nach oben

Calcolo

Erschienen in:

01.03.2016

Robust exponential convergence of \(hp\)-FEM in balanced norms for singularly perturbed reaction-diffusion equations

verfasst von: J. M. Melenk, C. Xenophontos

Erschienen in: Calcolo | Ausgabe 1/2016

Einloggen

Aktivieren Sie unsere intelligente Suche, um passende Fachinhalte oder Patente zu finden.

search-config

KI-gestützte Suche

Aus

Abstract

The \(hp\)-version of the finite element method is applied to a singularly perturbed reaction-diffusion equation posed on an interval or a two-dimensional domain with an analytic boundary. On suitably designed Spectral Boundary Layer meshes, robust exponential convergence in a “balanced” norm is shown. This “balanced” norm is an \(\varepsilon \)-weighted \(H^1\)-norm, where the weighting in terms of the singular perturbation parameter \(\varepsilon \) is such that, in contrast to the standard energy norm, boundary layer contributions do not vanish in the limit \(\varepsilon \rightarrow 0\). Robust exponential convergence in the maximum norm is also established. We illustrate the theoretical findings with two numerical experiments.

Vorheriger Artikel A posteriori error estimator for exponentially fitted Discontinuous Galerkin approximation of advection dominated problems

Sie haben noch keine Lizenz? Dann Informieren Sie sich jetzt über unsere Produkte:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft+Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

über 102.000 Bücher
über 537 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Automobil + Motoren
Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Elektrotechnik + Elektronik
Energie + Nachhaltigkeit
Finance + Banking
Management + Führung
Marketing + Vertrieb
Maschinenbau + Werkstoffe
Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Springer Professional "Wirtschaft"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft" erhalten Sie Zugriff auf:

über 67.000 Bücher
über 340 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Finance + Banking
Management + Führung
Marketing + Vertrieb
Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Springer Professional "Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

über 67.000 Bücher
über 390 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Automobil + Motoren
Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Elektrotechnik + Elektronik
Energie + Nachhaltigkeit
Maschinenbau + Werkstoffe

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Note the subtle point that \(S_0(\lambda ,p)\subset H_{0}^{1}(I)\); in contrast, the reduced problem doesn’t involve boundary conditions.

Bakhvalov, N.S.: Towards optimization of methods for solving boundary value problems in the presence of boundary layers, (in Russian). Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 9, 841–859 (1969)MATH

Lin, R., Stynes, M.: A balanced finite element method for singularly perturbed reaction-diffusion problems. SIAM J. Numer. Anal. 50(5), 2729–2743 (2012)CrossRefMathSciNetMATH

Melenk, J.M.: On the robust exponential convergence of hp finite element methods for problems with boundary layers. IMA J. Numer. Anal. 17, 577–601 (1997)CrossRefMathSciNetMATH

Melenk, J.M.: hp-Finite Element Methods for Singular Perturbations, vol. 1796 of Springer Lecture Notes in Mathematics. Springer (2002)

Melenk, M.J., Xenophontos, C., Oberbroeckling, L.: Robust exponential convergence of hp-FEM for singularly perturbed systems of reaction-diffusion equations with multiple scales. IMA J. Numer. Anal. 33(2), 609–628 (2013)CrossRefMathSciNetMATH

Melenk, M.J., Xenophontos, C., Oberbroeckling, L.: Analytic regularity for a singularly perturbed system of reaction-diffusion equations with multiple scales. Adv. Comput. Math. 39, 367–394 (2013)CrossRefMathSciNetMATH

Melenk, J.M., Schwab, C.: hp FEM for reaction diffusion equations I: Robust exponential convergence. SIAM J. Numer. Anal. 35, 1520–1557 (1998)CrossRefMathSciNetMATH

Miller, J.J., O’Riordan, E., Shishkin, G.I.: Fitted Numerical Methods For Singular Perturbation Problems, World Scientific (1996)

Roos, H. G., Franz, S.: Error estimation in a balanced norm for a convection-diffusion problems with two different boundary layers, in Calcolo (in press)

10.

Roos, H. G., Schopf, M.: Convergence and stability in balanced norms of finite element methods on Shishkin meshes for reaction-diffusion problems, in ZAMM (in press)

11.

Roos, H.G., Stynes, M., Tobiska, L.: Robust numerical methods for singularly perturbed differential equations. Springer Series in Computational Mathematics, vol. 24. Springer-Verlag, Berlin (2008)

12.

Schwab, C.: p/hp Finite Element Methods, Oxford University Press (1998)

13.

Schwab, C., Suri, M.: The p and hp versions of the finite element method for problems with boundary layers. Math. Comput. 65, 1403–1429 (1996)CrossRefMathSciNetMATH

14.

Shishkin, G.I.: Grid approximation of singularly perturbed boundary value problems with a regular boundary layer. Sov. J. Numer. Anal. Math. Model. 4, 397–417 (1989)MathSciNetMATH

15.

Sündermann, B.: Lebesgue constants in Lagrangian interpolation at the Fekete points, Ergebnisberichte der Lehrstühle Mathematik III und VIII (Angewandte Mathematik) 44, Universität Dortmund (1980)

Titel: Robust exponential convergence of -FEM in balanced norms for singularly perturbed reaction-diffusion equations
verfasst von: J. M. Melenk
C. Xenophontos
Publikationsdatum: 01.03.2016
Verlag: Springer Milan
Erschienen in: Calcolo / Ausgabe 1/2016
Print ISSN: 0008-0624
Elektronische ISSN: 1126-5434
DOI: https://doi.org/10.1007/s10092-015-0139-y

Springer Professional

Abstract

Bitte loggen Sie sich ein, um Zugang zu Ihrer Lizenz zu erhalten.

Sie haben noch keine Lizenz? Dann Informieren Sie sich jetzt über unsere Produkte:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Springer Professional "Wirtschaft"

Springer Professional "Technik"

Weitere Artikel der Ausgabe 1/2016

A posteriori error estimator for exponentially fitted Discontinuous Galerkin approximation of advection dominated problems

A subspace generalization of the improved ’s algorithm for ill-conditioned linear systems

Method of lines for parabolic functional differential equations on cylindrical domains

On long time integration of the heat equation

Generalized reflexive and anti-reflexive solutions of

A numerical technique based on the shifted Legendre polynomials for solving the time-fractional coupled KdV equations