Zusammenfassung
Es werden neue, expliziteRunge-Kutta-Formeln fünfter und siebenter Ordnung hergeleitet. Diese Formeln enthalten eine Schrittweiten-Kontrolle, die auf einer vollständigen Erfassung des ersten Gliedes des lokalen Abbruchfehlers basiert. Die Formeln erfordern-pro Integrationsschritt-weniger Auswertungen der Differentialgleichungen als andereRunge-Kutta-Formeln entsprechender Ordnung, wenn bei letzteren ebenfalls eine Schrittweiten-Kontrolle (Richardson's extrapolation to the limit) verwendet wird. Durch geeignete Wahl einiger Parameter kann in unseren Formeln das erste Glied des Abbruchfehlers stark reduziert werden; dadurch wird eine Vergrößerung der Schrittweite-ohne Verlust an Genauigkeit-ermöglicht. Ein numerisches Beispiel wird gebracht. Bei gleicher Genauigkeit ergeben unsere Formeln in diesem Beispiel 40% bis 60% Ersparnis an Rechenzeit, verglichen mit den bekanntenRunge-Kutta-Formeln gleicher Ordnung.
Summary
New explicit fifth- and seventh-orderRunge-Kutta formulas are derived. They include a stepsize control procedure based on a complete coverage of the leading term of the local truncation error. These formulas require fewer evaluations per step than otherRunge-Kutta formulas of corresponding order if the latter ones are also used with stepsize control (richardson's extrapolation to the limit). By a proper choice of some parameters the leading truncation error term of our formulas can be reduced substantially, thereby allowing an increase in the stepsize without loss of accuracy. A numerical example is presented. Our results being of the same accuracy, we save in this example 40% to 60% computer time compared with the knownRunge-Kutta formulas of corresponding order.
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Literatur
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Dies ist ein stark gekürzter Auszug eines vom Autor herausgebrachten, internen NASA Technical Report [6], auf den hinsichtlich vieler Einzelheiten und hinsichtlich der Formeln sechster und achter Ordnung verweisen sei.
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Fehlberg, E. Klassische Runge-Kutta-Formeln fünfter und siebenter Ordnung mit Schrittweiten-Kontrolle. Computing 4, 93–106 (1969). https://doi.org/10.1007/BF02234758
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