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Complex continued fractions: early work of the brothers Adolf and Julius Hurwitz

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Abstract

The two brothers Julius and Adolf Hurwitz were born in the middle of the nineteenth century in a small town near Hanover (not far from Göttingen). Already during their schooldays, the two of them became acquainted with mathematical problems and both started to study mathematics, but while the younger brother Adolf turned out to be extremely successful in his research, the elder brother and his work seem to be almost forgotten. This paper examines the lives and works of the two brothers with particular emphasis on the contributions of Julius Hurwitz, and the subsequent reception of their research. It deals with the development of an arithmetical theory for complex continued fractions by Julius and Adolf Hurwitz around 1890 and its rediscovery in the twentieth century.

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Notes

  1. The common Jewish surname Hurwitz (as well as Horowitz and Hurewicz) is a reference to the historically portentous small town Hořovice in Central Bohemian Region of the Czech Republic.

  2. Those certificates of the Realgymnasium Andreanum in Hildesheim can be found in the municipal archive of Hildesheim (cf. Rasche 2011, Appendix).

  3. Chasles’ theorem allows one to count the number of curves satisfying certain algebraic conditions within a family of conics; it generalizes Bézout’s theorem and plays a significant role in algebraic geometry. Schubert developed a calculus in order to solve counting problems of such type (1879), and Hilbert’s problem number 15 asks for a rigorous justification of Schubert’s enumerative calculus.

  4. See Burau (1966), Burau and Renschuch (1993) for more details on Schubert’s life.

  5. Of liver malfunction according to Adolf Hurwitz’s wife Hurwitz-Samuel (1984, 3), resp. kidney malfunction according to Frei (1995, 527).

  6. There is a photograph of the father with his three boys in Rowe (2007, 20).

  7. This is the authors’ translation from the German original: “Ebenso legte er auch Wert darauf, dass die Knaben schon sehr frühzeitig zu rauchen begannen, da ihm ein rechter Mann ohne Cigarre oder besser noch Pfeife kaum denkbar war” (Hurwitz-Samuel 1984, 2). If not indicated differently, all translations from German to English have been made by the authors.

  8. “Schubert suchte sogar den Vater auf, um ihn zu bestimmen, beide Söhne das Studium der Mathematik ergreifen zu lassen” (Hurwitz-Samuel 1984, 4).

  9. There are postcards from June 17, 1881, and September 4, 1881, from Salomon to Julius in Hamburg, courtesy of the archive of the ETH Zürich (ISIL-Code: CH-000003-X Fonds-Hurwitz-A).

  10. At that time, this institution was called Königlich Bayerische Technische Hochschule München; since 1970, it is the Technische Universität München.

  11. Since 1949 the University of Berlin has been called the Humboldt-Universität zu Berlin.

  12. An excerpt of a letter from Klein to Adolf Hurwitz’s father explaining the situation and the prospects for his son can be found in Rowe (2007, 22).

  13. According to his later wife Hurwitz-Samuel (1984, 6), he had to borrow a tailcoat from a fellow student for his doctoral viva.

  14. “Seitdem ist das Interesse für Riemanns Funktionentheorie in immer weiteren Kreisen, auch des Auslandes, erwacht. Von meinen Schülern ist wohl besonders Hurwitz in Zürich und Dyck in München zu nennen” (Klein 1926, 276).

  15. In the German system Habilitation granted the “venia legendi,” i.e., the permission to lecture as a Privatdozent which at that time meant to collect course fees from the students without any payment from the university. For more details on exploiting scientists and the academic ladder in nineteenth century Germany see Rowe (1986).

  16. “An der lebhaften Göttinger Geselligkeit nahm H. auch sonst eifrig teil, so schwang er das Tanzbein bei dem grossen Physiker Wilh. v. Weber,...” (Hurwitz-Samuel 1984, 7).

  17. Stern was the granduncle of Anne Frank, another target of racism during the Nazi-times; see Rowe (1986, 2007) for further details about Stern’s life.

  18. Nowadays Kaliningrad in Russia.

  19. Neue Darstellung des Weierstrass’schen Beweises für die Transzendenz von \(e\) und \(\pi \), enclosed in Adolf Hurwitz’s mathematical diaries: Mathematisches Tagebuch 3, 9 January 1883—ca. 1884; Hs 582:3 (Hurwitz 1972, 118–125).

  20. “Es ist ein ordentliches Ereignis, und wir können der Vorsehung nicht genug danken, daß unser Adolf so begabt, so beliebt und schon von den bedeutendsten Mathematikern als ein hervorragender Mensch anerkannt wird.” Letter from Salomon to Julius, April 1, 1884, courtesy of the ETH library (ISIL-Code: CH-000003-X Fonds-Hurwitz-A).

  21. “Seit dem Tode Onkel Adolphs waren Max u. Julius Inhaber des Bankgeschäfts ‘Adolph M. Wertheimer’s Nachf.’ in Hannover, fühlten sich aber im Kaufmannstande nicht glücklich. So trat zuerst Julius aus, setzte sich mit 33 Jahren nochmals auf die Schulbank, um das Abiturientenexamen nach zumachen und dann bei seinem jüngeren Bruder Mathematik zu studieren” (Hurwitz-Samuel 1984, 8).

  22. The certificate including several grades can still be found in the archive of Halle University (Rep. 21 Nr. 162).

  23. “[Adolf] Hurwitz lässt Sie bestens grüssen. Augenblicklich ist auch sein ältester Bruder hier bei ihm zum Besuch.”, letter 63 in Frei (1985, 73); actually, Max was the eldest, and Julius the second.

  24. “Grüße bestens die Gebrüder Hurwitz und die anderen Königsberger Mathematiker [...]”, in (Rüdenberg and Zassenhaus (1973), 45).

  25. Those notes can still be found in the archives of the ETH Zürich (Hs 582: 52–53; 64–65; 96).

  26. 1864–1951; author of a brief and very readable account (Hurwitz-Samuel 1984) on the Hurwitz family and her husband in particular.

  27. Stern died in 1894. Adolf Hurwitz and his colleague Ferdinand Rudio, a colleague from ETH and former friend from his study times at Berlin, published the collected letters from Eisenstein to Stern (Hurwitz and Rudio 1894); this had been a wish of Stern and it affirms his close relation with Adolf Hurwitz.

  28. An excellent reading on this “Game of Mathematical Chairs” and the difficulties for Jewish mathematicians at that time is Rowe’s (2007) article as well as the correspondence (Frei 1985) between Hilbert and Klein.

  29. “[Auch] sein Bruder Julius folgte ihm bald nach Zürich, wo er an der Doktorarbeit schrieb, deren Thema er von seinem Bruder erhalten hatte” (Hurwitz-Samuel 1984, 9).

  30. “Viros audivi illustrissimos: [...] Turici: Franel, Geiser, Hurwitz, Rudio, A. Stadler, Stern, von Wyss, Fr. Weber” (Hurwitz 1895, 50).

  31. Usually, dissertation projects were officially ratified at the University of Zurich until the ETH obtained full rights to supervise doctoral students independently in 1909; anyway, the relation between Julius and Adolf might have been too close.

  32. Schubert wrote his dissertation on enumerative geometry during his studies in Berlin, however, after the death of his teacher Gustav Magnus, he decided to finish his doctorate at the University of Halle without official supervisor; see Burau and Renschuch (1993) for further details.

  33. See www.mathematikuni-halle.de/history for a list.

  34. “Im Sommer 1888 verbrachte er [Adolf Hurwitz] auf Anregung von Prof. Mittag-Leffler in Stockholm, einige Tage in Wernigerode i/H. in interessantem mathematischen Kreis der sich um den Altmeister Prof. Weierstrass aus Berlin geschart hatte. Dort lernte er Georg Cantor und Sonja Kowalewski näher kennen” (Hurwitz-Samuel 1984, 8).

  35. “Für die freundliche Aufnahme der Notiz meines Schülers Hurwitz besten Dank.”, cf. Décaillot (2011, 152).

  36. “Meinem lieben Bruder und verehrten Lehrer Herrn Prof. Dr. A. Hurwitz”.

  37. “Es sei mir gestattet, meinem Lehrer, Herrn Professor A. Hurwitz, für die mannigfachen Ratschläge, mit welchen er mich bei dieser Arbeit unterstützt hat, auch an dieser Stelle meinen herzlichsten Dank auszusprechen.” Rep. 21 Nr. 162, Universitätsarchiv Halle-Wittenberg, Halle.

  38. “Herr J. Hurwitz untersucht im Anschluß an eine in den Acta mathematica, Band XI, veröffentlichte Arbeit seines Bruders, des Prof. A. Hurwitz in Zürich, eine besondere Art der Kettenbruchentwickelung complexer Größen.” Announcement of the disputation by A. Wangerin, Rep. 21 Nr. 162, Universitätsarchiv Halle-Wittenberg, Halle.

  39. “Der Verfasser untersucht in der vorliegenden Arbeit eine besondere Art der Kettenbruchentwickelung complexer Grössen nach ähnlichen Gesichtspunkten, wie sie der Referent der Behandlung gewisser anderer Kettenbruchentwickelungen reeller und complexer Grössen [...] zu Grunde gelegt hat.”

  40. Mathematisches Tagebuch 9, 4 April 1894–15 January 1895; Hs 582:9 (Hurwitz 1972, 99–107).

  41. “Die Durchführung der Untersuchung zeugt nicht nur von Fleiß und tüchtiger mathematischer Schulung, sondern auch von selbständigem Nachdenken.” Gutachten der Dissertation von A. Wangerin, Rep. 21 Nr. 162, Universitätsarchiv Halle-Wittenberg, Halle.

  42. Gutachten der Dissertation, Rep. 21 Nr. 162, Universitätsarchiv Halle-Wittenberg, Halle.

  43. Personal file, Dozentenkartei, Universitätsarchiv F 6.2.1, Staatsarchiv Basel.

  44. “Der Petent hat sich in kurzer Zeit mit Eifer und Geschick in das Gebiet der Mathematik eingearbeitet,” protocols of the sessions of the philosophical faculty, StABS, Universitätsarchiv R 3.5 Basel

  45. The Swiss version of the “venia legendi.”

  46. “Hochgeachteter Herr, auf Antrag der philosophischen Fakultät hat E. E. Regenz in ihrer gestrigen Sitzung beschlossen, Herrn Dr. phil Julius Hurwitz die venia docendi für Mathematik zu verleihen. Herr Hurwitz hat sich durch eine Habilitationsschrift und durch ein Colloquium in der Weise ausgewiesen, daß Fakultät und Regenz überzeugt sind, daà in ihm unserer Universität eine tüchtige Kraft gewonnen wird.” Extract from the application of the ‘Venia docendi’, Erziehungsakten CC 28b, Staatsarchiv Basel.

  47. Protocols of the sessions of the philosophical faculty, StABS, Universitätsarchiv R 3.5 Basel.

  48. For example, over the appointment of Minkowski; see letter 107 from Hilbert to Klein in Frei (1985, 122).

  49. “der Herr Professor darüber ein wenig verwundert gewesen sei, war doch dieser Student niemals in den mathematischen Seminaren zu sehen gewesen, da er sich mangels an Zeit nicht beteiligen konnte. (...) dass es für einen Physiker genüge, die elementaren mathematischen Begriffe zu kennen und anzuwenden, der Rest für ihn aus ’unfruchtbaren Subtilitäten’ bestehe” (Fölsing 1993, 634).

  50. A nice photograph illustrating such a performance can be found in Pólya (1987, 24).

  51. Adolf Hurwitz had previously supported the forerunner of the ICM at Chicago’s World’s Columbian Exposition in 1893 by submitting a contribution in absentia; see Lehto (1998, 5), resp. www.mathunion.org/ICM/.

  52. In German: Gesellschafter.

  53. “[...] war Julius nach langer Pause wieder einmal bei uns zu Besuch (er war seinem Gesellschafter Franz Sieckmeyer nach Freiburg i/Br. gefolgt, wo dieser Lazarettdienst leistete). Auch Julius war seit Jahren sehr leidend (Herzleiden und Arterienverkalkung), auch machte bei diesem letzten Zusammensein, auf welches beide Brüder wohl kaum mehr gerechnet hatten, Adolf den weitaus kränklicheren Eindruck.“ (Hurwitz-Samuel 1984, 13)

  54. Pólya (1987, 25) wrote “His health was not too good so when we walked it had to be on level ground, not always easy in the hilly part of Zürich, and if we went uphill, we walked very slowly.” Pólya at that time was around 30 years old whereas Adolf in the mid-fifties.

  55. Alphabetische Ausländerkontrolle, F8/7:10, Stadtarchiv Luzern.

  56. “Am 15. Juni schloss Julius in Luzern bei einem der häufigen Herzanfälle, die er erlitt, ganz plötzlich seine Augen für immer. [Adolf] H. nahm die Nachricht, die ihm mit größter Vorsicht beigebracht wurde, voll Ergebung auf, das Geschick des Bruders preisend, der nun alles überstanden habe, und für sich selber das Gleiche ersehnend.“ (Hurwitz-Samuel 1984, 13)

  57. “[wir,] an der Tür Lauschenden bewunderten die Beherrschtheit und Klarheit, mit der er vorzutragen vermochte.“ (Hurwitz-Samuel 1984, 14)

  58. The family grave in field D had number 81201; the grave was removed in 2000.

  59. In Pólya (1987, 25), George Pólya wrote: “My connection with Hurwitz was deeper and my debt to him greater than to any other colleague.” It was indeed on Adolf Hurwitz’s invitation that Pólya was offered an appointment as Privatdozent at Zurich.

  60. According to the Mathematics Genealogy Project http://genealogy.math, all within the period 1896–1919; however, in his collected works (Hurwitz 1932, 754, vol. II) there are just 21 listed. Among his pupils one can find the later professors Gustave du Pasquier at the Université de Neuchâtel, Eugène Chatelain, Alfred Kienast, Émile Marchand, and Ernst Meissner, all at ETH Zurich, as well as Kerim Erim, who obtained his doctorate at the University of Erlangen-Nuremberg and later became a professor at the University of Istanbul.

  61. Very good accounts on Adolf Hurwitz’s life and work are given by his wife Hurwitz-Samuel (1984) and Frei (1995).

  62. It is interesting to notice that he was also an honorary member of the mathematical societies of Hamburg and Kharkov, and a corresponding member of the Academia di Lincei at Rome (which is rather different from the image of a couch potato that one could have in view of his absence from International Congresses outside Zurich).

  63. For details about the various appearances of continued fractions in ancient Greek mathematics we refer to Fowler (1990).

  64. See Stedall’s (2000) articles for more details.

  65. “Die Theorie der Kettenbrüche, deren Zähler durchgehends Einheiten, deren Nenner ganze algebr. Zahlen sind spielen sowohl im funktionen- wie zahlentheoretischer Hinsicht eine bemerkenswerte Rolle. Im Falle der Zahlen \(a+bi\) und \(a+b\rho \) (\(i=\sqrt{-1}, \rho ={-1+i\sqrt{3}\over 2}\)) ist, wegen der Möglichkeit des Euklid. Verfahrens zur Bestimmung des größten gemeins. Theilers, die Entwickl. der betreffenden Theorie ohne prinzipielle Schwierigkeiten. Nichts desto weniger scheint eine sorgfältige und gründliche Durchführung derselben von großem Werte, z.B. für die Lösung Diophant. Gleichungen des zweiten Grades für die betr. Zahlengebiete. Dieses ist eine gute Doctor-Arbeit für einen jüngeren strebsamen Mathematiker.” (Hurwitz 1972, 16), Mathematisches Tagebuch 1, 25.04.1882–09.04.1884; Signatur Hs. 582:1.

  66. According to his mathematical diary no. 5, February 1886–March 1888, pp. 49–69; Hs 582:5 (Hurwitz 1972, 49–69). Unfortunately, there is no date attached, but a later entry has date May 1, 1887.

  67. In modern mathematical language this convergent expansion is obtained by iteration of the mapping \(x\mapsto Tx:=T(x):={\epsilon \over x}-\left\lfloor {\epsilon \over x}\right\rfloor \) for \(x\ne 0\) and \(T0=0\), where \(\lfloor z\rfloor \) denotes the integer part of \(z\) (which is unique provided \(z-{1\over 2}\not \in \mathbb {Z}\)); here, the subsequent partial quotients are given by \(a_n:=\lfloor T^{n-1}\vert x\vert \rfloor \) and the sign \(\epsilon _n=\epsilon \) equals the sign of \(T^{n-1}\vert x\vert \). The first iteration leads to

    $$\begin{aligned} x={\epsilon _1\over \lfloor {\epsilon _1\over x}\rfloor +T\vert x\vert }={\epsilon _1\over a_1} + {\epsilon _2\over a_2+T^2\vert x\vert } \end{aligned}$$

    and so forth.

  68. “Eine Theorie solcher Zahlsysteme ist in den bekannten Arbeiten von Kronecker und Dedekind, vorzugsweise für den Fall algebraischer Zahlen entwickelt. Vgl. insbesondere das XI. Supplement zu Dirichlet’s Vorlesungen über Zahlentheorie. Dritte Auflage” (Hurwitz 1888, 187).

  69. “Ausser der hier betrachteten giebt es übrigens noch andere Kettenbruchentwicklungen im Gebiete der complexen Zahlen \(m+ni\), für welche der obige Satz ebenfalls gilt, worauf ich indessen an dieser Stelle nicht eingehen will.”

  70. At least if the summery of Vivanti in the Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik (Vivanti 2005) provides an appropriate picture of Michelangeli (1887). Unfortunately, the authors were not able to find any copy of Michelangeli’s work.

  71. “Neben Klein, dessen Vorlesungen über seine Forschungen im Gebiet der Modulfunktionen ihn in hohem Masse fesselten, hörte er bei Gustav Bauer, Seydel, Pringsheim, Brill und Beetz. Bauer u. Pringsheim trat er persönlich näher \(\ldots \)” (Hurwitz-Samuel 1984, 6); probably, Seydel is misspelled here.

  72. In German: ‘Kettenbrüche zweiter Art’.

  73. To explain that we recall Nakada’s \(\alpha \)-continued fraction from Nakada (1981). Given a fixed real number \(\alpha \in [{1\over 2},1]\), the \(\alpha \)-continued fraction of a real number \(x\in I_\alpha :=[\alpha -1,\alpha )\) is a convergent finite or infinite semi-regular continued fraction of the form \(x={\epsilon _1\over a_1} + {\epsilon _2\over a_2} + \cdots + {\epsilon _n\over a_n} + \cdots \), where the partial quotients \(a_n\) are positive integers and the \(\epsilon _n=\pm 1\) are signs determined by iterations of the transform \(T_\alpha \) on \([\alpha -1,\alpha )\) given by \(T_ \alpha (0)=0\) and \(T_\alpha (x):={1\over \vert x\vert }-\Big \lfloor {1\over \vert x\vert }+1-\alpha \Big \rfloor \) otherwise. For \(\alpha =1\) Nakada’s \(\alpha \)-continued fraction expansion is nothing but the regular continued fraction, for \(\alpha ={1\over 2}\) one obtains the continued fraction to the nearest integer, and for \(\alpha ={\sqrt{5}-1\over 2}\) it is the singular continued fraction due to Adolf Hurwitz (1889).

  74. See Cassels’ (1957) monograph for further information.

  75. “Ein mit Vorliebe von Hurwitz behandeltes Thema war die Theorie der arithmetischen Kettenbrüche. In seiner Arbeit ’Über die Entwicklung komplexer Größen in Kettenbrüche’ ging er dabei über den bisher allein berücksichtigten Bereich der reellen Zahlen hinaus und stellte einen allgemeinen Satz über die Periodizität der Kettenbruchentwicklung relativ quadratischer Irrationalitäten auf, der auf die Kettenbruchentwicklungen in den Körpern der dritten und vierten Einheitswurzeln eine interessante Anwendung findet” (Hilbert 1921, 163).

  76. “Und glücklicherweise findet sich um 1885 für fast wieder ein Jahrzehnt, eben auch wieder in Königsberg, ein Dreibund junger Forscher zusammen, welche diese Tendenz in neuer Weise in die Tat umsetzen und damit denjenigen Standpunkt schaffen, von dem aus die Neuzeit, wenn sie es vermag, weiterzugehen hat. Es sind dies Hurwitz, Hilbert und Minkowski. (...) und so möchte ich über Hurwitz und Minkowski hier vorweg ein paar Worte sagen, welche deren Arbeitsweise charakterisieren sollen. Man hat Hurwitz einen Aphoristiker genannt. In voller Beherrschung der in Betracht kommenden Disziplinen sucht er sich hier und dort ein wichtiges Problem heraus, das er jeweils um ein bedeutendes Stück fördert. Jede seiner Arbeiten steht für sich und ist ein abgeschlossenes Werk. (...) Minkowskis hier in Betracht kommende Arbeiten beruhen zumeist auf der Verbindung durchsichtiger geometrischer Anschauung mit zahlentheoretischen Problemen. (...) Ich selbst habe mich seinerzeit darauf beschränkt, gewisse schon bekannte Grundlagen geometrisch klarzustellen, während Minkowski Neues zu finden unternahm. Diese Untersuchungen zeigen deutlich, daß Geometrie und Zahlentheorie keineswegs einander ausschließen, sofern man sich in der Geometrie nur entschließt, diskontinuierliche Objekte zu betrachten” (Klein 1926, 326).

  77. “Die Arbeit schliesst sich, nach Ziel und Methode, eng an die nachstehend genannten zwei Abhandlungen des Herrn A. Hurwitz an, dem ich auch die Anregung zu dieser Untersuchung verdanke.”

  78. “Die complexe Zahlenebene werde durch die Geraden \(x+y=v, x-y=v\), wo alle positiven und negativen ungeraden ganzen Zahlen durchläuft, in unendlich viele Quadrate eingeteilt. Die Mittelpunkte dieser Quadrate werden durch die durch \(1+i\) teilbaren ganzen complexen Zahlen besetzt. Wenn nun \(x\) eine beliebige complexe Zahl ist, so bilde man die Gleichungskette:

    $$\begin{aligned} x=a-{1\over x_1},\quad x_1=a_1-{1\over x_2},\ldots ,\quad x_n=a_n-{1\over x_{n+1}},\ldots \end{aligned}$$
    (1)

    nach der Massgabe, dass allgemein \(a_i\) den Mittelpunkt desjenigen Quadrates bezeichnet, in welches der Punkt \(x_i\) hineinfällt. Dabei sind noch bezüglich des Falles, wo \(x_i\) auf den Rand eines Quadrates fällt, besondere Festsetzungen getroffen, die wir der Kürze halber übergehen. Durch die Gleichungskette (1) wird nun für \(x\) eine bestimmte Kettenbruchentwickelung \(x=(a,a_1,\ldots ,a_n,x_{n+1})\) gegeben, deren nähere Untersuchung der Gegenstand der Arbeit ist.”

  79. Actually, each iteration is determined by the transform \(T\) which is defined by \(T(0)=0\) and \(T(x):=\frac{1}{x}-[\frac{1}{x}]\) otherwise, in analogy with the approach of his younger brother; here the bracket \([x]\) is given by \([x]:=\big \lfloor u+{1\over 2}\big \rfloor \alpha +\big \lfloor v+{1\over 2}\big \rfloor \overline{\alpha }\qquad \text{ for }\quad x=u\alpha +v\overline{\alpha }\) with \(\alpha =1+i\), and \(T\) maps the square \(X:=\big \{x=u\alpha +v\overline{\alpha }\,:\,-{1\over 2}\le u,v<{1\over 2}\big \}\) onto \(X\). What turns up is an expansion of a unique complex continued fraction \(x=a_0+\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3 + T^3x}\). This is modern notation and is different from what can be found in Julius’ dissertation Hurwitz (1895).

  80. “Die Kettenbruch-Entwicklung erster Art einer complexen rationalen Zahl endigt dann und nur dann mit einem nicht durch \(1+i\) teilbaren Teilnenner, wenn, nach Forthebung gemeinsamer Faktoren, weder der Zähler noch der Nenner der Zahl durch \(1+i\) teilbar sind” (Hurwitz 1895, 27/28; Hurwitz 1902, 246).

  81. A short algebraic proof goes as follows. The set of Gaussian integers is a disjoint union of the principal ideal \((\alpha )=(1+i)\mathbb {Z}[i]\) and \(1+(\alpha )\). Denoting the Julius Hurwitz-continued fraction of a complex number \(x\) by \(x=[a_0,a_1,\ldots ,a_n,\ldots ]\) the numerators \(p_n\) and denominators \(q_n\) of its convergents \({p_n\over q_n}=[a_0,a_1,\ldots ,a_n]\) satisfy the following recursion formulae:

    $$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{c@{\quad }c} p_{-1}=\alpha ,\ p_0=a_0,&{} \mathrm{and}\qquad p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2},\\ &{}\\ q_{-1}=0,\ q_0=\alpha , &{} \mathrm{and}\qquad q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}. \end{array}\right. \end{aligned}$$

    The proof is analogous to the one for regular continued fractions, and only the initial values differ. To continue, we rewrite the recursion formulae in terms of \(2\times 2\)-matrices as

    $$\begin{aligned} \left( \begin{array}{cc} p_n &{} p_{n-1} \\ q_n &{} q_{n-1}\end{array}\right) =\left( \begin{array}{cc} 0 &{} \alpha \\ \alpha &{} 0\end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} a_1 &{} 1 \\ 1 &{} 0\end{array}\right) \ldots \left( \begin{array}{cc} a_n &{} 1 \\ 1 &{} 0\end{array}\right) \qquad (n\in \mathbb {N}_0). \end{aligned}$$

    After reducing the convergents \({p_n\over q_n}\) with respect to common powers of \(\alpha \) in the numerator and denominator, it follows from the recurrence formuale that

    $$\begin{aligned} \left( \begin{array}{cc} p_{n+1} &{} p_n \\ q_{n+1} &{} q_n\end{array}\right) \equiv \left( \begin{array}{cc} 0 &{} 1 \\ 1 &{} 0\end{array}\right) ^n\ \hbox {mod}\, \alpha , \end{aligned}$$

    where the congruence is with respect to each entry. Hence, comparing the first columns on both sides, we have shown that each finite Julius Hurwitz-continued fraction is of the form predicted by the theorem. To show the converse, one may use Fermat’s descent method.

  82. In Perron (1913, 186, vol. I), 3rd ed., Perron writes “Eine andere Vorschrift für die Wahl der Teilnenner stammt von J. Hurwitz (...); sie bildet das Analogon zu den halbregelmäßigen Kettenbrüchen mit geraden Teilnennern.” Actually, Julius Hurwitz-continued fractions of real numbers are exactly continued fractions with even partial quotients.

  83. “Denkt man sich die durch \(1+i\) teilbaren ganzen complexen Zahlen \(a, a_1,\ldots , a_n\) und die complexe Grösse \(x_{n+1}\) willkürlich gewählt, so wird der Kettenbruch \((a,a_1,\ldots ,a_n,x_{n+1})\) durch seine Einrichtung eine bestimmte complexe Grösse x ergeben. Dieser Kettenbruch braucht aber nicht notwendig mit der nach obigem Gesetze erfolgten Entwickelung von \(x\) übereinzustimmen. Vielmehr müssen, damit dies der Fall sei, \(a, a_1,\ldots , a_n, x_{n+1}\) gewisse Bedingungen erfüllen. Diese stellt der Verfasser zunächst auf. Sodann wird der Nachweis geführt, dass die Entwickelung jeder complexen Grösse convergirt, dass sie abbricht, resp. periodisch wird, wenn die Grösse eine complexe rationale Zahl ist, resp. einer quadratischen Gleichung mit ganzzahlig complexen Coefficienten genügt. Mit der untersuchten Kettenbruchentwickelung steht nun ferner eine andere in genauestem Zusammenhange, bei welcher an Stelle der Einteilung der complexen Zahlenebene in die oben genannten Quadrate eine solche in Gebiete tritt, die von Kreisstücken begrenzt sind. Für diese zweite Entwickelung werden die analogen Sätze wie für die erste bewiesen.”

  84. “Der Verfasser glaubt, dass die von ihm genauer erforschte Art der Kettenbruchentwicklung als Grundlage für die Theorie der quadratischen Formen mit complexen Variablen und complexen Koeffizienten dienen könne” (Archive of Halle University, Rep. 21 Nr. 162).

  85. See Hawkins (2008) for a very informative study of this topic.

  86. See Mathews (1912, 329). The old-fashioned, direct translation chain fraction from the German Kettenbruch is outdated. The English notion continued fraction has been used since around 1900 the first articles on this topic in English had been published.

  87. Perron’s (1913) monograph is not yet translated into English!

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Acknowledgments

The authors would like to express their gratitude to Ms. Annika Rasche and Prof. Jürgen Sander from the University of Hildesheim. In particular, the Bachelor thesis of Ms. Rasche (2011) on life and work of Adolf Hurwitz had been a big help and a guide at the beginning of our studies. Furthermore, the authors would like to thank Prof. Thomas Baier from Würzburg University for translating Julius’ vita from Latin, the first named author’s parents for helping with the old German handwriting, Prof. Dr. Christoph Baxa from the University of Vienna for his help with Gintner (1936) as well as professors Fritz Schweiger and Iekata Shiokawa for submitting their works. Our very special thanks go to Prof. Klaus Volkert and Prof. Jeremy J. Gray for their help and support for writing this article on the history of mathematics. Last not least, the authors are very grateful for the kind support from the archives at Basel, Halle, and Zurich. The photographs of Julius and Adolf Hurwitz are taken from Riesz’s register in Acta Mathematica from 1913; the photographs of the documents on these pages are taken with the permission of the archives at Halle and Zurich. All translations from German to English have been made by the authors.

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Authors and Affiliations

  1. Department of Mathematics, Würzburg University, Am Hubland, 97 218 , Würzburg, Germany

    Nicola M. R. Oswald & Jörn J. Steuding

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  1. Nicola M. R. Oswald
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  2. Jörn J. Steuding
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Correspondence to Nicola M. R. Oswald.

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Oswald, N.M.R., Steuding, J.J. Complex continued fractions: early work of the brothers Adolf and Julius Hurwitz. Arch. Hist. Exact Sci. 68, 499–528 (2014). https://doi.org/10.1007/s00407-014-0135-7

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