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2016 | OriginalPaper | Buchkapitel

3. Locally Convex Spaces

verfasst von : Vilmos Komornik

Erschienen in: Lectures on Functional Analysis and the Lebesgue Integral

Verlag: Springer London

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Abstract

We have seen in the preceding chapters the usefulness of weak convergence. From a theoretical point of view, it would be more satisfying to find a norm associated with weak convergence. In finite dimensions every norm is suitable because the weak and strong convergences are the same. In infinite dimensions the situation is quite different.

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Fußnoten
1
von Neumann [336].
 
2
Even this may fail: see the last result of this book: Corollary 10.​12, p. 362.
 
3
von Neumann [233]. The terminology will be explained by Proposition 3.25, p. 145.
 
4
Proposition 2.​1, p. 55.
 
5
Proposition 2.​1, p. 55.
 
6
Kolmogorov [253].
 
7
We will define later (in Sect. 3.5, p. 135) a locally convex topology on X′.
 
8
Tukey [460], Klee [250].
 
9
As the maximum of a continuous function on a compact set, c is finite.
 
10
Minkowski [325] (p. 160), Krein–Milman [269]. See Phelps [359] for further improvements and generalizations.
 
11
von Neumann [336].
 
12
Wehausen [479].
 
13
See Theorem 3.21, p. 140.
 
14
See Lemma 3.12 below.
 
15
The proposition holds in all locally convex spaces: see, e.g., Reed–Simon [367], Theorem V. 23.
 
16
See, e.g., Dantzig [94], Rockafellar [398], Vajda [462].
 
17
Minkowski [323] (pp. 39–45), Farkas [135]. We follow Komornik [258].
 
18
Banach [22].
 
19
More precisely, \(\sigma (X',X'')\) is strictly coarser than β(X′, X), and one can show that \(\sigma (X',X) =\sigma (X',X'')\) \(\Longleftrightarrow\) X is reflexive.
 
20
Banach [22].
 
21
Similarly to the proof of Theorem 2.​30.
 
22
See, e.g., Lions [304] for many applications.
 
23
Banach [24], Alaoglu [3].
 
24
Goldstine [171].
 
25
We could avoid the use of nets, but the proof becomes less transparent: see, e.g., Rudin [406] or Brezis [65].
 
26
See, e.g., Dunford–Schwartz [117]. The direct implications ⇒ are due to Banach [24].
 
27
Banach [24], Bourbaki [64], Kakutani [239], Šmulian [424, 425], Eberlein [118]. See also Dunford–Schwartz [117], Whitley [486], Rolewicz [400].
 
28
We follow Whitley [486].
 
29
We recall once again that this is false in every infinite-dimensional norm topology.
 
30
Pettis [357]. See Dunford and Schwartz [117] for more direct proofs.
 
31
See Proposition 2.​15, p. 73.
 
32
We will prove a more general theorem later in Proposition 10.​5, p. 348.
 
33
Kolmogorov [253].
 
34
Minkowski [325], pp. 131–132.
 
35
We will encounter some examples at the end of Sects. 10.​2 and 10.​3, pp. 350 and 355.
 
36
Roberts [395, 396]. See also the footnote on p. 349.
 
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Metadaten
Titel
Locally Convex Spaces
verfasst von
Vilmos Komornik
Copyright-Jahr
2016
Verlag
Springer London
Buch
Lectures on Functional Analysis and the Lebesgue Integral

Print ISBN: 978-1-4471-6810-2

Electronic ISBN: 978-1-4471-6811-9

Copyright-Jahr: 2016

DOI
https://doi.org/10.1007/978-1-4471-6811-9_3