On self tuning regulators

Abstract

The problem of controlling a system with constant but unknown parameters is considered. The analysis is restricted to discrete time single-input single-output systems. An algorithm obtained by combining a least squares estimator with a minimum variance regulator computed from the estimated model is analysed. The main results are two theorems which characterize the closed loop system obtained under the assumption that the parameter estimates converge. The first theorem states that certain covariances of the output and certain cross-covariances of the control variable and the output will vanish under weak assumptions on the system to be controlled. In the second theorem it is assumed that the system to be controlled is a general linear stochastic nth order system. It is shown that if the parameter estimates converge the control law obtained is in fact the minimum variance control law that could be computed if the parameters of the system were known. This is somewhat surprising since the least squares estimate is biased. Some practical implications of the results are discussed. In particular it is shown that the algorithm can be feasibly implemented on a small process computer.

Résumé

On considère le problème du contrôle d'un système avec paramètres constants mais inconnus. L'analyse se limite aux systèmes discrets à entrée unique et sortie unique. Un algorithme obtenu en combinant un estimateur à carrés minimum avec un régulateur à variance minimum calculée du modèle estimé, est analysé. Les résultats principaux sont deux théorêmes qui caractérisent le système à boucle fermée obtenu en supposant que les estimations des paramètres convergent. Le premier théorême dit que certaines covariances de la sortie et certaines covariances transverses de la variable de contrôle et de la sortie disparaitront avec des suppositions faibles du système contrôlé. Dans le second théorême il est supposé que le système à contrôler est un système général linéaire stochastique du nème ordre. Il est montré que si les estimations des paramètres convergent, la loi de contrôle obtenue est en fait la loi de contrôle de variance minimale qui pourrait être calculée si les paramètres du système étaient connus. Ceci est quelque peu surprenant car l'estimation des carrés minimum est partiale. On discute certaines des implications pratiques des résultats. Il est montré en particulier qu'il est possible d'appliquer l'algorithme à un petit ordinateur.

Zusammenfassung

Betrachtet wird das Problem der Steuerung eines Systems mit konstanten, aber unbekannten Parametern. Die Analyse wird auf Systeme mit Diskretzeit und einem Eingang bzw. einem Ausgang beschränkt. Ein durch Kombination einer Schätzeinrichtung und der Methode der kleinsten Quadrate mit einer aus dem Schätzmodell berechneten Regeleinrichtung erhaltener Algorithmus wird analysiert. Die Hauptergebnisse sind zwei Theoreme, die unter der Annahme, daß die Parameterschätzungen konvergieren, den erhaltenen geschlossenen Regelkreis charakterisieren. Das erste Theorem konstatiert, daß bestimmte Kovarianzen des Ausganges und bestimmte Kreuz-Kovarianzen der Steuervariablen und des Ausgangs unter schwachen Annahmen über das zu regelnde System verschwinden. Im zweiten Theorem wird angenommen, daß das zu regelnde System ein allgemeines lineares stochastisches System n-ter Ordnung ist. Gezeigt wird, daß bei Konvergenz der Parameterschätzung des erhaltenen Steuergesetzes in der Tat das Steuergesetz bei minimaler Varianz ist, das berechnet werden kann, wenn die Parameter des Systems bekannt waren. Das ist etwa überraschend, weil die Schätzung nach den kleinsten Quadraten angesteuert wird. Einige praktische Folgerungen aus den Ergebnissen werden diskutiert. Speziell wird gezeigt, daß der Algorithmus auf einem kleinen Prozeßrechner leicht verwirklicht werden kann.

Реферат

Paccмaтpивaeтcя пpoблeмa peгyлиpoвaния cиcтeм пpи пoмoщи пocтoянныч нo нeизвecтныч пapaмeтpoв. Aнaлиз oгpaничивaeтcя cиcтeмaми диcкpeтнoгo вpeмeни c oдним ввoдoм и c oдним вывoдoм. Aнaлизиpyeтcя aлгopитм, пoлyчeнный пyтeм кoмбиниpoвaния oцeнoк нaимeньшич квaдpaтoв c peгyлиpoвкoй минимaльныч кoлeбaний, вычcлeнныч из pacчeтнoй мoдeли. Ocнoвными peзyльтaтaми являютcя двe тeopeмы, чapaктepизyющиe cиcтeмy зaмкнyтoгo кoнтypa, пoлyчeннoгo в пpeдпoлoжeнии, чтo oцeнки пapaмeтpoв cчoдятcя. Пepвaя тeopeмa yтвepждaeт, чтo нeкoтopaя кoвapиaнтнocть вывoдa и нeкoтopaя пepeceкaющaя кoвapиaнтнocть кoнтpoльныч пepeмeнныч вывoдa иcчeзнyт пpи нeбoльшич дoпyщeнияч в peгyлиpyeмoй cиcтeмe. Бo втopoй тeopeмe пpeдпoлaяaeтcя, чтo кoнтpoлиpyeмaя cиcтeмa являeтcя oбщeй линeйнoй cтoчacтичecкoй cиcтeмoй пopядкa n:th. Пoкaзaнo, чтo, ecли oцeнки пapaмeтpoв cчoдятcя, тo пoлyчeнный зaкoн peгyлиpoвкя ивляeтcя фaктичecки зaкoнoм peгyлиpoвки минимaльнoгo кoлeбaния, кoтopoe мoглo бы быть вычиcлeнo пpи извecтныч пapaмeтpaч cиcтeмы. Этo дo нeкoтopoй cтeпeни нeoжидaннo, тaк кaк oцeнкa нaимeньшич квaдpaтoв явияeтcя cмeщeннoй. Oбcyждaютcя нeкoтopыe пpaктичecкиe вывoды из peзyльтaтoв. Б чacтнocти, пoкaзaнo, чтo этoт aляopитм мoжeт быть пpимeнeн нa нeбoльшoй cчeтнo-вычиcлитeльнoй мaшинe для пpoдeccoв.