Sunto
Sul fondamento delle nozioni (altrove introdotte dall'A.) di tangenti e corde improprie d'un insieme di punti in un punto d'accumulazione, si determinano condizioni necessarie e sufficienti per la differenziabilità o per l'iperdifferenziabilità di una funzione di più variabili in un punto d'accumulazione d'un insieme o all'interno di un dominio in cui essa sia definita. La consueta considerazione delle derivate parziali non esaurisce nè può esaurire la questione. Perciò l'A. deve anzitutto definire l'operazione di derivazione per una funzione di più variabili in modo adeguato alla natura della funzione, la quale esige che non ci si limili a studiar la derivazione rispetto alle variabili separatamente considerate.
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References
Indicazioni bibliografiche aggiornate si leggono nel t. II delle monografie matematiche di Varsavia,Théorie de l'intégrale, dovuto aS. Saks (Varsavia, 1933, pag. 222 e segg.). Pei rapporti di questa mia Memoria con una recentissima diG. Guareschi ved. i nn. 1; 5, Oss.; 16.
Alcune delle considerazioni svolte nella presente Memoria son legate (a prescinder dalla forma) ai concetti sviluppati daG. Bouligand in un suo interessante libro recente (Introduction à la géométrie infinitésimale directe, Paris, Vuibert, 1932), come indicherò con maggior precisione in seguito. Le nozioni di semitangenti e di corde improprie di un insieme di punti in un punto di accumulazione, che stanno a fondamento del mio lavoro, corrispondono a quelle dicontingente e diparatingente diBouligand. All'egregio geometra è evidentemente sfuggito che le sue ricerche in proposito sono state iniziate un po' più tardi delle mie : il che ho già avuto occasione di porre in rilievo nella Nota di Cracovia, più sotto citata. (Anche la nozione didistanza di due insiemi di punti, esposta al n. 34 del libro diBouligand, trovavasi già in varii lavori miei : « Rendiconti dei Lincei », 1927, p. 476; 1929, p. 918;Conferenze di geometria algebrica, Roma, 1927–30, p. 122;Conferenze sulla topologia tenute a Buenos Aires, Imprenta de la Universidad, 1930, pag. 28). Ma non gli muovo rimprovero per questo, perchè neppur io riesco a seguire con cura minuziosa la bibliografia e leggo più volentieri una memoria o un libro dopo aver pensato per conto mio all'argomento.
Ved. la mia più recente Nota in proposito :Su alcune questioni di topologia infinitesimale (« Annales de la Societé polonaise de Math. », t. IX, 1930). Ivi si troveranno anche i riferimenti alle ricerche diBouligand. IlGuareschi nell'interessante lavoro :Un concetto di derivazione delle funzioni di più variabili reali, ecc. (« Memorie della R. Accademia d'Italia », 1934-XII, p. 173) ha dedotto dai concetti che sto per richiamare un'espressiva condizione geometrica per la differenziabilità totale di una funzione di più variabili in un punto. Il teorema delGuareschi è ritrovato come corollario alla fine del n. 5 di questa Memoria. Il teorema medesimo ha consentito all'A. di estendere la considerazione delle derivate parziali, in guisa da ottenere enti più generali (ch'egli chiamaderivate perfette, ved. n. 16 della presente Memoria), i quali esistono e posson introdursi nel calcolo, anche quando non vi sono le derivate parziali ordinarie. Ved. altresì, a proposito del significato geometrico dell'esistenza del differenziale totale, il n. 72 del libro diBouligand.
Ved. le mieLezioni di Analisi (Bologna, Zanichelli, 1933-XI), p. 171, n. 19.
Estensioni in altro senso si trovano p. es. nelleLezioni di Analisi infinitesimale diPicone (« Circolo Mat. di Catania », 1923, vol. I), pp. 133, 244.
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Severi, F. Sulla differenziabilità totale delle funzioni di più variabili reali. Annali di Matematica 13, 1–35 (1934). https://doi.org/10.1007/BF02413430
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02413430