2. Markov-Prozesse

In diesem Kapitel werden Markov-Prozesse als eine grundlegende Klasse von stochastischen Prozessen eingeführt, die durch ihre Gedächtnislosigkeitseigenschaft gekennzeichnet sind. Die Übergangsverteilung spielt eine zentrale Rolle und wird ausführlich behandelt, einschließlich der Definition und Eigenschaften von Übergangsverteilungen sowie der Chapman-Kolmogorov-Gleichung. Der Text erklärt, wie Markov-Prozesse durch Übergangsverteilungen beschrieben werden und wie diese die Verteilung zukünftiger Werte basierend auf dem aktuellen Zustand vorhersagen. Zudem wird die Markov-Eigenschaft detailliert erläutert, die die Unabhängigkeit der Zukunft von der Vergangenheit gegeben den aktuellen Zustand beschreibt. Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf der Darstellung des charakteristischen Operators und den Kolmogorov-Gleichungen, die die Übergangsverteilung beschreiben. Der Text zeigt, wie diese Gleichungen die bedingte Erwartung von Funktionen des Prozesses berechnen und wie sie mit partiellen Differentialgleichungen verbunden sind. Abschließend wird die Verbindung zwischen Markov-Prozessen und Diffusionen hergestellt, wobei die Konstruktion von Diffusionen durch stochastische Differentialgleichungen und die Rolle des charakteristischen Operators bei der Kompensation von Prozessen zu Martingalen behandelt wird. Das Kapitel bietet einen umfassenden Überblick über die Theorie und Anwendungen von Markov-Prozessen und hebt deren Bedeutung in verschiedenen mathematischen und praktischen Kontexten hervor.