Natural convection in a vertical porous annulus

Abstract

Numerical studies are reported for steady free convection in a vertical annulus filled with a saturated porous medium and whose vertical walls are at constant temperatures, the horizontal walls being insulated. Curvature effects on temperature and velocity fields are significant, and completely disturb the centro-symmetrical nature found in the vertical cavity case. Convective velocities are higher in the upper half than the lower half of the annulus, and the local rate of heat transfer is much higher near the top edge of the cold wall. The average Nusselt number always increases as the radius ratio, κ, increases, though the rate of increase diminishes with the increase in curvature effects particularly at high Rayleigh numbers, Ra^∗. In the case of a tall annulus the heat transfer rate in the boundary layer flow regime approaches that for a cylinder embedded in a porous medium, as κ increases. The Rayleigh number criteria for various flow regimes are obtained, and the average Nusselt number is correlated by a relation of the form $\text{Nu =}\text{const}\text{. Ra}{}^{\mathrm{\ast m}}\text{A}{}^{\mathrm{n}}\text{κ}{}^{\mathrm{p}}$, where A is the aspect (height-to-gap width) ratio. In the boundary layer regime, the heat transfer rate for a tall cavity or annulus of fixed height is a very weak function of the aspect ratio.

Résumé

Des études numériques sont laites pour la convection naturelle permanente dans un espace annulaire vertical rempli d'un matériau poreux saturé et dont les parois verticales sont à températures constantes, les parois horizontales étant adiabatiques. Des effets de courbures sur les champs de température et de vitesse sont significatifs et ils perturbent complètement la nature centro-symétrique trouvée dans le cas de la cavité verticale. Des vitesses convectives sont plus grandes dans la moitié supérieure que dans la moitié inférieure de l'espace, et le flux thermique local est plus élevé près de l'extrémité supérieure de la paroi froide. Le nombre de Nusselt moyen croît toujours quand le rapport des rayons κ augmente, tandis que la vitesse d'accroissement diminue avec l'augmentation des effets de courbure, particulièrement aux nombres de Rayleigh $\text{Ra}{}^{\mathrm{\ast }}$ élevés. Dans le cas d'un anneau étroit, le flux thermique dans l'écoulement de couche limite approche celui pour un cylindre noyé dans un milieu poreux quand κ augmente. Les critères de nombre de Rayleigh pour différents régimes d'écoulement sont obtenus, et le nombre de Nusselt moyen est exprimé par une relation de la forme $\text{Nu =}\text{Cte}\text{Ra}{}^{\mathrm{\ast m}}\text{A}{}^{\mathrm{n}}\text{κ}{}^{\mathrm{p}}$, où A est rapport de forme (hauteur/largeur). Dans le régime de couche limite, le flux thermique pour une cavité de l'anneau de hauteur fixée est une fonction très faible du rapport de forme.

Zusammenfassung

Numerische Untersuchungen werden vorgestellt über die stationäre natürliche Konvektion in vertikalen Ringräumen, die mit einem gesättigten porösen Stoff gefüllt sind und deren vertikale Wände auf einer konstanten Temperatur gehalten werden. Die horizontalen Wände sind isoliert. Der Einfluβ der Krümmung auf das Temperatur- und Geschwindigkeits-Feld ist von besonderer Bedeutung, er zerstört die Zentralsymmetrie, die im vertikalen Hohlraum zu beobachten ist. Die Strömungsgeschwindigkeiten sind in der oberen Hälfte des Ringraumes gröβer als in der unteren Hälfte, der örtliche Wärmeübergang ist am oberen Ende der kalten Wand wesentlich gröβer. Die mittlere Nusselt-Zahl nimmt stets mit dem Radienverhältnis κ zu, obwohl sich die Zuwachsrate mit zunehmendem Krümmungs-Einfluβ verringert, besonders bei hohen Rayleigh-Zahlen, $\text{Ra}{}^{\mathrm{\ast }}$. Im Fall eines hohen Ringraumes erreicht der Wärmeübergang im Bereich der Grenzschichtströmung die Werte für einen Zylinder, der in einem porösen Medium eingebettet ist, weil nämlich κ ansteigt. Für verschiedene Strömungsbereiche ergibt sich ein Rayleigh-Zahl-Kriterium. Die mittlere Nusselt-Zahl wird durch eine Beziehung der Form $\text{Nu =}\text{Konstante}\text{Ra}{}^{\mathrm{\ast m}}\text{A}{}^{\mathrm{n}}\text{κ}{}^{\mathrm{p}}$ korreliert, wobei A das Längenverhältnis (Höhe zu Spaltweite) ist. Im Bereich der Grenzschichtströmung hängt der Wärmeübergang in einem groβen Hohlraum oder Ringraum von fester Höhe nur wenig vom Längenverhältnis ab.

Реферат

Пpeдcтaвлehы чиcлehhыe иccлeдoвahия ycтahoвившeйcя cвoбoдhoй кohвeкции в вepтикaльhoм кoльцeoбpaзhoм cлoe, зahoлhehhoм hacыщehhoй пopиcтoй cpeдoй, вepтикaльhыe cтehки кoтopoгo имeют пocтoяhhyю тeмпepaтypy, a гopизohтaльhыe—hзoлиpoвahы. Bлияhиe кpивизhы ha пoля тeмпepaтypы и cкopocти cyщecтвehho, тaк кaк пoлhocтью hapyшaeт cиммeтpичhyю кapтиhy, oбhapyжehhyю в cлyчae вepтикaльhoй пoлocти. B вepчheй чacти кoльцeoбpaзhoгo cлoя кohвeктивhыe cкopocти вышe, чeм в hижheй, a лoкaльhaя cкopocть тeплoпepehoca haмhoгo бoльшe ы вepчheй кpoмки чoлoдhoй cтehки. Cpeдhee чиcлo Hycceльтa вceгдa pacтeт кaк oтhoшehиe paдиycoв к, чoтя cкopocть pocтa yмehьшaeтcя c yвeличehиeм влияhия кpивизhы, в чacтhocти, пpи бoльшич чиcлaч Pэлeя Ra^∗. B cлyчae выcoкoгo кoльцeoбpaзhoгo cлoя и c pocтoм к cкopocть тeплoпepeдaчи в peжимe тeчehия пoгpahичhoгo cлoя пpиближaeтcя к cкopocти для cлyчaя цилиhдpa, пoмeщehhoгo в пopиcтyю cpeдy. Пoлyчehы кpитepии чиc.тa Pэлeя для paзличhыч peжимoв тeчehия, a cpeдhee чиcлo Hycceльтa oпpeдeляeтcя cooтhoшehиeм тиha $\text{Nu =}\text{const}\text{, Ra}{}^{\mathrm{\ast m}}\text{A}{}^{\mathrm{n}}\text{κ}{}^{\mathrm{p}}$, гдe A—oтhocитeльhoe yдлиhehиe (выcoтa к тoлщhhe cтehки). B peжимe пoгpahичhoгo cлoя cкopocть тeплoпepeдaчи для выcoкoй зaмкhyтoй пoлocти или для кoльцeoбpaзhoгo cлoя oгpahичehhoй выcoты являeтcя oчehь cлaбoй фyhкциeй oтhocитeльhoгo yдлиhehия.