Skip to main content
Erschienen in: Quantum Information Processing 5/2019

01.05.2019

Quantum entanglement involved in Grover’s and Shor’s algorithms: the four-qubit case

verfasst von: Hamza Jaffali, Frédéric Holweck

Erschienen in: Quantum Information Processing | Ausgabe 5/2019

Einloggen

Aktivieren Sie unsere intelligente Suche, um passende Fachinhalte oder Patente zu finden.

search-config
loading …

Abstract

In this paper, we study the nature of entanglement in quantum Grover’s and Shor’s algorithms. So far, the authors who have been interested in this problem have approached the question quantitatively by introducing entanglement measures (numerical ones most of the time). One can ask a different question: What about a qualitative measure of entanglement? In other words, we try to find what are the different entanglement SLOCC classes that can be generated by these two algorithms. We treat in this article the case of pure four-qubit systems.

Sie haben noch keine Lizenz? Dann Informieren Sie sich jetzt über unsere Produkte:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft+Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

  • über 102.000 Bücher
  • über 537 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

  • Automobil + Motoren
  • Bauwesen + Immobilien
  • Business IT + Informatik
  • Elektrotechnik + Elektronik
  • Energie + Nachhaltigkeit
  • Finance + Banking
  • Management + Führung
  • Marketing + Vertrieb
  • Maschinenbau + Werkstoffe
  • Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Springer Professional "Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

  • über 67.000 Bücher
  • über 390 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

  • Automobil + Motoren
  • Bauwesen + Immobilien
  • Business IT + Informatik
  • Elektrotechnik + Elektronik
  • Energie + Nachhaltigkeit
  • Maschinenbau + Werkstoffe




 

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Springer Professional "Wirtschaft"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft" erhalten Sie Zugriff auf:

  • über 67.000 Bücher
  • über 340 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

  • Bauwesen + Immobilien
  • Business IT + Informatik
  • Finance + Banking
  • Management + Führung
  • Marketing + Vertrieb
  • Versicherung + Risiko




Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Anhänge
Nur mit Berechtigung zugänglich
Literatur
1.
Zurück zum Zitat Ekert, A., Jozsa, R.: Quantum algorithms: entanglement-enhanced information processing. Philos. Trans. R. Soc. Lond. A 1998(356), 1769–1782 (1998)ADSMathSciNetMATHCrossRef Ekert, A., Jozsa, R.: Quantum algorithms: entanglement-enhanced information processing. Philos. Trans. R. Soc. Lond. A 1998(356), 1769–1782 (1998)ADSMathSciNetMATHCrossRef
2.
Zurück zum Zitat Jozsa, R., Linden, N.: On the role of entanglement in quantum-computational speed-up. Proc. R. Soc. Lond. A 2003(459), 2011–2032 (2003)ADSMathSciNetMATHCrossRef Jozsa, R., Linden, N.: On the role of entanglement in quantum-computational speed-up. Proc. R. Soc. Lond. A 2003(459), 2011–2032 (2003)ADSMathSciNetMATHCrossRef
3.
Zurück zum Zitat Haddadi, S., Bohloul, M.: A brief overview of bipartite and multipartite entanglement measures. Int. J. Theor. Phys. 57, 3912 (2018)MathSciNetCrossRef Haddadi, S., Bohloul, M.: A brief overview of bipartite and multipartite entanglement measures. Int. J. Theor. Phys. 57, 3912 (2018)MathSciNetCrossRef
4.
5.
Zurück zum Zitat Orús, R., Latorre, J.I., Martín-Delgado, M.A.: Natural majorization of the quantum fourier transformation in phase-estimation algorithms. Quantum Inf. Process. 1(4), 283–302 (2002)MathSciNetCrossRef Orús, R., Latorre, J.I., Martín-Delgado, M.A.: Natural majorization of the quantum fourier transformation in phase-estimation algorithms. Quantum Inf. Process. 1(4), 283–302 (2002)MathSciNetCrossRef
6.
Zurück zum Zitat Orús, R., Latorre, J.I., Martin-Delgado, M.A.: Systematic analysis of majorization in quantum algorithms. Eur. Phys. J. D Atom. Mol. Opt. Plasma Phys. 29(1), 119–132 (2004) Orús, R., Latorre, J.I., Martin-Delgado, M.A.: Systematic analysis of majorization in quantum algorithms. Eur. Phys. J. D Atom. Mol. Opt. Plasma Phys. 29(1), 119–132 (2004)
7.
Zurück zum Zitat Verstraete, F., Dehaene, J., De Moor, B., Verschelde, H.: Four qubits can be entangled in nine different ways. Phys. Rev. A 65(5), 052112 (2002)ADSMathSciNetCrossRef Verstraete, F., Dehaene, J., De Moor, B., Verschelde, H.: Four qubits can be entangled in nine different ways. Phys. Rev. A 65(5), 052112 (2002)ADSMathSciNetCrossRef
9.
Zurück zum Zitat Holweck, F., Luque, J.G., Thibon, J.Y.: Entanglement of four qubit systems: a geometric atlas with polynomial compass I (the finite world). J. Math. Phys. 55(1), 012202 (2014)ADSMathSciNetMATHCrossRef Holweck, F., Luque, J.G., Thibon, J.Y.: Entanglement of four qubit systems: a geometric atlas with polynomial compass I (the finite world). J. Math. Phys. 55(1), 012202 (2014)ADSMathSciNetMATHCrossRef
10.
Zurück zum Zitat Holweck, F., Luque, J.G., Thibon, J.Y.: Entanglement of four qubit systems: a geometric atlas with polynomial compass II (the tame world). J. Math. Phys. 58, 022201 (2017)ADSMathSciNetMATHCrossRef Holweck, F., Luque, J.G., Thibon, J.Y.: Entanglement of four qubit systems: a geometric atlas with polynomial compass II (the tame world). J. Math. Phys. 58, 022201 (2017)ADSMathSciNetMATHCrossRef
11.
Zurück zum Zitat Holweck, F., Luque, J.G., Thibon, J.Y.: Geometric descriptions of entangled states by auxiliary varieties. J. Math. Phys. 53(10), 102203 (2012)ADSMathSciNetMATHCrossRef Holweck, F., Luque, J.G., Thibon, J.Y.: Geometric descriptions of entangled states by auxiliary varieties. J. Math. Phys. 53(10), 102203 (2012)ADSMathSciNetMATHCrossRef
12.
Zurück zum Zitat Bataille, M., Luque, J.G.: Quantum circuits of c–Z and SWAP gates optimization and entanglement. arXiv preprint arXiv:1810.01769 (2018) Bataille, M., Luque, J.G.: Quantum circuits of c–Z and SWAP gates optimization and entanglement. arXiv preprint arXiv:​1810.​01769 (2018)
13.
Zurück zum Zitat Enríquez, M., Delgado, F., Życzkowski, K.: Entanglement of three-qubit random pure states. Entropy 20(10), 745 (2018)ADSCrossRef Enríquez, M., Delgado, F., Życzkowski, K.: Entanglement of three-qubit random pure states. Entropy 20(10), 745 (2018)ADSCrossRef
15.
16.
Zurück zum Zitat Brylinski, J.L.: Algebraic measures of entanglement. In: Mathematics of Quantum Computation (pp. 19-40). Chapman and Hall/CRC (2002) Brylinski, J.L.: Algebraic measures of entanglement. In: Mathematics of Quantum Computation (pp. 19-40). Chapman and Hall/CRC (2002)
17.
Zurück zum Zitat Sanz, M., Braak, D., Solano, E., Egusquiza, I.L.: Entanglement classification with algebraic geometry. J. Phys. A Math. Theor. 50(19), 195303 (2017)ADSMathSciNetMATHCrossRef Sanz, M., Braak, D., Solano, E., Egusquiza, I.L.: Entanglement classification with algebraic geometry. J. Phys. A Math. Theor. 50(19), 195303 (2017)ADSMathSciNetMATHCrossRef
18.
Zurück zum Zitat Sawicki, A., Tsanov, V.V.: A link between quantum entanglement, secant varieties and sphericity. J. Phys. A Math. Theor. 46(26), 265301 (2013)ADSMathSciNetMATHCrossRef Sawicki, A., Tsanov, V.V.: A link between quantum entanglement, secant varieties and sphericity. J. Phys. A Math. Theor. 46(26), 265301 (2013)ADSMathSciNetMATHCrossRef
19.
Zurück zum Zitat Sawicki, A., Maciażek, T., Karnas, K., Kowalczyk-Murynka, K., Kuś, M., Oszmaniec, M.: Multipartite quantum correlations: symplectic and algebraic geometry approach. Rep. Math. Phys. 82(1), 81–111 (2018)ADSMathSciNetMATHCrossRef Sawicki, A., Maciażek, T., Karnas, K., Kowalczyk-Murynka, K., Kuś, M., Oszmaniec, M.: Multipartite quantum correlations: symplectic and algebraic geometry approach. Rep. Math. Phys. 82(1), 81–111 (2018)ADSMathSciNetMATHCrossRef
20.
Zurück zum Zitat Miyake, A., Wadati, M.: Multipartite entanglement and hyperdeterminants. Quantum Inf. Comput. 2(7), 540–555 (2002)MathSciNetMATH Miyake, A., Wadati, M.: Multipartite entanglement and hyperdeterminants. Quantum Inf. Comput. 2(7), 540–555 (2002)MathSciNetMATH
21.
Zurück zum Zitat Miyake, A.: Classification of multipartite entangled states by multidimensional determinants. Phys. Rev. A 67(1), 012108 (2003)ADSMathSciNetCrossRef Miyake, A.: Classification of multipartite entangled states by multidimensional determinants. Phys. Rev. A 67(1), 012108 (2003)ADSMathSciNetCrossRef
22.
Zurück zum Zitat Miyake, A., Verstraete, F.: Multipartite entanglement in \(2\times 2\times n\) quantum systems. Phys. Rev. A 69(1), 012101 (2004)ADSMathSciNet Miyake, A., Verstraete, F.: Multipartite entanglement in \(2\times 2\times n\) quantum systems. Phys. Rev. A 69(1), 012101 (2004)ADSMathSciNet
23.
Zurück zum Zitat Grover, L.K.: Quantum computers can search arbitrarily large databases by a single query. Phys. Rev. Lett. 79(23), 4709 (1997)ADSCrossRef Grover, L.K.: Quantum computers can search arbitrarily large databases by a single query. Phys. Rev. Lett. 79(23), 4709 (1997)ADSCrossRef
24.
Zurück zum Zitat Braunstein, S.L., Pati, A.K.: Speed-up and entanglement in quantum searching. Quantum Info. Comput. 2(5), 399–409 (2002)MathSciNetMATH Braunstein, S.L., Pati, A.K.: Speed-up and entanglement in quantum searching. Quantum Info. Comput. 2(5), 399–409 (2002)MathSciNetMATH
25.
Zurück zum Zitat Biham, O., Nielsen, M.A., Osborne, T.J.: Entanglement monotone derived from Grover’s algorithm. Phys. Rev. A 65(6), 062312 (2002)ADSCrossRef Biham, O., Nielsen, M.A., Osborne, T.J.: Entanglement monotone derived from Grover’s algorithm. Phys. Rev. A 65(6), 062312 (2002)ADSCrossRef
26.
Zurück zum Zitat Forcer, T.M., Hey, A.J.G., Ross, D.A., Smith, P.G.R.: Superposition, entanglement and quantum computation. Quantum Inf. Comput. 2(2), 97–116 (2002)MathSciNetMATH Forcer, T.M., Hey, A.J.G., Ross, D.A., Smith, P.G.R.: Superposition, entanglement and quantum computation. Quantum Inf. Comput. 2(2), 97–116 (2002)MathSciNetMATH
27.
Zurück zum Zitat Biham, O., Shapira, D., Shimoni, Yishai: Analysis of Grover’s quantum search algorithm as a dynamical system. Phys. Rev. A 68, 022326 (2003). Published 29 August 2003ADSCrossRef Biham, O., Shapira, D., Shimoni, Yishai: Analysis of Grover’s quantum search algorithm as a dynamical system. Phys. Rev. A 68, 022326 (2003). Published 29 August 2003ADSCrossRef
28.
Zurück zum Zitat Orús, R., Latorre, J.I.: Universality of entanglement and quantum-computation complexity. Phys. Rev. A 69(5), 052308 (2004)ADSMathSciNetCrossRef Orús, R., Latorre, J.I.: Universality of entanglement and quantum-computation complexity. Phys. Rev. A 69(5), 052308 (2004)ADSMathSciNetCrossRef
29.
Zurück zum Zitat Fang, Y., Kaszlikowski, D., Chin, C., Tay, K., Kwek, L.C., Oh, C.H.: Entanglement in the Grover search algorithm. Phys. Lett. A 345(4), 265–272 (2005)ADSMATHCrossRef Fang, Y., Kaszlikowski, D., Chin, C., Tay, K., Kwek, L.C., Oh, C.H.: Entanglement in the Grover search algorithm. Phys. Lett. A 345(4), 265–272 (2005)ADSMATHCrossRef
30.
32.
Zurück zum Zitat Wen, J., Cao, W.: Multipartite entanglement in adiabatic quantum searching algorithm. In: 2012 Eighth International Conference on Natural Computation (ICNC), (pp. 893–897). IEEE (2012) Wen, J., Cao, W.: Multipartite entanglement in adiabatic quantum searching algorithm. In: 2012 Eighth International Conference on Natural Computation (ICNC), (pp. 893–897). IEEE (2012)
34.
Zurück zum Zitat Rossi, M., Bruß, D., Macchiavello, C.: Scale invariance of entanglement dynamics in Grover’s quantum search algorithm. Phys. Rev. A 87(2), 022331 (2013)ADSCrossRef Rossi, M., Bruß, D., Macchiavello, C.: Scale invariance of entanglement dynamics in Grover’s quantum search algorithm. Phys. Rev. A 87(2), 022331 (2013)ADSCrossRef
35.
Zurück zum Zitat Chakraborty, S., Banerjee, S., Adhikari, S., Kumar, A.: Entanglement in the Grover’s Search Algorithm. arXiv preprint arXiv:1305.4454 (2013) Chakraborty, S., Banerjee, S., Adhikari, S., Kumar, A.: Entanglement in the Grover’s Search Algorithm. arXiv preprint arXiv:​1305.​4454 (2013)
36.
Zurück zum Zitat Rossi, M., Bruß, D., Macchiavello, C.: Hypergraph states in Grover’s quantum search algorithm. Phys. Scr. 2014(T160), 014036 (2014)CrossRef Rossi, M., Bruß, D., Macchiavello, C.: Hypergraph states in Grover’s quantum search algorithm. Phys. Scr. 2014(T160), 014036 (2014)CrossRef
37.
Zurück zum Zitat Qu, R., Shang, B., Bao, Y., Song, D., Teng, C., Zhou, Z.: Multipartite entanglement in Grover’s search algorithm. Nat. Comput. 14(4), 683–689 (2015)MathSciNetCrossRef Qu, R., Shang, B., Bao, Y., Song, D., Teng, C., Zhou, Z.: Multipartite entanglement in Grover’s search algorithm. Nat. Comput. 14(4), 683–689 (2015)MathSciNetCrossRef
39.
40.
Zurück zum Zitat Pan, M., Qiu, D., Zheng, S.: Global multipartite entanglement dynamics in Grover’s search algorithm. Quantum Inf. Process. 16(9), 211 (2017)ADSMathSciNetMATHCrossRef Pan, M., Qiu, D., Zheng, S.: Global multipartite entanglement dynamics in Grover’s search algorithm. Quantum Inf. Process. 16(9), 211 (2017)ADSMathSciNetMATHCrossRef
41.
Zurück zum Zitat Shor, P.W.: Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer. SIAM J. Comput. 26(5), 1484–1509 (1997). (October 1997)MathSciNetMATHCrossRef Shor, P.W.: Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer. SIAM J. Comput. 26(5), 1484–1509 (1997). (October 1997)MathSciNetMATHCrossRef
43.
Zurück zum Zitat Vidal, G.: Efficient classical simulation of slightly entangled quantum computations. Phys. Rev. Lett. 91, 147902 (2003)ADSCrossRef Vidal, G.: Efficient classical simulation of slightly entangled quantum computations. Phys. Rev. Lett. 91, 147902 (2003)ADSCrossRef
44.
Zurück zum Zitat Shimoni, Yishai, Shapira, Daniel, Biham, Ofer: Entangled quantum states generated by Shor’s factoring algorithm. Phys. Rev. A 72, 062308 (2005). Published 6 December 2005ADSMathSciNetCrossRef Shimoni, Yishai, Shapira, Daniel, Biham, Ofer: Entangled quantum states generated by Shor’s factoring algorithm. Phys. Rev. A 72, 062308 (2005). Published 6 December 2005ADSMathSciNetCrossRef
45.
Zurück zum Zitat Kendon, V.M., Munro, W.J.: Entanglement and its role in Shor’s algorithm. Quantum Inf. Comput. 6(7), 630–640 (2006). (November 2006)MathSciNetMATH Kendon, V.M., Munro, W.J.: Entanglement and its role in Shor’s algorithm. Quantum Inf. Comput. 6(7), 630–640 (2006). (November 2006)MathSciNetMATH
46.
Zurück zum Zitat Lanyon, B.P., Weinhold, T.J., Langford, N.K., Barbieri, M., James, D.F., Gilchrist, A., White, A.G.: Experimental demonstration of a compiled version of Shor’s algorithm with quantum entanglement. Phys. Rev. Lett. 99(25), 250505 (2007). 2007 Dec 21ADSCrossRef Lanyon, B.P., Weinhold, T.J., Langford, N.K., Barbieri, M., James, D.F., Gilchrist, A., White, A.G.: Experimental demonstration of a compiled version of Shor’s algorithm with quantum entanglement. Phys. Rev. Lett. 99(25), 250505 (2007). 2007 Dec 21ADSCrossRef
47.
Zurück zum Zitat Lu, C.Y., Browne, D.E., Yang, T., Pan, J.W.: Demonstration of a compiled version of Shor’s quantum factoring algorithm using photonic qubits. Phys. Rev. Lett. 99(25), 250504 (2007). 2007 Dec 21ADSCrossRef Lu, C.Y., Browne, D.E., Yang, T., Pan, J.W.: Demonstration of a compiled version of Shor’s quantum factoring algorithm using photonic qubits. Phys. Rev. Lett. 99(25), 250504 (2007). 2007 Dec 21ADSCrossRef
48.
Zurück zum Zitat Most, Y., Shimoni, Y., Biham, Ofer: Entanglement of periodic states, the quantum fourier transform, and Shor’s factoring algorithm. Phys. Rev. A 81, 052306 (2010)ADSMathSciNetCrossRef Most, Y., Shimoni, Y., Biham, Ofer: Entanglement of periodic states, the quantum fourier transform, and Shor’s factoring algorithm. Phys. Rev. A 81, 052306 (2010)ADSMathSciNetCrossRef
49.
Zurück zum Zitat Nielsen, M.A., Chuang, I.L.: Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition, 10th edn. Cambridge University Press, New York (2011)MATH Nielsen, M.A., Chuang, I.L.: Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition, 10th edn. Cambridge University Press, New York (2011)MATH
50.
Zurück zum Zitat Laugerotte, E., Luque, J.G., Mignot, L., Nicart, F.: Multilinear representations of Free PROs. arXiv preprint arXiv:1803.00228 (2018) Laugerotte, E., Luque, J.G., Mignot, L., Nicart, F.: Multilinear representations of Free PROs. arXiv preprint arXiv:​1803.​00228 (2018)
51.
Zurück zum Zitat Cao, Z., Cao, Z.: On Shor’s factoring algorithm with more registers and the problem to certify quantum computers. IACR Cryptol. ePrint Arch. 2014, 721 (2014) Cao, Z., Cao, Z.: On Shor’s factoring algorithm with more registers and the problem to certify quantum computers. IACR Cryptol. ePrint Arch. 2014, 721 (2014)
52.
Zurück zum Zitat Gelfand, I.M., Kapranov, M., Zelevinsky, A.: Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants. Springer Science & Business Media, New York (2008)MATH Gelfand, I.M., Kapranov, M., Zelevinsky, A.: Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants. Springer Science & Business Media, New York (2008)MATH
53.
Zurück zum Zitat Harris, J.: Algebraic Geometry: A First Course, vol. 133. Springer Science & Business Media, New York (2013)MATH Harris, J.: Algebraic Geometry: A First Course, vol. 133. Springer Science & Business Media, New York (2013)MATH
54.
Metadaten
Titel
Quantum entanglement involved in Grover’s and Shor’s algorithms: the four-qubit case
verfasst von
Hamza Jaffali
Frédéric Holweck
Publikationsdatum
01.05.2019
Verlag
Springer US
Erschienen in
Quantum Information Processing / Ausgabe 5/2019
Print ISSN: 1570-0755
Elektronische ISSN: 1573-1332
DOI
https://doi.org/10.1007/s11128-019-2249-y

Weitere Artikel der Ausgabe 5/2019

Quantum Information Processing 5/2019 Zur Ausgabe

Neuer Inhalt