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2024 | Buch

Magische Quadrate und ihre Konstruktion

Ein ausführlicher Überblick zu bekannten Konstruktionsverfahren

verfasst von: Holger Danielsson

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Inhaltsverzeichnis

Über dieses Buch

Die faszinierende Geschichte der magischen Quadrate ist reich an sehr unterschiedlichen Konstruktionsverfahren, die von der Antike bis in die Neuzeit reichen und die hier erstmals alle in einem Buch präsentiert werden:

Dieses Werk bietet einen umfassenden und vollständigen Überblick über die vielfältigen Arten von magischen Quadraten sowie ihre Konstruktion und Klassifikation anhand verschiedener Eigenschaften. Betrachtet werden etwa historische Verfahren aus dem arabischen Raum oder dem europäischen Mittelalter, aber auch Verfahren, die erst vor wenigen Jahren entwickelt wurden.

Der Autor schafft es, auch komplizierte Konstruktionsverfahren auf verständliche und nachvollziehbare Weise zu vermitteln und begreifbar zu machen. Für die ausführlichen und präzisen Beschreibungen der Verfahren verwendet er ausdrucksstarke und erklärende Grafiken, so dass zum Verständnis kein besonderes mathematisches Vorwissen erforderlich ist.

Auch wenn Sie überzeugt sind, dass Sie sich mit magischen Quadraten schon gut auskennen: Dieses Buch wird Ihnen viele neue Einblicke vermitteln!

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Magische Quadrate

Zusammenfassung

Magische Quadrate sind schon sehr lange bekannt. Das älteste bekannte magische Quadrat geht der Legende nach auf den Kaiser Yu zurück, der um 2200 v. Chr. am Fluss Lo eine Schildkröte gesehen hat, die auf ihrem Rücken neun in einem Quadrat angeordnete Zahlen trug. Es handelt sich hierbei lediglich um eine Legende, jedoch zeigt sie, dass die mathematischen Eigenschaften der magischen Quadrate schon seit Jahrtausenden faszinierten.

Holger Danielsson

Kapitel 2. Besondere Eigenschaften

Zusammenfassung

Die Zahlen in einem magischen Quadrat können auf eine ganz besondere Art angeordnet sein. Man spricht dann davon, dass dieses Quadrat eine bestimmte Eigenschaft besitzt. Damagische Quadrate sehr viele unterschiedliche Eigenschaften besitzen können, sollen sie in diesem Kapitel zentral beschrieben werden.

Holger Danielsson

Kapitel 3. Grundlegende Begriffe

Zusammenfassung

Die Konstruktion von magischen Quadraten wird in vielen Fällen nicht durch direkte Berechnungen von Zahlen durchgeführt, sondern die Zahlen werden mithilfe einer systematischen Struktur auf die Zellen des Quadrates verteilt. Dazu sind mehrere unterschiedliche Darstellungen dieser Strukturen hilfreich, die in vielen Fällen für die Konstruktion von zentraler Bedeutung sind.

Holger Danielsson

Kapitel 4. Ordnung 4

Zusammenfassung

Magische Quadrate vierter Ordnung sind erschöpfend behandelt und bereits Frénicle (1605–1674) entdeckte alle 880 magischen Quadrate dieser Ordnung, die aber erst nach seinem Tod im Jahre 1693 veröffentlicht wurden. Da jedes Quadrat durch Drehungen und Spiegelungen auf insgesamt acht verschiedene Arten dargestellt werden kann, gibt es insgesamt 8 . 880 = 7040 magische Quadrate vierter Ordnung.

Holger Danielsson

Kapitel 5. Ungerade Ordnungen

Zusammenfassung

Es gibt sehr viele Verfahren zur Erzeugung magischer Quadrate mit ungeraden Ordnungen, die man in zwei Hauptkategorien unterteilen kann. Sie unterscheiden sich nämlich in der Ordnung, für die ein solches magisches Quadrat erzeugt werden soll.

Holger Danielsson

Kapitel 6. Gerade Ordnungen

Zusammenfassung

Bei der Konstruktion von magischen Quadraten muss zwischen verschiedenen Ordnungen unterschieden werden, da jedes Verfahren die Ordnung mit einbeziehen muss, umbeispielsweise Zahlen geeignet anzuordnen oder Symmetrien ausnutzen zu können. Bei geraden Ordnungen unterscheidet man zwischen doppelt-geraden und einfach-geraden Ordnungen.

Holger Danielsson

Kapitel 7. Doppelt-gerade Ordnungen

Zusammenfassung

Für doppelt-gerade Ordnungen n = 4k gibt es sehr viele unterschiedliche Verfahren, da die Zahlen sehr symmetrisch angeordnet werden können. Durch zusätzliche Varianten ist die Anzahl der bekannten Konstruktionsverfahren so groß, dass die Verfahren mehr oder weniger willkürlich in drei Abschnitte unterteilt werden.

Holger Danielsson

Kapitel 8. Einfach-gerade Ordnungen

Zusammenfassung

Magische Quadrate einfach-gerader Ordnungen sind wesentlich schwieriger zu konstruieren als Quadrate mit doppelt-gerader Ordnung. Weil für die letzteren die halbe Ordnung wieder eine gerade Zahl ist, können dort symmetrische Anordnungen der Zahlen leichter ausgenutzt werden.

Holger Danielsson

Kapitel 9. Gerahmte und konzentrische Quadrate

Zusammenfassung

Gerahmte und konzentrische magische Quadrate bleiben auch dann noch magisch, wenn man ihren Rand entfernt. Die so entstehenden Quadrate sind zwar keine echten magischen Quadrate mehr, weil sie nicht mehr aus den Zahlen 1, 2, . . . , n² bestehen. Sie besitzen aber weiterhin die Eigenschaft, dass alle Zeilensummen, alle Spaltensummen und beide Diagonalensummen identisch sind.

Holger Danielsson

Kapitel 10. Verdopplung der Ordnung

Zusammenfassung

Die in den bisherigenKapiteln beschriebenenKonstruktionen zeichneten sich dadurch aus, dass etwa Zahlenmithilfe einer systematischen Struktur auf die Zellen eines Quadrates verteilt wurden. In anderen Verfahren wurde von ganz bestimmten Anordnungen der Zahlen 1, 2, . . . , n² ausgegangen und das magische Quadrat durch Vertauschungen dieser ursprünglichen Anordnungen erzeugt. Dies unterscheidet diese Verfahren grundlegend von den in diesem Kapitel beschriebenen Verfahren.

Holger Danielsson

Kapitel 11. Zusammengesetzte Ordnungen

Zusammenfassung

Ein zusammengesetztes magisches Quadrat der Ordnung n = p \(\cdot\) q wird aus zwei vorhandenen magischen Quadraten der Ordnungen p und q gebildet. Bei der kleinstmöglichen Ordnung n = 9 werden Ausgangsquadrate dritter Ordnung benötigt. Die Zielquadrate sind zwar sehr einfach zu konstruieren und bieten viele Möglichkeiten für Variationen, werden aber durch ihre Größe schnell unübersichtlich.

Holger Danielsson

Backmatter

Titel: Magische Quadrate und ihre Konstruktion
verfasst von: Holger Danielsson
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-70448-6
Print ISBN: 978-3-662-70447-9
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-70448-6