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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Grundlagen

Zusammenfassung
In diesem einführenden Kapitel sollen die Grundlagen aus der linearen Algebra bereitgestellt werden, die später bei der Konstruktion effizienter Algorithmen für die Lösung linearer Gleichungssysteme benötigt werden. Neben den grundlegenden Begriffen wie zum Beispiel Normen von Vektoren und Matrizen wird die Singulärwertzerlegung beliebiger Matrizen hergeleitet. Diese bildet die Grundlage der in Kapitel 7 behandelten hierarchischen Matrizen. Das Orthogonalisierungs-verfahren nach Gram-Schmidt bildet den Ausgangspunkt für die Herleitung von modernen Iterationsverfahren für lineare Gleichungssysteme. Deren Konvergenzanalyse erfordert die Beschäftigung mit Tschebyscheff-Polynomen. Diese wiederum sind zentral für die polynomiale Approximation von Funktionen, welche zum Beispiel auch bei Anwendungen hierarchischer Matrizen benutzt werden können.
Olaf Steinbach

Kapitel 2. Lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung
In diesem Kapitel sollen einige Beispiele angegeben werden, die zur Bestimmung einer Approximation die Lösung eines in der Regel großdimensionierten linearen Gleichungssystems erfordern. Neben der Interpolationsaufgabe mit Tschebyscheff-Polynomen sind dies die L 2 -Projektion zur stückweise linearen Approximation von Funktionen sowie die näherungsweise Lösung von Randwertproblemen gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen mit Finite Element Methoden und Randelementmethoden. In dieser Darstellung wird sich bewußt auf einfache ein- und zweidimensionale Modellprobleme beschränkt, um die auch für den mehrdimensionalen Fall wesentlichen Eigenschaften der Systemmatrizen in einer möglichst einfachen Darstellung ableiten zu können. Für eine weiterführende Diskussion sei hier zum Beispiel auf [31, 51] verwiesen.
Olaf Steinbach

Kapitel 3. Strukturierte Matrizen

Zusammenfassung
Strukturierte Matrizen zeichnen sieh durch spezielle Eigenschaften aus, die sich insbesondere für die Lösung von linearer Gleichungssystemen mit strukturierten Matrizen ausnutzen lassen. Einfache Beispiele hierfür sind Diagonalmatrizen oder obere beziehungsweise untere Dreiecksmatrizen, die eine optimale Invertierung ermöglichen. Gegenstand dieses Kapitels ist die Behandlung vollbesetzter, aber strukturierter Matrizen wie zum Beispiel zirkulante Matrizen und Toeplitz-Matrizen. Eine andere wichtige Klasse bilden die Niedrig—Rang-Störungen regulärer Matrizen. Eine blockweise Anwendung dieser Idee führt später auf Hierarchische Matrizen, vergleiche hierzu Kapitel 7.
Olaf Steinbach

Kapitel 4. Klassische Iterationsverfahren

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden klassische Iterationsverfahren zur Lösung des linearen Gleichungssystems
$$A\underline x \; = \;\underline f$$
(4.1)
mit einer regulären reellen Matrix An×n betrachtet.
Olaf Steinbach

Kapitel 5. Verfahren orthogonaler Richtungen

Zusammenfassung
Für die Lösung des linearen Gleichungssystems
$$A\underline x \; = \;\underline f$$
(5.1)
sollen in diesem Kapitel verschiedene Verfahren hergeleitet werden, die alle auf der Konstruktion orthogonaler Vektorsysteme basieren. Eine symmetrische und positiv definite Matrix A induziert ein Skalarprodukt, bezüglich dem ein System A-orthogonaler Vektoren erzeugt werden kann. Dieser Zugang führt auf das Verfahren konjugierter Gradienten. Für nichtsymmetrische sowie indefinite Matrizen A sind andere Zugänge erforderlich. Neben der Minimierung des Residuums in der Euklidischen Vektornorm können biorthogonale Vektorsysteme zur Lösung des linearen Gleichungssystems (5.1) konstruiert werden.
Olaf Steinbach

Kapitel 6. Gleichungssysteme mit Blockstruktur

Zusammenfassung
Lineare Gleichungssysteme mit Blockstruktur entstehen zum Beispiel bei der Diskretisierung von Sattelpunktproblemen mit finiten Elementen sowie bei der Galerkin-Diskretisierung der symmetrischen Formulierung von Randintegralgleichungen, siehe zum Beispiel [51]. Gleichungssysteme mit Blockstruktur entstehen aber auch bei Gebietszerlegungsmethoden zur Kopplung verschiedener Modellgleichungen oder Diskretisierungen [50, 59]. Dies beinhaltet auch die Herleitung paralleler Lösungsverfahren. Wesentlich dafür ist die Verfügbarkeit optimaler Vorkonditionierungsstrategien.
Olaf Steinbach

Kapitel 7. Hierarchische Matrizen

Zusammenfassung
Die in Kapitel 2 angegebenen Aufgaben zur Projektion und Approximation von Punktionen führen auf Familien von linearen Gleichungssystemen Ax = f mit Matrizen An×n, siehe zum Beispiel (2.5) für die Massematrix der L2-Projektion mit stückweise linearen Basisfunktionen oder (2.8) für die Approximation einer partiellen Differentialgleichung mit finiten Elementen. Beide Matrizen (2.5) und (2.8) sind schwach besetzt, allerdings sind ihre inversen Matrizen vollbesetzt. Im Gegensatz zu finiten Elementen führt die Approximation partieller Differentialgleichungen durch Randelementmethoden auf vollbesetzte Steifigkeitsmatrizen.
Olaf Steinbach

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