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Información tecnológica
On-line version ISSN 0718-0764
Inf. tecnol. vol.17 no.6 La Serena 2006
http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642006000600019
| Información Tecnológica-Vol. 17 N°6-2006, pág.: 125-132 MODELADO Y SIMULACION Transmisión de Calor y Materia con Reducción de Volumen Durante el Secado de Ladrillos de Cerámica Heat and Mass Transfer with Shrinkage During the Drying of Ceramic Bricks José J. S. Nascimento (1), Antonio G. B. de Lima (1), Barbara J. Teruel (2) y Francisco A. Belo (3) Resumen Se presenta un modelo matemático tridimensional transitorio aplicado al fenómeno de difusión de calor y materia con reducción de volumen en el interior de sólidos paralelepípedos. El modelo se ha aplicado al proceso de secado de ladrillos cerámicos. Se usó el método de los volúmenes finitos considerando propiedades térmicas y mecánicas constantes y una condición de contorno convectiva en la superficie del material. El modelo fue utilizado para estudiar el proceso de secado de un ladrillo de cerámica a temperaturas de 60 y 80oC y en con humedades relativas del aire de 10,07 y 4,66%. Los resultados numéricos de contenido de humedad, temperatura y reducción de volumen, fueron comparados con datos experimentales para determinar los coeficientes de transporte. Se pudo concluir que: el fenómeno de reducción de volumen tiene dos periodos y afecta considerablemente la velocidad de secado del sólido, así como la distribución del contenido de humedad en el interior del mismo. Palabras claves: secado, ladrillos de cerámica, volumen finito, simulación, paralelepípedos Abstract A three-dimensional, transitional mathematical model is presented, as applied to the phenomenon of diffusion of heat and material which results in the reduction of volume in the interiors of parallelepiped solids. The model has been applied to the drying process of ceramic bricks. The method of finite volumes was employed, considering constant thermal and mechanical properties and surrounding convective conditions over the surface of the material. The model was used to study the process of drying of a ceramic brick at temperatures of 60° and 80°C with relative humidities of surrounding air of 10.07 and 4.66% . The numerical results of moisture content, temperature, and reduction in volume were compared with experimental data to determine the transport coefficients. It can be concluded that the phenomenon of reduction in volume occurs over two periods and considerably affects the drying of the solid, as well as the distribution of the moisture content within the interior of the solid. Keywords: drying, ceramic bricks, finite volume, simulation, parallelepiped INTRODUCCION El estudio de la transmisión de calor en cuerpos porosos circundados por fluidos está presente en varias ramas de la ciencia y la tecnología. Este interés se manifiesta por motivo de que los medios porosos se encuentran en la naturaleza (suelo y plantas) y en la mayoría de las operaciones unitarias como absorción, adsorción y secado. El proceso de secado es un fenómeno en el que ocurre, de forma simultánea, las transferencias de calor y masa así como el encogimiento. Entonces, una aproximación realista al modelo físico-matemático del proceso de secado incluye las condiciones internas y externas a que está sometido el sólido y también el mecanismo de salida de humedad del material. Durante el secado de los sólidos, el fenómeno de encogimiento está implícito, lo que provoca la alteración de las cinéticas de secado y calentamiento y de las dimensiones del sólido. Por otro lado el transporte de humedad y calor son más intensos en los materiales cerámicos que tienen valores altos de humedad inicial, específicamente cuando los productos tienen un tamaño de granos muy fino. Dependiendo de las condiciones en que ocurre el proceso de secado, de la estructura del material y de la geometría de los productos, el encogimiento puede ocasionar grietas y deformaciones llegando a provocar la fractura del sólido. Por esta razón, cuando se considera el fenómeno de encogimiento en los modelos matemáticos, se pueden evaluar de forma más realista las condiciones del proceso de secado, pues éste tiene un papel muy importante en la difusión de masa y calor. Algunos trabajos sobre el fenómeno de secado de ladrillos de cerámica fueron desarrollados por Norton (1975), Reed (1995), Itaya y Hasatani (1996), Itaya et al. (1997), Banaszak y Kowalski (2000), Nascimento (2002), Boukadida y Nasrallah (2002), Sander et al. (2003) y Nascimento et al. (2005). En función de los aspectos discutidos hasta aquí, el objetivo de este trabajo es presentar un modelo matemático tridimensional de la transferencia de masa y calor en ladrillo de cerámica, incluyendo reducción del volumen, durante el secado. MODELADO MATEMÁTICO Cuando se está desarrollando un modelo matemático, algunas hipótesis tienen que ser establecidas. Las hipótesis admitidas en el modelo de difusión de calor y masa fueron: a) Propiedades termo-físicas constantes durante todo el proceso de difusión; b) Sólido homogéneo, isotrópico y tridimensional; c) Distribución del contenido de humedad y temperatura uniforme al inicio del proceso; d) Existencia de simetría en el centro del sólido; e) Condición convectiva de calor y masa en la superficie del cuerpo; f) Reducción de volumen proporcional a la variación del contenido de humedad. Modelo de difusión de materia Consideramos que la Figura 1 representa un sólido paralelepípedo con dimensiones 2R1x 2R2x2R3. En este caso, la ecuación diferencial general que describe el fenómeno de la difusión de masa toma la forma: donde M es el contenido de humedad (kg de agua / kg del material secado), t es el tiempo (s) y D es el coeficiente de difusión de masa (m2/s).
Como el sólido es simétrico, en los planos (x=0, y, z), (x, y=0, z), (x, y, z=0) se puede considerar como volumen de trabajo 1/8 del volumen total del sólido (V). La condición inicial, de simetría y de contorno para el modelo en estudio, fueron las siguientes: a) Condición inicial: b) Condiciones de simetría: c) Condiciones de contorno en la superficie: donde hm es el coeficiente de transferencia de materia y Me es el contenido de humedad de equilibrio. El contenido de humedad medio fue obtenido por: Modelo de difusión de calor En este caso, la ecuación diferencial general que describe el fenómeno de la difusión de calor toma la forma: donde La condición inicial, de simetría y de contorno para el modelo en estudio, fueron: a) Condición inicial: b) Condiciones de simetría: c) Condiciones de contorno en la superficie: donde hfg es el calor latente de vaporización (J/kg) y cv es el calor específico del vapor de agua (J/kgK). La temperatura media fue obtenido por: Modelo de reducción de volumen El desarrollo de este modelo tiene su base en el trabajo de Lima (1999). En este trabajo fue aplicada la ecuación 6 para la determinación del volumen del cuerpo (1/8 del volumen total del sólido) en cualquier instante de tiempo: donde En la ecuación (6) se tiene que METODOLOGIA EXPERIMENTAL Los ladrillos cerámicos fueran moldeados en la forma de un paralelepípedo y prensados a una presión de 2,5 MPa. Los ladrillos fueron secados en una estufa durante más de 24 horas para obtener el contenido de humedad de equilibrio. Durante el secado fueron medidas las dimensiones del ladrillo. La masa de los ladrillos secados fueron obtenidas colocando los ladrillos, en el final del proceso de secado, en una estufa en la temperatura de 110oC durante más de 48 horas. Otras informaciones sobre los procedimientos experimentales pueden ser encontradas en Nascimento (2002). SOLUCIÓN NUMÉRICA La metodología empleada para obtener la solución numérica utiliza el método numérico de los volúmenes finitos, para desarrollar las ecuaciones por partes. En la Figura 2 se muestra el volumen infinitesimal del dominio físico, con los puntos nodales (W, E, N, S, F, T), el tamaño de este volumen y las distancias entre los diferentes puntos. Las ecuaciones fueran integradas en el tiempo para el volumen de control (Fig. 2), considerando una formulación totalmente implícita y los términos en función del tiempo t+Dt. La ecuación en la forma lineal es como se muestra (Versteeg y Malalasekera, 1995; Maliska, 2004): El conjunto de ecuaciones resultantes de la ecuación 5 fue desarrollado interactivamente aplicando el método de Gauss–Seidel. Los cálculos partieron de la condición inicial y concluyeron cuando fue alcanzado el criterio de convergencia para cada punto del dominio computacional (Ecuación 8).
donde n representa la enésima interacción en cada instante de tiempo y F puede ser M ó q.
Los resultados numéricos fueron comparados con los dados experimentales para obtener los coeficientes de transporte D y hm usando la técnica del error cuadrático mínimo. En este trabajo fue utilizada una malla numérica de 20x20x20 puntos y un intervalo de tiempo de Dt=1s. Otras informaciones sobre la solución numérica son encontradas en Nascimento (2002). En la Tabla 1 se muestra las condiciones del aire de secado y ladrillo cerámico usadas en este trabajo. Los valores de las propiedades termo físicas son: hfg=1,91093 kJ/kg (T=60oC) hfg=1,91726 kJ/kg (T=80oC) cv=2358,34 kJ/kgK (T=60oC) cv= 2307,62 kJ/kgK (T=80oC) k=1,0 W/m.K (Nascimento, 2002) El coeficiente de transferencia de calor fue obtenido por (Incropera y DeWitt, 2002): donde Rex es el número de Reynolds para una placa plana, Pr es el número de Prandtl, kf es la conductividad térmica del aire y x es la dimensiones del ladrillo. RESULTADOS Y DISCUSIÓN Coeficiente de reducción del volumen Los valores del coeficiente del volumen en la ecuación (6) son presentados en la Figura 3. Observando la figura, se aprecia con claridad la dependencia de este coeficiente con el contenido de humedad. Se puede comprobar la existencia de dos periodos de alteración del comportamiento del volumen. El punto donde ocurre la alteración en el comportamiento del volumen es diferente para cada composición del material. Más este comportamiento no está entendido totalmente y es necesario más estudios. Para pequeños contenidos de humedad, la reducción del volumen no es igual al volumen del agua evaporada y puede aparecer vapor en los poros de los ladrillos. Contenido de humedad y temperatura En las Figuras 4 y 5 se muestra el contenido de humedad medio adimensional en función del tiempo y su comparación con datos experimentales. Se notó la existencia de una gran aproximación entre los resultados. Tabla 1: Condiciones experimentales del aire y ladrillo cerámico usado en este trabajo.
Cuanto mayor es el coeficiente de reducción de volumen y la temperatura, mayor es la tasa de secado y como resultado el tiempo final del proceso se reduce drásticamente. También se puede observar que los mayores diferenciales existen en el final del proceso de secado. En este caso, la consideración de la reducción linear de volumen no es muy válida. En las Figuras 6 y 7, se muestra el contenido de humedad media adimensional y la temperatura media adimensional durante el proceso de secado. Si se comparan estas figuras, se percibe que el ladrillo alcanza la temperatura de equilibrio muy rápidamente, principalmente para alta temperatura del aire, menores contenidos de humedad inicial y misma humedad relativa del aire. En la Tabla 2 se muestran los resultados de los coeficientes obtenidos con la comparación. Como se muestra en la ecuación 5, la reducción del volumen es proporcional a las dimensiones del sólido durante el proceso de secado. Esta situación es una característica del encogimiento tridimensional, donde el sólido presenta diferentes deformaciones y velocidades de encogimiento en cada dirección, en los ejes de coordenadas x, y e z especialmente el los vértices. Entonces la región de variación del contenido de humedad y temperatura así como la existencia de altos gradientes, es la región próxima al vértice, en cada uno de los planos en el interior del sólido. En esta región la reducción de las dimensiones del sólido, se traduce en una reducción del volumen, que al mismo tiempo es equivalente a la cantidad de agua que se evapora del material cerámico. Esta situación dificulta la difusión del agua hacia fuera del sólido, generando fuerzas de tensión en sentido contrario entre la capa externa e interna. Itaya et al. (1997), Nascimento (2002) y Nascimento et al. (2005) comprobaron que las regiones cercanas a los vértices son más susceptibles al surgimiento de grietas y deformaciones.
Tabla 2: Coeficientes de difusión y de transferencia de masa y varianza.
De esta forma, un secado previo y controlado es de gran importancia. Si el proceso de secado no es uniforme, aparecerán deformaciones en las piezas, y al mismo tiempo, si es muy lenta, la producción se tornará antieconómica. Para obtener un secado uniforme con gradientes de temperatura y humedad mínimos, es importante la moderación de la intensidad del secado, así como el control de la velocidad, la humedad relativa y temperatura del aire. La forma del sólido, la relación de área/volumen y la porosidad del material, también son aspectos importantes en el proceso de secado (Nishikawa et al., 1994). CONCLUSIONES A partir de los resultados obtenidos en este trabajo se puede concluir que: a) el método de los volúmenes finitos es adecuado para estimar los procesos de secado de ladrillo de arcilla; b) el coeficiente de reducción del volumen es dependiente de la temperatura del aire y la reducción de volumen presenta dos periodos de alternación de volumen; c) La temperatura del aire tiene un efecto significativo en los coeficientes de difusión y transferencia de masa; d) los gradientes más altos del contenido de humedad se sitúan en las proximidades del vértice del sólido, en cualquier instante de tiempo y como consecuencia en esta región se puede producir una mayor cantidad de rajaduras, grietas y deformaciones, que pueden disminuir y perjudicar la calidad de la pieza final después del proceso de secado. AGRADECIMIENTOS Los autores agradecen a FAPESP (Brasil), CAPES (Brasil), FINEP (Brasil) y al CNPq (Brasil), por la ayuda financiera. REFERENCIAS Banaszak, J. y S. Kowalski., Shrinkage and stress in viscoelastic cylinder in drying. In: Drying2000, Noordwijkerhout, Holland, (2000). Boukadida, N. y B. S. Nasrallah., Effect of the Variability of Heat and Mass Transfer Coefficients on Convective and Convective-radiative Drying of Porous Media. Drying Technology. 20(1), 67-91 (2002) Itaya, Y., S. Taniguchi y M. Hasatani, A Numerical Study of Transient Deformation and Stress Behavior of a Clay Slab during Drying, Drying Technology: 15 (1), 1-21 (1997). Itaya, Y. y M. Hasatani, R & D Needs-drying Ceramics, Drying Technology. 14(6) 1301-1313 (1996). Incropera, F. P. y D. P. DeWitt, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, John Wiley & Sons. New York USA (2002). Lima, A. G. B., Fenômenos de Difusão em Sólidos Esferoidais Prolatos. Estudo de Caso: Secagem de Banana. Tese de Doutorado, Faculdade de Engenharia Mecânica / Universidade Estadual de Campinas, Campinas, Brasil (1999). Maliska, C. R., Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional: Fundamentos e Coordenadas Generalizadas. LTC, Rio de Janeiro Brasil (2004). Nascimento, J. J. S., Fenômenos de Difusão Transiente em Sólidos Paralelepípedos. Estudo de caso: Secagem de Materiais Cerâmicos. Tese de Doutorado. Universidade Federal da Paraíba. João Pessoa – Brasil (2002). Nascimento, J. J. S., Mederos, B. J. T., Belo, F. A. y A. G. B. Lima, Transporte de Materia con Reducción de Volumen en el Interior de Sólidos Paralelepípedos. Información Tecnológica: 16(1) 35-41 (2005). Nishikawa, T., T. Gao, M. Hibi, M. Takatsu y M. Ogawa, Heat Transmission During Thermal Shock Testing of Ceramics, Journal of Materials Science: 29, 213-219 (1994). Norton, F. H. Elements of Ceramics, Ed. Addison Wesley, Massachussets UK (1975). Reed, J. S. Principles of Ceramics Processing. John Wiley & Sons, Inc. New York USA (1995). Sander, A., D. Skanki y B. Nenad, Heat and Mass Transfer Models in Convective Drying of Clay Slabs, Ceramics International. 29, 641-643 (2003). Versteeg, H. K. y W. Malalasekera, An Introduction to Computational Fluid Dynamics: the Finite Volume Method. Prentice Hall, London England (1995).
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(1)
t>0
t>0 
(2)
(3)
es la temperatura (oC), cp es el calor especifico (J/kgK), r es la densidad (kg/m3) y k es la conductividad térmica (W/mK). 
t>0
(4)
(5)
es el contenido de humedad y Vo es el volumen en t=0. Usando variables adimensionales, se puede escribir:
(6)
, 
, y 
es el coeficiente de reducción de volumen del sólido. Este coeficiente debe ser positivo y con un valor finito, con variación de 0 £ 
< 1. Otras informaciones sobre este modelo son obtenidas en Nascimento et al. (2005).
(7)
(8)
(Incropera y DeWitt, 2002)
Experimental ; ------- V/Vo=0.984676+0.0162859 
;
contenido de humedad medio; 
Temperatura media)
x10+3
, Bim es el número de Biot de masa y Bic es el número de Biot de calor.