Distance measurements, splitting of electromagnetic waves caused by the dispersion and GPS retrieval of the model atmosphere

Abstract

An atmosphere above a half space is considered with the dispersion represented by a relation between the electric field and the induction which contains derivatives of rational order and is similar to the empirical formula of Cole and Cole (1941), commonly used in experimental physics, and to the formula used by Jacquelin (1991) in studying the dispersion of energy in electric networks. The consequent index of refractionn contains a rational power of the imaginary frequencyif and is a polymorphic function off; this function, for each frequency, gives a set of different velocity fields whose number depends on the rational exponent ofif. Each electromagnetic wave leaving the source, with givenf and direction, is split in a number of waves with different velocities; ifn is a function of position, the paths of the waves are different and reach a given elevation at different points and times. Ifn is independent of the position, the paths of the waves coincide although the waves have different velocities. The length of a path and the travel time of electromagnetic waves in the atmosphere of a flat Earth model are computed. It is found that the difference between the arc length of the ray and the chord is nil to the second order of the refractivity. It is also seen that a change of water content in layers of the atmosphere, leaving the average velocity to a given elevation unchanged, may change the length of the ray paths to that elevation. It is found that the separation of the rays with the same frequency and direction at the source, causes small uncertainties in electromagnetic distance measurements which increase with the frequency. In the Liebe (1985) atmospheric model we considered frequencies on the range 1 GHz to 2 GHz and found that the arrival of the phases of the rays, with the same frequency in this range, with a zenithal angle smaller than 2π/5 and at a distance of about 10⁴ km, are spread in less than 0.01 ns or 0.3 cm; which does not influence the accuracy presently achieved in distance measurements with electromagnetic waves. The dissipation of energy of the rays in the atmospheric model used, for zenithal angles smaller than 2π/5, is negligible for any length of the path. Formulae are given for the retrieval of a spherical model of the atmosphere of the Earth from a set of differences of the times of arrival, at two observing stations, of the waves emitted from satellites of known orbits.

Riassunto

Si considerano un semispazio ed un’atmosfera sovrastante con disper-sione rappresentata da una relazione fra campo elettrico ed induzione che contenga derivate di ordine fra-zionario e simile alla formula di Cole e Cole (1941), che è usata comunemente nella fisica sperimentale, ed a quella usata per lo studio della dissipazione dell’energia nei circuiti elettrici (Jacquelin, 1991). Il parame-tro dielettrico contiene una potenza razionale della frequenza immaginariaif ed il conseguente indice di ri-frazionen è pertanto una funzione polimorfa della frequenza che, per ogni frequenza, fornisce un insieme di campi di velocità il cui numero dipende dall’esponente razionale diif. Ogni onda elettromagnetica con origine sulla superficie del semispazio con date direzione e frequenza si moltiplica in un numero di onde con diversa velocità, sen è funzione di punto, le onde seguono cammini diversi e raggiungono una quota prefissata in tempi e punti differenti; sen è indipendente dal punto i cammini dellie onde coincidono pur es-sendo le loro velocità diverse. Si calcolano la lunghezza ed il tempo di percorso dei raggi elettromagnetici in un modello piatto dell’atmosfera. Si trova che la differenza fra l’arco e la corda dei raggi dipende dalla ri-frattività solo al secondo ordine della rifrattività. Si trova inoltre che una variazione del contenuto di umidi-tà negli strati dell’atmosfera che lasci la velocità media sotto una certa quota inalterata, puo alterare 1a lunghezza del cammino dei raggi fino a quella quota. Nel modello dell’atmosfera di Liebe (1985) si considera-no frequenze nell’intervallo 1 GHz-2 GHz e si trova che 1a moltiplicazione dei raggi con queste frequenze causa incertezza nelle misure GPS che si stima di 0.01 ns, owero 0.3 cm, su distanze di 10⁴km e con distan-za zenitale minore di2π/5. Questa incertezza non influenza 1a precisione raggiunta nei rilievi di distanze a mezzo di onde elettromagnetiche. La dissipazione dell’energia dei raggi, per distanze zenitali inferiori a2π/5, è trascurabile a qualsiasi distanza dalla sorgente. Si forniscono formule per la determinazione di un modello sferico dell’atmosfera della terra, usando 1e differenze dei tempi di arrivo, a due stazioni di osser-vazione, dellie onde emesse da satelliti di note orbite.