Some properties of media defined by constitutive equations in implicit form

Abstract

Studied in this paper are some classes of ideal materials defined by constitutive equations in implicit form; e.g. $\text{F}\text{(A, Б) = 0}$, where $\text{F}$ is tensor-valued, A and Б are symmetric tensors of rank two, and 0 is the zero tensor. Assumptions are introduced which make it possible to invert this equation for A (or Б). The properties of these solutions are studied. Special cases of such materials are isotropic-fluids and -elastic solids. Several new and interesting phenomena, not occurring in these previously investigated special cases, are predicted. In particular, certain types of the media studied are shown to possess characteristic surfaces in the principal stress space. With reference to plasticity theory, one of these is identified as a yield-like surface. Of importance is then the fact that the existence of such a surface is not hypothesized, but, rather, it is a deduced consequence within our framework. Also predicted is the shift of the yield-like surface as influenced by the (not necessarily “small”) deformation of the medium.

Résumé

L'auteur étudie quelques classes de matériaux idéaux définis par des équations de constitution sous forme implicite, par example $\text{F}\text{(A, Б) = 0}$ oú $\text{F}$ s'exprime par un tenseur d'ordre zéro, A et Б sont des tenseurs symétriques d'ordre 2.

L'auteur introduit des hypothèses qui permettent d'inverser cette équation pour A (ou pour Б), et il étudie les propriétés de ces solutions. Certains matériaux de ce genre sont des fluides isotropes et des solides élastiques isotropes. Plusieurs phénomènes nouveaux et intéressants, qui ne se présentaient pas dans ces cas particuliers étudiés antérieurement, deviennent prévisibles. On voit, en particulier, que certains types de milieux possèdent des surfaces caractéristiques dans l'espace des contraintes principales. En se basant sur la théorie de la plasticité, l'une d'elles peut être indentifiée comme étant une surface d'écoulement.

Il est important de signaler le fait que l'existence d'une telle surface ne provient pas d'une hypothèse mais qu'elle est plutôt une conséquence qui se manifeste dans le cadre de l'étude entreprise.

L'auteur peut également prévoir le déplacement de la surface d'écoulement sous l'influence de la déformation du milieu (qui n'est pas nécessairement faible).

Zusammenfassung

In diesem Beitrag werden einige Klassen von Idealstoffen untersucht, welche sich durch im impliziter Form ausgedrückte Konstitutivgleichungen definieren lassen; wie z.B. $\text{F}\text{(A, Б) = 0}$, wo $\text{F}$ tensorbewertet und O der Nulltensor ist und A und Б symmetrische Tensoren der zweiten Stufe sind. Die Einführung gewisser Annahmen ermöglicht die Umkehr dieser Gleichungen für A (oder Б). Die Eigenschaften dieser Lösungen werden untersucht und es zeigt sich, dass isotrope Flüssigkeiten und elastische Festkörper Spezialfälle derartiger Stoffe sind. Auch wird das Auftreten mehrerer neuer und interessanter Erscheinungen vorhergesagt, welche bei diesen bereits früher untersuchten Spezialfällen nicht festgestellt werden konnten. Besonders konnte für gewisse, untersuchte Medien nachgewiesen werden, dass diese im Hauptbeanspruchungsraum charakteristische Oberflächen aufweisen, und zwar erweist sich eine dieser Oberflächen als eine Fliessoberfläche im Sinne der Plastizitätstheorie. Dazu wäre zu bemerken, dass das Vorhandensein einer derartigen Oberfläche nicht in der Form einer Hypothese postuliert, sondern im Rahmen unserer Untersuchung als Folgerung abgeleitet wurde. Die Verschiebung der Fliessoberfläche unter dem Einfluss einer (nicht notwendigerweise “kleinen”) Verformung des Mediums wird ebenfalls vorhergesagt.

Sumàrio

In questa monografia si studiano alcune classi di materiau ideali definiti con equazioni costitutive in forma implicita, p. es. $\text{F}\text{(A, Б) = 0}$ in cui $\text{F}$ è valutato da tensore, A e Б sono tensori simmetrici di secondo rango e 0 è il tensore zero. S'introducono assunzione che rendono possibile l'inversione di questa equazione per A (o Б). Si studiano le proprietà di queste soluzioni. Casi speciali di detti materiali sono fluidi isotropici e solidi elastici isotropici. Si prediciono alcuni fenomeninuovie interessanti che non si verificarono precedentemente in casi speciali già investigati. In particolare, si dimostra che certi tipi dei mezzi studiati posseggono caratteristiche superfici nello spazio principale di sollecitazione. Con particolare riferimento alla teoria delia plasticità, una di esse è identificata come una superficiesimile allo snervamento. Spicca pertanto il fatto che l'esistenza di una superficie del genere non è ipotizzata ma piuttosto è una conseguenza dedotta entro il nostro quadro. Si predice anche lo spostamento della superficie simile allo snervamento in quanto influenzata dalla deformazione, non necessariamente “piccola”, del mezzo.

Реферат

V нAcToящeй pAбoTe pAccмATpиVAy. Tcя нeкoTopыe клAccы илeAльныч мATepиAлoV, oпpeдeлeнныч ypAVнeниями cocToяния V нeяVнoм Vидe, нAпpимep $\text{F}\text{(A, Б) = 0}$, гдe $\text{F}$ имeeT Teнзopныe знAчeния, A и $\text{Б}$ cиммeTpичecкиe Teнзopы VTopoгo pAнгA, 0 нyлeVoй Teнзop. VVoдяTcя пpeдпoлoжeния, c пoмoщью кoTopыч эTo ypAVнeниe мoжнA oбpATиTь для A (или $\text{Б}$). oбcyждAюTcя cVoйcTVA эTич peшeний. чAcTными cлyчAями, T Aкич мATepи AлoV, яVляюTcя изoTpoпныe жидкocTи и yпpyгиe TeлA. ПpeдcкAзAны нeкoTopыe ннTepecныe яVлeния нe VcTpeчAющиecя V чAcTныч cлyчAяч oбcyждeныч pAнышe. V чAcTнocTи, дoкAзыVAeTcя, чTo нeкoTopыe poды cpeд oблAдAюT чApAкTepиcTичecкимн пoVepчнocTями V нpocTpAнcTVe глAVныч нAпpяжeний. ecли pAccмATpиVATь Teopию плAcTичнocTи, oднy из эTич пoVepчнocTeй мoжнA идeнTифнциpoVAT ь кAк пoVepчнocTь TeкyчecTи. ToгдA VAжным фAкToм яVляeTcя, чTo cyщecTVoVAниe TAкич пoVepчнocTeй $\text{нe}$ бyдeT гипoTeTичecким, A cкopee—peзyльTAToм нAшeй pAбoTы. TAкжe мoжнo пpeдcкAзATь cдVиг пoVepчнocTи пoдoбнoй пoVpчнocTи TeкyчecTи пoд Vлияниeмнe oбязяTeльнo “мAлыч”дeфopмAций cpeды.