The construction of potentials from theS-matrix for systems of differential equations

Summary

The procedure for constructing all potentials belonging to a givenS-matrix and prescribed eigenvalue is generalized to systems of equations of the type of the Schrödinger equation forS-states. The determination of the spectral function from theS-matrix is found to be essentially more complicated here than in the case of a single equation, and it leads to restrictions on theS-matrix to make the existence of a short range potential possible. If such a potential exists, it is uniquely determined by theS-matrix, the eigenvalues, and as many real, symmetric, positive semi-definite matrices as there are eigenvalues.

Riassunto

Si generalizza a sistemi di equazioni del tipo dell’equazione di Schrödinger per gli statiS il procedimento per la costruzione di tutti i potenziali appartenenti a una matriceS data e degli autovalori assegnati. Si trova che la determinazione della funzione spettrale a partire dalla matriceS è in questo caso intrinsecamente più complicata che non nel caso di una equazione singola e conduce a restrizioni sulla matriceS tali da render possibile l’esistenza di un potenziale di «short-range». Se un tale potenziale esiste, è unicamente determinato dalla matriceS, dagli autovalori, e da tante matrici semidefinite, positive, simmetriche, reali quanti sono gli autovalori.