Mathematik à la Carte

Quadratische Gleichungen mit Schnitten von Kegeln

verfasst von: Franz Lemmermeyer

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Der zweite Band dieser Reihe macht Lust auf Mathematik, und zwar auf Mathematik, die wie die Elementargeometrie im ersten Band lange Zeit den Schulunterricht geprägt hat.

Die Leser können einen kurzen Blick auf die 4000-jährige Geschichte der quadratischen Gleichungen werfen und erfahren, was diese mit der Geometrie der Kegelschnitte zu tun haben. Darüber hinaus lernen sie Anwendungen der Kegelschnitte in der Physik und Astronomie kennen und entdecken, wie leistungsfähig selbst elementare Mathematik ist, wenn man sie ernst nimmt.

Das letzte Kapitel geht inhaltlich etwas über die klassische Schulmathematik hinaus und zeigt, wie die Algebra und die Geometrie der Kegelschnitte einen neuen Zugang zu einem bekannten Olympiadeproblem aus der Zahlentheorie eröffnen.

Vom gleichen Autor ist in der Reihe bereits erschienen: Mathematik à la Carte – Elementargeometrie an Quadratwurzeln mit einigen geschichtlichen Bemerkungen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Chapter 1. Quadratische Gleichungen

Zusammenfassung

Wir beginnen das Kapitel über quadratische Gleichungen mit der Übersetzung einer Rede, die Tony McWalter [85] im britischen House of Commons am 26. März 2003 gehalten hat. In dieser Rede wendet sich McWalter vehement gegen die Entfernung von Themen (im vorliegenden Fall waren dies quadratische Gleichungen) aus dem Unterricht, nur weil es Schüler gibt, denen diese Schwierigkeiten bereiten; im Gegenteil empfindet er das Überwinden von Problemen als den eigentlichen Kern einer Erziehung, die diesen Namen verdient. William McCallum hat in seinem Vortrag auf dem Tucson Teachers’ Circle 2008 und noch einmal auf dem International Congress of Mathematicians (ICM) 2010 auf McWalters Rede hingewiesen und die Bedeutung der quadratischen Gleichung aus Sicht eines Mathematikers klargestellt.

Franz Lemmermeyer

Chapter 2. Polynomarithmetik

Zusammenfassung

In Kap. 1 haben wir uns mit quadratischen Gleichungen befasst; in Kap. 3 wird es um Gleichungen gehen, die sich auf quadratische Gleichungen zurückführen lassen. Das dazu notwendige Handwerkszeug zum Umgang mit Polynomen, also Ausdrücken der Form.

Franz Lemmermeyer

Chapter 3. Gleichungen höheren Grades

Zusammenfassung

In diesem Kapitel geht es, wie bereits angekündigt, um das Lösen von Gleichungen, die sich mittels verschiedener Techniken auf quadratische Gleichungen zurückführen lassen. Eine der einfachsten und gleichzeitig auch mächtigsten Techniken zur Reduktion des Grades von Gleichungen ist die Substitution. Die allgemeine Auflösung von Gleichungen dritten und vierten Grades benötigt Kenntnisse der komplexen Zahlen und hat in diesem Band keinen Platz mehr gefunden.

Franz Lemmermeyer

Chapter 4. Geometrie der Kegelschnitte

Zusammenfassung

Im Buch Der Planet der Affen [15] von Pierre Boulle nimmt der Protagonist Ulysse Mérou, der von den Aen in einem Käfig gefangen gehalten wird, mit der Schimpansin Zira Kontakt auf, indem er den Satz des Pythagoras in ein Heft zeichnet.

Franz Lemmermeyer

Chapter 5. Physik der Kegelschnitte

Zusammenfassung

Kegelschnitte sind mathematische Objekte, die sich in vielen Anwendungen wiederfinden und mit der Mathematik des Alltags deutlich mehr zu tun haben als die Bestimmung des Maximums einer Gewinnfunktion, welche die heutige Anwendung im Schulunterricht dominiert. Auf den engen Zusammenhang zwischen „Elementargeometrie und Wirklichkeit“ hat Christian Wittmann in [128] hingewiesen und damit gezeigt, was Didaktik leisten kann, wenn man mit mathematischen Inhalten umgehen kann.

Franz Lemmermeyer

Chapter 6. Arithmetik der Kegelschnitte

Zusammenfassung

In Kap. 5 und 6 haben wir Kegelschnitte von einem geometrischen und einem physikalischen Standpunkt aus betrachtet. In diesem Kapitel wird es um ihre Arithmetik gehen: Wir werden sehen, dass man Punkte auf Kegelschnitten „addieren“ kann, und diese Addition werden wir untersuchen. Zu diesem Thema ließe sich viel mehr sagen als wir das hier tun: Diese Arithmetik kann man in der Kryptographie anwenden, und man kann damit beispielsweise Primfaktoren von großen Zahlen finden.

Franz Lemmermeyer

Backmatter

Titel: Mathematik à la Carte
verfasst von: Franz Lemmermeyer
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-50341-6
Print ISBN: 978-3-662-50340-9
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-50341-6