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2022 | Buch

Mathematik à la Carte – Babylonische Algebra

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Über dieses Buch

Algebra ohne Buchstaben – geht das?
Das geht in der Tat: Schon vor 4000 Jahren haben die Babylonier herausgefunden, wie man quadratische Gleichungen löst; das Rechnen mit Buchstaben, wie wir es auf der Schule gelernt haben, ist dagegen kaum ein halbes Jahrtausend alt. Antworten auf die Frage, wie die Babylonier dabei vorgegangen sind, gibt dieses Buch. Aufbauend auf der Mathematik der ersten neun Schuljahre wird erklärt, wie die Babylonier ihre Zahlen geschrieben haben, wie sie die Grundrechenarten ausgeführt und Wurzeln berechnet haben, und wie sie quadratische Probleme formuliert und dann mit geometrischen Mitteln gelöst haben. Die Virtuosität, mit der sie ihre vergleichsweise bescheidenen Techniken angewandt haben, ist teilweise atemberaubend. Wer sich für einen elementaren Zugang in die Welt der babylonischen Algebra interessiert, wird um dieses Buch kaum herumkommen.

Vom gleichen Autor ist in der Reihe bereits erschienen: Mathematik à la Carte – Elementargeometrie an Quadratwurzeln mit einigen geschichtlichen Bemerkungen sowie Mathematik à la Carte – Quadratische Gleichungen mit Schnitten von Kegeln.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Zahlen in der Antike
Zusammenfassung
Alle antiken Kulturen haben Methoden entwickelt, um Zahlen zu schreiben. Wir beginnen unseren Spaziergang durch die babylonische Algebra damit, verschiedene solcher Methoden vorzustellen, und wir wollen das Allernotwendigste zur Geschichte der sumerischen und babylonischen Kultur sagen. Während der Geschichte Ägyptens, Griechenlands und Roms im Unterricht vergleichsweise viel Platz eingeräumt wird, weiß ein durchschnittlicher Abiturient über Sumer und Babylon in der Regel gar nichts.
Franz Lemmermeyer
Kapitel 2. Grundrechenarten
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir zeigen, wie man Sexagesimalzahlen addiert, subtrahiert und multipliziert. Die Division werden wir im nächsten Kapitel nachholen; einen Algorithmus wie unsere schriftliche Division haben die Babylonier allerdings nicht besessen.
Franz Lemmermeyer
Kapitel 3. Elementare Geometrie
Zusammenfassung
Die babylonische Algebra ist, ebenso wie diejenige der anderen antiken Kulturen, eng mit der Geometrie verknüpft. In diesem Kapitel werden wir die für die babylonische Algebra notwendigen geometrischen Techniken einführen und den Begriff des Gnomons erklären, der für die geometrische Lӧsung quadratischer Gleichungen grundlegend ist.
Franz Lemmermeyer
Kapitel 4. Bruchrechnung
Zusammenfassung
Wir haben bereits gesehen, dass der Keil sowohl für 1, als auch für 60, 3600, oder jede Potenz von 60 stehen kann. Tatsächlich kann der Keil auch für 1/60, 1/60^2 usw. stehen, sodass man mit Keil und Winkelhaken auch Brüche schreiben kann. Um zu unterscheiden, wann 10,30 die Zahl 10 \cdot 60 + 30 = 630 bezeichnet und wann 10 + 30/60 = 10 1/2, transkribieren wir die erste Zahl als 10,30 (oder 10,30;) und die zweite als 10;30. Das Semikolon entspricht in diesen Fällen unserem Dezimalkomma.
Franz Lemmermeyer
Kapitel 5. Der Falsche Ansatz
Zusammenfassung
Der „falsche Ansatz“ ist eine algebraische Technik zur Lӧsung ganz bestimmter Probleme, meist linearer Gleichungen, die nach dem Aufkommen der symbolischen Rechnung nach Vieta (1540–1603) kaum mehr verwendet worden ist.
Franz Lemmermeyer
Kapitel 6. Quadratwurzeln
Zusammenfassung
Ist ein Quadrat mit Flächeninhalt 16 gegeben, so gilt für die Seitenlänge \(a\) die Gleichung \(a^{2} = 16\). Offenbar muss dann \(a = 4\) sein (die zweite Lӧsung \(a =-4\) ist negativ und damit keine Seitenlänge).
Franz Lemmermeyer
Kapitel 7. Quadratische Ergänzung
Zusammenfassung
Quadratische Gleichungen werden zwar schon seit vielen Jahrtausenden gelӧst, aber erst seit einigen Jahrhunderten so aufgeschrieben, wie wir das gewohnt sind. Eine im Wesentlichen auf Diophant zurückgehende Methode besteht darin, der Unbekannten und ihrem Quadrat eigene Bezeichnungen zu geben. Bevor nach Vieta die heute üblichen Bezeichnungen die Oberhand gewannen, schrieb man die Unbekannte etwa als \(C\) und deren Quadrat als \(Q\); die Gleichung \(x^{2} + 2x = 35\) hätte man dann in der Form \(Q\) \(2C\) ist 35 notiert.
Franz Lemmermeyer
Kapitel 8. Systeme quadratischer Gleichungen
Zusammenfassung
Die einfachsten Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten bestehen aus zwei linearen Gleichungen.
Franz Lemmermeyer
Kapitel 9. BM 13901: Der Text
Zusammenfassung
Nach diesen Vorbereitungen sind wir jetzt so weit, dass wir uns die einzelnen Aufgaben der Sammlung BM 13901 genauer anschauen kӧnnen. Bei der Transkription gehen wir von der Übersetzung durch Jens Høyrup [Høyrup 1992] aus; wenn sich die Lücken in den Texten rekonstruieren lassen (beispielsweise sind von den Aufgaben # 4 und # 19 nur Bruchstücke erhalten), wurden die Ergänzungen nicht gekennzeichnet.
Franz Lemmermeyer
Kapitel 10. BM 13901: Eine erste Approximation
Zusammenfassung
Im vorigen Kapitel haben wir die Aufgaben der Sammlung BM 13901 mit heutiger Schulalgebra gelӧst. Wir haben dort zwar die auf der Tafel BM 13901 angegebenen Lӧsungen erhalten, aber unsere Rechenwege weichen teilweise deutlich von denen auf der Tafel ab.
Franz Lemmermeyer
Kapitel 11. BM 13901: Babylonische Algebra
Zusammenfassung
Im letzten Kapitel haben wir die Formeln hergeleitet, nach denen, wie sich Neugebauer auszudrücken pflegte, die Babylonier die Aufgaben auf BM 13901 gelӧst haben. Allerdings sind einige Frage offen geblieben: Da die Babylonier keine algebraische Schreibweise kannten, mussen sie andere Hilfsmittel gehabt haben, um diese Methoden zu entdecken und sich von ihrer Richtigkeit zu überzeugen.
Franz Lemmermeyer
Kapitel 12. Weitere Quadratische Probleme
Zusammenfassung
In diesem Kapitel besprechen wir weitere Aufgaben, die auf quadratische Gleichungen führen; wir beginnen mit einigen griechischen und rӧmischen Texten und erklären dann babylonische Techniken an einigen von uns konstruierten Aufgaben. Danach untersuchen wir verschiedene komplexe babylonische Aufgaben.
Franz Lemmermeyer
Backmatter
Metadaten
Titel
Mathematik à la Carte – Babylonische Algebra
verfasst von
Franz Lemmermeyer
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-66287-8
Print ISBN
978-3-662-66286-1
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-66287-8

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