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Über dieses Buch

Das Buch ist eine kompakte, leicht lesbare Einführung in die Maß- und Integrationstheorie samt Wahrscheinlichkeitstheorie, in der auch auf den für das Verständnis wichtigen Bezug zur klassischen Analysis, etwa in Abschnitten über Funktionen von beschränkter Variation oder dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eingegangen wird. Trotz seines verhältnismäßig geringen Umfangs behandelt es alle wesentlichen Themen dieser Fachgebiete, wie Mengensysteme, Mengenfunktionen Maßfortsetzung, Unabhängigkeit, Lebesgue-Stieltjes-Maße, Verteilungsfunktionen, messbare Funktionen, Zufallsvariable, Integral, Erwartungswert, Konvergenzsätze, Transformationssätze, Produkträume, Satz von Fubini, Zerlegungssätze, Funktionen von beschränkter Variation, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Lp-Räume, Bedingte Erwartungen, Gesetze der großen Zahlen, Ergodensätze, Martingale, Verteilungskonvergenz, charakteristische Funktionen und die Grenzverteilungssätze von Lindeberg und Feller.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einführung

Zusammenfassung
Wirft man einen Würfel bis zur ersten Sechs, so kann man die Wahrscheinlichkeit, dass dies gerade beim \( \textit{n} \)-ten Wurf passiert, berechnen, indem man die Menge Ω n :={1,…,6} n aller \( \textit{n} \)-Tupel betrachtet, die man mit den Augenzahlen 1,…,6 bilden kann. Ω n besteht aus |Ω n | = 6 n Elementen und bei einem fairen Würfel sollte jedes \( \textit{n} \)-Tupel gleich wahrscheinlich sein.
Norbert Kusolitsch

2. Mengen und Mengensysteme

Zusammenfassung
Mit \({\mathcal{B}}(\Omega ):= \{A:\;A \subseteq \Omega \}\) bezeichnen wir die Potenzmenge von Ω ≠ Ø.
Die Mengenoperationen, wie Vereinigung zweier Mengen \( \textit{A}\cup\textit{B} \), ihr Durchschnitt \( \textit{A}\cap\textit{B} \) ihre Differenz \( A\backslash B:=A\cap {{B}^{c}} \) und ihre symmetrische Differenz \( A\Delta B:=(A\backslash B)\cup (B\backslash A) \) werden als bekannt vorausgesetzt.
Norbert Kusolitsch

3. Mengenfunktionen

Zusammenfassung
Die wesentliche Eigenschaft von Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist die σ-Additivität. Wir wollen uns daher in diesem Abschnitt mit additiven und σ-additiven Mengenfunktionen beschäftigen.
Norbert Kusolitsch

4. Fortsetzung von Maßen auf σ–Algebren

Zusammenfassung
Das Ausschöpfungsprinzip des Eudoxos weist den Weg, wie man den Definitionsbereich eines Maßes auf σ-Algebren ausdehnen kann.
Nach diesem Verfahren bestimmt man die Fläche eines Kreises approximativ, indem man den Kreis mit immer kleiner werdenden Quadraten überdeckt und andererseits die Flächen der Quadrate addiert, die zur Gänze im Kreis liegen.
Norbert Kusolitsch

5. Unabhängigkeit

Zusammenfassung
Das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit ist von zentraler Bedeutung für die Wahrscheinlichkeitstheorie. Wir stellen hier zunächst die elementare Definition zusammen mit einigen grundlegenden Ergebnissen vor.
Norbert Kusolitsch

6. Lebesgue-Stieltjes-Maße

Zusammenfassung
In diesem Abschnitt betrachten wir Maßfunktionen, die auf der σ-Algebra \( \mathcal{B} \) k der k-dimensionalen Borelmengen des \( \mathbb{R} \) k definiert sind.
Norbert Kusolitsch

7. Messbare Funktionen – Zufallsvariable

Zusammenfassung
Bei der Durchführung eines Versuches interessieren uns oft nicht alle Einzelheiten des Ausgangs, stattdessen will man häufig nur ein bestimmtes Merkmal betrachten. So wird beispielsweise bei „6 aus 45“ den Spieler weniger sein konkreter Tipp, als vielmehr die Anzahl X der richtigen Zahlen auf seinem Tipp interessieren. Bei einer Gesundenuntersuchung könnten wieder Größe und Gewicht der untersuchten Personen von Bedeutung sein.
Norbert Kusolitsch

8. Die Verteilung einer Zufallsvariablen

Zusammenfassung
Wir haben schon in Abschnitt 7.1 festgestellt, dass eine Zufallsvariable das wesentliche Merkmal eines Versuches beschreibt und so zu einer Datenreduktion führt. Wenn wir nur an Aussagen über dieses Merkmal interessiert sind, wird es sinnvoll sein, den messbaren Teilmengen des Bildraums (des „Merkmalraums“) jene Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen, mit denen die Zufallsvariable Werte aus der entsprechenden Menge annimmt. Dadurch wird der Bildraum selbst mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ausgestattet und man kann sich in weiterer Folge mit diesem „einfacheren“ Raum beschäftigen, ohne immer wieder auf den ursprünglichen Grundraum \( (\Omega ,\mathcal{G},P) \) zurückgreifen zu müssen. Das folgende Beispiel soll dies veranschaulichen.
Norbert Kusolitsch

9. Das Integral – Der Erwartungswert

Zusammenfassung
Wir werden das Integral in 4 Schritten einführen:
1.
für nichtnegative, messbare Treppenfunktionen,
 
2.
für nichtnegative, messbare Funktionen,
 
3.
für beliebige messbare Funktionen,
 
4.
für μ-fü messbare Funktionen.
 
Norbert Kusolitsch

10. Produkträume

Zusammenfassung
In der Wahrscheinlichkeitstheorie hat man oft Produkträume und Verteilungen auf diesen Räumen zu betrachten, etwa wenn der Zusammenhang zwischen mehreren Zufallsvariablen, wie etwa dem Körpergewicht und der Körpergröße, untersucht werden soll. Um aber Verteilungen auf einem Produktraum definieren zu können, benötigt man eine geeignete σ-Algebra darauf.
Norbert Kusolitsch

11. Zerlegungssätze und Integraldarstellung

Zusammenfassung
Ist ν das unbestimmte Integral einer Funktion f bezüglich μ, so gilt klarerweise \( \nu(B) \ge 0\,\,\,\,\,\forall \,\,B \subseteq [f \ge 0]\,\,\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,\,\nu(B) \le 0\,\,\,\,\forall \,B\,\, \subseteq \,\,[f < 0] \). Wir zeigen in diesem Abschnitt, dass es zu jedem signierten Maß ν eine Menge \( P \in \mathcal{G} \) gibt mit \( \nu(B) \ge 0\,\,\,\,\,\forall \,\,B \subseteq P,\,\,B \in \mathcal{G}\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,\nu(B) \le 0\,\,\,\forall \,\,B \subseteq N\,: = {P^c},\,B \in \mathcal{G} \).
Norbert Kusolitsch

12. Integral und Ableitung

Zusammenfassung
Wie aus der Differential- und Integralrechnung bekannt, ist das unbestimmte Riemann-Integral \(F(x):=c+\int\limits_{a}^{x}{{}}f(t)dt\) einer stetigen Funktion f : [a, b] → ℝ stetig differenzierbar mit \(F'(x) = {\partial \over {\partial x}}\int_a^x {} f(t)dt = f(x)\), d.h. F ist eine Stammfunktion von f.
Norbert Kusolitsch

13. Lp- Räume

Zusammenfassung
Eine der wichtigsten Integralungleichungen ist die Jensen’sche Ungleichung über den Erwartungswert konvexer Transformationen (siehe Anhang A.5) von Zufallsvariablen.
Norbert Kusolitsch

14. Bedingte Erwartungen

Zusammenfassung
Definition 14.1. Ist X eine diskrete Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \( \,(\Omega ,\mathcal{G},P) \) mit \( P(X \in D) = 1,\,\,|D|\,\, \le \,\,{{\aleph}_0},\,\,P(X = x)> 0\,\,\,\forall \,x \in D \), so wird durch \( P(A|X=x):=\frac{P(A\cap [X=x])}{P(X=x)} \), \( A \in \mathcal{G} \) für alle \( \,\,x \in D \) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung definiert, die durch \( \,\,[X = x] \) bedingte Verteilung.
Norbert Kusolitsch

15. Gesetze der großen Zahlen

Zusammenfassung
Oft lassen sich Aussagen über bestimmte Ereignisse machen, wenn man gewisse Kenngrößen einer Zufallsvariablen bestimmen oder schätzen kann ohne die Verteilung der Zufallsvariablen selbst zu kennen. So liefert etwa Ungleichung (13.14) bzw.
Norbert Kusolitsch

16. Martingale

Zusammenfassung
Ist \( {X_1},{X_2},... \) eine Folge unabhängiger Zufallsvariabler mit \( \mathbb{E}{X_n} = 0\,\,\forall \,\,n \in \mathbb{N} \), so sind die akkumulierten Summen \({{S}_{n}}:=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\sum{{}}}}}\,{{X}_{i}}\) nicht mehr unabhängig.
Norbert Kusolitsch

17. Verteilungskonvergenz und Grenzwertsätze

Zusammenfassung
Häufig muss man in der Wahrscheinlichkeitstheorie Verteilungen approximieren. Dem dient das folgende Konvergenzkonzept, das wir hier nur für den Raum (\( \mathbb{R},\mathcal{B} \)) vorstellen, obwohl es in einfacher Weise auf metrische Räume verallgemeinert werden kann.
Norbert Kusolitsch

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