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Nonlinear analysis of flow pulses and shock waves in arteries

Part I: Derivation and properties of mathematical model

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Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik ZAMP Aims and scope Submit manuscript

Zusammenfassung

Druck- und Strompulse mit grosser Amplitude erzeugt in der Aorta und in andern Hauptarterien des Hundes werden theoretisch berechnet für vorgeschriebene Ausströmungspulse von der linken Herzkammer und für gegebene physikalische und geometrische Eigenschaften des Kreislauf-systems. Der Blutausfluss durch die Äste und Verzweigungen der uns interessierenden arteriellen Leitung ist durch ein kontinuierlich verteiltes, von Druck und Ort abhängiges Ausflussmodell nachgeahmt. Am herzfernen Ende der Leitung ist als Randbedingung entweder der periphere Widerstand oder ein konstanter druck vorgeschrieben. Die Geometrie der Leitung ist durch ihren kreisförmingen Querschnitt und den mit Herzdistanz exponentiell abnehmenden Radius definiert. Die elastischen Eigenschaften der Gefässwand sind durch die von Ort und Druck abhängige Geschwindigkeit kleiner Druckwellen gegeben. Durch Integration der Beziehung zwischen Wellen-geschwindigkeit und Querschnittsdehnung ist damit auch der Querschnitt als Funktion des Druckes und der Herzdistanz vorgeschrieben. Die nichtlinearen Gleichungen für eindimensionale Strömung einer inkompressibler Flüssigkeit werden mit Hilfe der Charakteristikenmethode integriert für Kreislaufparameterwerte die einem hypothetischen Hund von 30 kg Gewicht entsprechen. Das verwendete mathematische Modell für die arterielle Leitung wiedergibt manche der bekannten Eigenschaften des vom Herzen erzeugten Pulses, einschliesslich die Klappenincisur, das Ansteigen und Abfallen der Höhe des systolischen Druckgipfels mit wachsender Entfernung vom Herzen. Während der Fortpflanzung der Pulswelle zeichnet sich eine zunehmende Steilheit der Wellenfront ab, die jedoch nicht merkbar ist wenn man die grundlegenden Gleichungen linearisiert. Die numerischen Ergebnisse weisen darauf hin, dass die sekundäre (dicrotic) Welle durch Reflexionen erzeugt wird, und als solche von der Verjüngung des Querschnittes und vom Blutausfluss abhängt.

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Abbreviations

A :

cross-sectional area of artery at the reference intraluminal pressurep 0

c :

local wave speed

c 0,c 1 :

parameters in wave speed expression

c L :

local wave speed for linearized analysis

C, C′ :

designations for general curves inz, t plane

D 0 :

diameter at aortic valve whenp=p 0

D t :

diameter at distal end of artery whenp=p 0

E :

circumferential Young's modulus

f :

axial frictional force per unit mass of fluid

h :

wall thickness

L :

distance from aortic valve to distal end of artery

n :

parameter in wave speed expression

p :

intraluminal pressure

\(\bar p\) :

calculated mean pressure

p 0 :

reference pressure

p c :

capillary pressure

p L :

pressure at distal end of artery

q :

S v=local volume flow rate

q 0 :

q 0(t)=volume flow rate ejected by heart

r :

radial coordinate

R e :

Reynolds number for steady flow

R L :

peripheral resistance

s :

curvilinear coordinate

S :

cross-sectional area of artery

S L :

cross-sectional area for linearized analysis

t :

time

v :

axial fluid velocity averaged over cross section

z :

axial distance coordinate

z * :

distance from aortic valve to femoral artery

β:

exponent in cross-sectional area expression

γ:

outflow parameter

λ:

undetermined multiplier

μ:

blood viscosity coefficient

ϱ:

blood density

ψ:

outflow function simulating effect of side branches

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Author notes

  1. Robert L. Rockwell

    Present address: Naval Weapons Center, China Lake, California

Authors and Affiliations

  1. Dept. of Aeronautics and Astronautics, Stanford University, Stanford, California

    Max Anliker & Robert L. Rockwell

  2. Environmental Biology Division, Ames Research Center, NASA, Moffett Field, California

    Eric Ogden

Authors
  1. Max Anliker
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  2. Robert L. Rockwell
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  3. Eric Ogden
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Anliker, M., Rockwell, R.L. & Ogden, E. Nonlinear analysis of flow pulses and shock waves in arteries. Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP) 22, 217–246 (1971). https://doi.org/10.1007/BF01591407

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