Hostname: page-component-8448b6f56d-sxzjt Total loading time: 0 Render date: 2024-04-20T01:36:32.746Z Has data issue: false hasContentIssue false
  • English
  • Français

Finitude pour les représentations lisses de groupes p-adiques

Published online by Cambridge University Press:  18 March 2008

Jean-Francois Dat
Jean-Francois Dat
Affiliation:
Université Pierre et Marie Curie, Institut de Mathématiques de Jussieu, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France, (dat@math.jussieu.fr)
Get access Rights & Permissions [Opens in a new window]

Abstract

We study basic properties of the category of smooth representations of a p-adic group G with coefficients in any commutative ring R in which p is invertible. Our main purpose is to prove that Hecke algebras are Noetherian whenever R is; this question arose naturally with Bernstein's fundamental work for R = ℂ, in which case he proved this Noetherian property. In a first step, we prove that Noetherianity would follow from a generalization of the so-called second adjointness property between parabolic functors, also due to Bernstein for complex representations. Then, to attack this second adjointness, we introduce and study ‘parahoric functors’ between representations of groups of integral points of smooth integral models of G and of their ‘Levi’ subgroups. Applying our general study to Bruhat-Tits parahoric models, we get second adjointness for minimal parabolic groups. For non-minimal parabolic subgroups, we have to restrict to classical and linear groups, and use smooth models associated with Bushnell-Kutzko and Stevens semi-simple characters. The same strategy should apply to ‘tame’ groups, using Yu's smooth models and generic characters.

Résumé

Nous considérons la catégorie des représentations lisses d'un groupe p-adique à coefficients dans un anneau R dans lequel p est inversible. Notre objectif principal est de prouver que cette catégorie est noetherienne si R l'est, généralisant donc un fameux résultat de Bernstein lorsque R = ℂ Dans un premier temps, nous ramenons ce problème à celui de démontrer une propriété de «seconde adjonction» entre foncteurs paraboliques, elle-aussi prouvée par Bernstein lorsque R = ℂ. Puis nous définissons et étudions des «foncteurs parahoriques» entre représentations de groupes de points entiers de certains modèles de G et de leurs «sous-groupes de Levi». Appliquant cela aux modéles de Bruhat-Tits, nous obtenons la seconde adjonction pour les paraboliques minimaux. Pour les paraboliques non minimaux, nous nous restreignons aux groupes classique et appliquons notre étude aux modèles canoniques des groupes de Bushnel-Kutzko et Stevens. Notre étude s'applique aussi aux modèles de Yu, mais il manque un résultat d'exhaustivité pour conclure dans le cas des groupes suffisamment modérés.

Keywords

groupes p-adiquesreprésentations modulairesfinitudeinduction paraboliquemodèles entiersdeuxième adjonctionp-adic groupsmodular representationsfiniteness propertiesparabolic inductionintegral modelssecond adjointness
Type
Research Article
Information
Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu , Volume 8 , Issue 2 , April 2009 , pp. 261 - 333
Copyright
Copyright © Cambridge University Press 2009

Access options

Get access to the full version of this content by using one of the access options below. (Log in options will check for institutional or personal access. Content may require purchase if you do not have access.)

References

1.Bernstein, J.-N., Second adjointness for representations of p-adic groups, disponible à www.math.uchicago.edu/~mitya/langlands.html (1993).Google Scholar
2.Bernstein, J.-N. et Zelevinski, V., Induced representations on reductive p-adic groups, Annales Scient. Éc. Norm. Sup. 10 (1977), 441–472.CrossRefGoogle Scholar
3.Bernstein, J.-N., Deligne, P., Kazhdan, D. et Vignéras, M. F., Représentations des groupes réductifs sur un corps local, Travaux en Cours (Hermann, Paris, 1984).Google Scholar
4.Bezrukavnikov, R., Homological properties of representations of p-adic groups related to the geometry of the group at infinity, disponible à http://fr.arxiv.org/abs/math.RT/0406223 (1999).Google Scholar
5.Borel, A. et Tits, J., Groupes réductifs, Publ. Math. IHES 27 (1965), 55–151.CrossRefGoogle Scholar
6.Bosch, S., Lütkebohmert, W. et Raynaud, M., Neron models, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, No. 21 (Springer, 1990).CrossRefGoogle Scholar
7.Bourbaki, , Algèbre commutative, volume IX (Masson, Paris, 1983).Google Scholar
7.Bourbaki, , Algèbre commutative, volume VII (Masson, Paris, 1985).Google Scholar
9.Broussous, P. et Lemaire, B., Building of GLm(D) and centralizers, Transform. Groups 7(1) (2002), 15–50.CrossRefGoogle Scholar
10.Broussous, P. et Stevens, S., Buildings of classical groups and centralizers of Lie algebra elements, prépublication, disponible à www.mth.uea.ac.uk/~h008/research/building.pdf.Google Scholar
11.Bruhat, F. et Tits, J., Groupes réductifs sur un corps local, I, Données radicielles valuées, Publications Mathématiques de l'IHÉS, Volume 41 (Institut des Hautes Études Scientifiques, Bures-sur-Yvette, 1972).Google Scholar
11.Bruhat, F. et Tits, J., Groupes réductifs sur un corps local, II, Existence d'une donnée radicielle valuée, Publications Mathématiques de l'IHÉS, Volume 60 (Institut des Hautes Études Scientifiques, Bures-sur-Yvette, 1984).Google Scholar
13.Bushnell, C. J., Representations of reductive p-adic groups: localization of Hecke algebras and applications, J. Lond. Math. Soc. (2) 63(2) (2001), 364–386.CrossRefGoogle Scholar
14.Bushnell, C. J. et Kutzko, P. C., The admissible dual of GLn, via open compact groups, Annals of Mathematics Studies, No. 129 (Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993).Google Scholar
15.Bushnell, C. J. et Kutzko, P. C., Semisimple types in GLn, Compositio Math. 119 (1999), 53–97.CrossRefGoogle Scholar
16.Dat, J.-F., ν-tempered representations of p-adic groups, I, l-adic case, Duke Math. J. 126(3) (2005), 397–469.CrossRefGoogle Scholar
17.Demazure, M. et Grothendieck, A. (eds), Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie: schémas en groupes, Lecture Notes in Mathematics, Nos 151-153 (Springer, 1970).Google Scholar
18.Edixhoven, B., Néron models and tame ramification, Compositio Math. 81 (1992), 291–306.Google Scholar
19.Grothendieck, A., Éléments de géométrie algébrique, IV, Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, IV, Publ. Math. IHES 32 (1967), 361.Google Scholar
20.Howlett, R. B. et Lehrer, G. I., On Harish-Chandra induction for modules of Levi subgroups, J. Alg. 165 (1994), 172–183.CrossRefGoogle Scholar
21.Kim, J.-L., Supercuspidal representations: an exhaustion theorem, J. Am. Math. Soc. 20(2) (2007), 273–320.CrossRefGoogle Scholar
22.Moy, A. et Prasad, G., Unrefined minimal K-types, Invent. Math. 116 (1994), 393–408.CrossRefGoogle Scholar
23.Moy, A. et Prasad, G., Jacquet functors and unrefined minimal K-types, Comment. Math. Helv. 71(1) (1996), 98–121.CrossRefGoogle Scholar
24.Prasad, G. et Yu, J.-K., On finite group actions on reductive groups and buildings, Invent. Math. 147(3) (2002), 545–560.CrossRefGoogle Scholar
25.Stevens, S., Intertwining and supercuspidal types for p-adic classical groups, Proc. Lond. Math. Soc. 83(1) (2001), 120–140.CrossRefGoogle Scholar
26.Stevens, S., Semisimple characters for p-adic classical groups, Duke Math. J. 127(1) (2005), 123–173.CrossRefGoogle Scholar
27.Tits, J., Reductive groups over local fields, Proc. Symp. Pure Math. 33 (1979), 29–69.CrossRefGoogle Scholar
28.Vignéras, M. F., Représentations l-modulaires d'un groupe p-adique avec l différent de p, Progress in Mathematics, No. 137 (Birkhäuser, Basel, 1996).Google Scholar
29.Vignéras, M.-F., Cohomology of sheaves on the building and R-representations, Invent. Math. 127 (1997), 349–373.Google Scholar
30.Vignéras, M.-F., Appendice à Types et induction pour les représentations modulaires de groupes p-adiques, par J.-F. Dat, Annales Scient. Éc. Norm. Sup. 32 (1999), 1–38.Google Scholar
31.Yu, J.-K., Construction of tame supercuspidal representations, J. Am. Math. Soc. 14(3) (2001), 579–622 (electronique).CrossRefGoogle Scholar
32.Yu, J.-K., Smooth models associated to concave functions in Bruhat-Tits theory, prépublication, disponible à www.math.purdue.edu/~jyu/prep/model.pdf (2002).Google Scholar