstattet in Karlsruhe 1911. Jahresb. der D. M. V., 1912, S. 157–163, insb. S. 162 ff. Ich benütze diese Gelegenheit wieder zur Anführung der neu hinzugekommenen auf die Uniformisierung·BeZug habenden Literatur.
P. Koebe: I. „Über die Unifomrisierung de algebraischen Kurven. III. (Erster Beweis der allgemeinen Kleinschen Fundamentaltheoreme. Das iterierende Verfahren)”. Math. Ann.72 (1912), S 437–516.
II. Diskussionsbemerkungen im Anschluß an den Vortrag von D.Hilbert: „Begründung der elementaren Strahlungstheore”, S. 1054 der Phys. Zeitschrift, Jahrgang 1912. (Betrifft die Beziehung zwischen Uniformisierung und nichteuklidischer Geometrie) Vgl. dazu die Abhandlung
III. „Das Uniformisierungstheorem und seine Bedeutung für Funktionentheorie und nichteuklidische Goemtrie”. Lagrange-Band (Bd. 21, S. 57–64) der Annali di Matematica 1913.
IV. „Über die Uniromisierung der algebraischen Kurven. IV. (Zweiter Existenzbeweis der allgemeinen kanonischen uniformisierenden Variablen: Kontinuitätsmethode).” Math. Ann. 75 (1914), S. 42–129.
V. „Wesen und Ziele der Kontinuitätsmethode” (Vortrag, Naturforscherversammlung Wien, September 1913, erscheint im Jahresbericht der D. M. V.).
Ebenfalls sei hier von neuem hingewiesen auf den Bericht über, die Karlsruher Verhandlungen, betreffend die authomorhen Funktionen, im Jahresbericht der D. M. V.21 (1912), S. 153–166, insbesondere auf
P. Koebe: „Referat über automorphe Funktionen und Uniformisierung”, Jahresbericht der D. M. V.,21 (1912), S. 157–163.
Die Lektüre dieses Verhandlungsberichts eignet sich sehr zur algemeinen Orientierung über die um die Uniformisierungsprobleme sich gruppierende neueste Entwicklung in der Theorie der automorphen Funktionen.
Von anderer Seite nenne ic ferner: L. Bieberbach: „Bemerkungen zu den Mitteilungen über automorphe Funktionen”, Jahresbericht der D. M. V.,21 (1912), S. 164.
: „Über den Jordanschen Kurvensatz, die Schoenfließschen Sätze von Erriechbarkeit und Unbewalltheit und den Satz von der Invarianz des ebenen Gebiets”, Jahresbericht der D. M. V.,22 (1913), S. 144–153.
L. E. J. Brouwer: „Über die Singularitätenfreiheit der Modulamannigfaltigkeit”. Gött. Nachr. 1912, S. 803–806, auf dessen die Kontinuitätsmethode betreffende schon in „U. d. a. K. III” aufgeführte Noten hier von neuem hingewiesen sei; (Gött. Nachr. 1912 und Jahresbericht der D. M. V.,21 (1912), wie auch auf die Kontinuitätsentwicklungen von Fricke in.
Fricke-Klein „Vorlesungen über die Theorie der aut. Funkt.”, Bd. II, S. 286–438.
S. Johansson: „Herstellung automorpher Potentiale bei beliebigen Hauptkreisgruppen”. Acta Soc. Fenn.41, No. 2 (1912). Die vom Verfasser in eigenartiger Weise behandelte Aufgabe ist implicite bereits in meiner vierten Mitteilung über die Unif. bel. an K. (Gött. Nachr. 1909) gelöst, insofern als die allgemeinste Hauptkreisgruppe mit endlich oder unendlich vielen Erzeungenden unter den von mir allgemein definirten Begriff der Riemannschen Mannigfaltigkeit” fällt.
W. F. Osgood: „Lehrbuch der Funktioentherie” Zweite Auflage, Teubner 1912; vgl. insbesondere den Abschnitt „Das logarithmische Potential. Unifomisierung”, S. 598–753. Zu einer von Herrn Osgood l. c. S. 753 unten gemachten Bemerkung vgl. man eine von mir stammende Notiz in Study: „Vorlesungen über Geometrie”, Zweites Haft: „Konforme Abbildung”, S. 18.
: „On the uniformisation of algebraic foncitons”. Annals of Mathematics (2), 14, Nr. 4, 1913, S. 143–162.
H. Weyl: „Die Idee der Riemannschen Fläche” Leipizig, Teubner 1913.
J. Plemelj: „Über den Verserrungssatz von P. Koebe” (Vortrag, Naturforscherversammlung Wien 1913, erscheint in Jahresbericht der D. M. V.).
Ein von herrn Plemelj in seiner Arbeit „Die Grenzkreisuniformisierung anlaytischer Gebilde” (Monatschefte Math. Phys. Bd 23 (1912), S. 297 ff.) auf S. 302 benützter Ansatz von Funktionen findet sich auch in meiner ersten Mitteilung „über die U. bel. an. K.” (Gött. Nachr. 1907, S. 206 unten und 207 oben).
Von älterer Literatur seien wegen ihrer Beziehung zur Kontinuitätsmethode genannt
E. Ritter: „Die Steitigkeit der automorphen Funktionen bei stetiger Änderung des Fundamentalbereichs”. Math. Ann. 45 u.46 (1894 u. 1895).
Man vgl. hierzu Kleins Autographie „Über lineare Differentialgleichungen der zweiten Ordnung” (Leipizig, Teubner, 1894 (Abdruck 1906), insbesonderes S. 499–513). Auf Seits 499 unten sagt Klein: „Eine allgemeine Beweismthode für diese Theoreme ist die von mir und Poincaré gleichzeitig gefundene Kontinuitätsmethode, welche ich zuerst in Math. Ann. 21 skizzierte, und welche dann Poincaré in Acta Math. 4 näher ausgeführt hat.” Auf S. 512 sagt Klein: „Insbesondere Pincaré hat dieses Verhalten
Poincaré verlangt demgegenüber „une dicussion spéciale à chaque cas particulier”, S. 236 l. c.
Fricke-Klein: „Vorlesungen über automorphe Funktionen”, Bd. 1.
C. Jordan: „Sur la déformation des surfaces” und „Des contours tracés sur les surfaces”. Journal de Mathém. (2)11 (1866).
Diese Auffassung habe ich bereits 1910 Klein brieflich migeteilt. Vgl. Fußnote **) S. 48.
Vgl. auch die Stellungnahme Brouwers hierzu in seinen S. 46 zitierten Noten.
L. E. J. Brouwer: „Zur Invarianz desn-dimensionalen Gebiets”, Math. Ann. 72, S. 55–56, und die darin benötigten Entwicklungen Brouwers in Math. Ann. 70, S. 161–165; 71, S. 97–106, 326, 598.
Meraner Vortrag 1905, abgedr. im Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1906: „Über die konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender ebener Bereiche, insbesondere solcher Bereiche, deren Begrenzung von Kreisen gebildet wird.” Siehe insbesondere S. 150 ff; vgl. auch meine Abhandlung „U. d. a. K. II” § 13, Math. Ann. 69 (1910), S. 43.
Mit geringen Veränderungen, u. a. auch an der hier in Betracht kommenden Stelle, abgedruckt in Math. Ann. 71 (1911).
Riemann, Ges. Werke Nr. VI
Brill Noether: „Über die algebraischen Funktionen usw.” Math. Ann. 7, S. 285. Unsere Beweisführung folgt Picard, Traité d'Analyse Bd. II, S. 449 (2. Aufl.).
Vgl. unten S. 96.
Diesen Satz und meine erste, unten S. 87, näher bezeichnete, auf dem Verzerrungssatze und allgemeinen Konvergenzprinzipe fußende Beweisidee desselben habe ich zuerst Anfang August 1911 (d. i. vor der Karlsruher Versammlung Sept. 1911) Herrn L. Bieberbach in Leipzig vorgetragen.
Vgl. hiermit eine Entwicklung S. 235 meiner Abhandlung in J. f. Math. 138.
F. Schottky: „Über eine spezielle Funktion, welche bei einer bestimmten linearen Substitution ihres Arguments ungeändert bleibt.” J. f. Math. 101, S. 227 ff.
Diese ϱ Rückkehrschnitte, deren Existenz man am Beispiel der hyperelliptischen Flächen sofort feststellen kann, kommen auch bei Klein und Weichhold (Zitate im „U. d. a. K. I” S. 184 Math. Ann. 67) vor, doch wird ein einwandfreier Existenzbeweis nicht gegeben. Die für das Hauptkreistheorem wichtige durch unsern Satz S. 107 geforderte Aufschneidung ist von Klein und Weichold noch nicht betrachtet worden.
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Koebe, P. Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven. IV. Math. Ann. 75, 42–129 (1914). https://doi.org/10.1007/BF01564522
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