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Erschienen in:
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2018 | OriginalPaper | Buchkapitel

2. Mannigfaltigkeiten

verfasst von : Prof. Dr. Werner Ballmann

Erschienen in: Einführung in die Geometrie und Topologie

Verlag: Springer Basel

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Zusammenfassung

Für viele Probleme innerhalb und außerhalb der Mathematik sind Mannigfaltigkeiten die natürliche Klasse der zugrunde liegenden Räume. Im Sinne der Analysis sind Mannigfaltigkeiten lokal nicht von euklidischen Räumen zu unterscheiden und daher auf die Werkzeuge der Analysis zugeschnitten. Vieles aus der Analysis euklidischer Räume findet mit den Mannigfaltigkeiten seinen natürlichen Rahmen. Diskutiert werden Mannigfaltigkeiten und Untermannigfaltigkeiten, Lie’sche Gruppen, Tangentialvektoren und Tangentialräume, glatte Abbildungen und ihre Ableitungen, Vektorfelder und ihre Lie’sche Klammer. Abgerundet wird die Diskussion durch eine Reihe von Beispielen und Übungsaufgaben.

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Fußnoten
1
Reell analytisch bedeutet, dass die Komponenten von\(f\) lokal durch konvergente Potenzreihen dargestellt werden können. Der Leser, der nicht mit reell analytischen Abbildungen vertraut ist, möge reell analytisch jeweils durch unendlich oft differenzierbar ersetzen.
 
2
In diesem Beispiel ist \(x\) keine Karte, sondern der Name der Variablen.
 
3
eine Anleihe bei Imre Lakatos (1922–1974)
 
4
Ernst Paul Heinz Prüfer (1896–1934)
 
5
Albert Einstein (1879–1955)
 
6
Die Einstein’sche Summationskonvention verlangt, dass über Indizes summiert wird, die oben und unten auftreten.
 
7
Mit \(\mathbb{H}\) bezeichnen wir die Hamilton’schen Quaternionen. Wir vereinbaren, dass Vektoren in \(\mathbb{H}^{n}\) von rechts mit Skalaren aus \(\mathbb{H}\), von links mit Matrizen aus \(\mathbb{H}^{m\times n}\) multipliziert werden. Mit dieser Konvention definieren solche Matrizen \(\mathbb{H}\)-lineare Abbildungen \(\mathbb{H}^{n}\longrightarrow\mathbb{H}^{m}\). Wem die Hamilton’schen Quaternionen nicht geheuer sind, möge sie vorerst ausklammern.
 
8
William Rowan Hamilton (1805–1865)
 
9
Hermann Günther Graßmann (1809–1877)
 
10
Hassler Whitney (1907–1989)
 
11
Michel André Kervaire (1927–2007)
 
12
Marius Sophus Lie (1842–1899)
 
13
Werner Karl Heisenberg (1901–1976)
 
14
Unsere Bezeichnungen sind nicht unüblich, in der Literatur sind sie aber nicht einheitlich.
 
15
Der Leser erinnere sich an die Einstein’sche Summationskonvention.
 
16
Bei der Einstein’schen Summationskonvention zählt der Index \(i\) in \({\partial}/{\partial x^{i}}\) als unterer Index.
 
17
Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851)
 
18
Henri Poincaré (1854–1912), Heinz Hopf (1894–1971)
 
19
Leonhard Euler (1707–1783)
 
20
Giuseppe Veronese (1854–1917)
 
21
Eduard Ludwig Stiefel (1909–1978)
 
Metadaten
Titel
Mannigfaltigkeiten
verfasst von
Prof. Dr. Werner Ballmann
Copyright-Jahr
2018
Verlag
Springer Basel
Buch
Einführung in die Geometrie und Topologie

Print ISBN: 978-3-0348-0985-6

Electronic ISBN: 978-3-0348-0986-3

Copyright-Jahr: 2018

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0986-3_2