Markov Chain Monte Carlo on Matrix Manifolds for Probabilistic Model Order Reduction

Dieses Kapitel vertieft die Integration von Markov Chain Monte Carlo (MCMC) -Techniken mit Matrixmannigfaltigkeiten zur Verringerung der wahrscheinlichen Modellordnung. Der primäre Fokus liegt auf der Reduzierung linearer Modellordnungen (MOR), die darauf abzielt, die Dimensionalität von Problemen zu minimieren und gleichzeitig wesentliche Muster zu erhalten. Die Methodik beinhaltet die Suche nach optimalen Matrizen auf Matrixmannigfaltigkeiten, wie den Stiefel- und Grassmann-Mannigfaltigkeiten, um verschiedene Anwendungen zu lösen, darunter korrekte orthogonale Zersetzung, aktive Teilräume und Matrixvervollständigung. Durch die Anpassung von MCMC-Algorithmen wie Metropolis-Hastings und Metropolis-angepasstem Langevin-Algorithmus ermöglicht die Arbeit die Entnahme von Proben aus posterioren Verteilungen, die auf Matrixmannigfaltigkeiten definiert sind, wodurch die Unsicherheit effektiv quantifiziert wird. Das vorgeschlagene Rahmenwerk, das mit der Manopt-Software implementiert wurde, bietet einen robusten Ansatz, um Unsicherheit in reduzierten Modellen zu verbreiten, was es zu einem wertvollen Beitrag im Bereich der probabilistischen MOR macht.