13. Maßwechsel und Martingaldarstellung

In diesem Kapitel werden zwei zentrale Resultate der Wahrscheinlichkeitstheorie vorgestellt: das Girsanov-Theorem und das Martingal-Darstellungstheorem. Das Girsanov-Theorem besagt, dass ein durch Hinzufügen eines Drifts zu einer Brownschen Bewegung erhaltener Prozess unter einem neuen Wahrscheinlichkeitsmaß wieder eine Brownsche Bewegung ist. Das Martingal-Darstellungstheorem zeigt, dass jedes lokale Martingal bezüglich der Brownschen Filtration eine Darstellung als stochastisches Integral besitzt und somit eine stetige Version hat. Diese Resultate werden kombiniert, um den Einfluss eines Maßwechsels auf den Driftterm eines Itô-Prozesses zu untersuchen. Exponentielle Martingale spielen dabei eine zentrale Rolle. Das Kapitel behandelt auch die Integrierbarkeit von exponentiellen Martingalen und stellt Bedingungen vor, die garantieren, dass ein exponentielles Martingal ein echtes Martingal ist. Ein praktisches Anwendungsbeispiel ist die risikoneutrale Bewertung von Finanzderivaten im Black-Scholes-Modell. Das Kapitel schließt mit einem Überblick über die wichtigsten Ergebnisse und Notationen.