Dieses interessante Problem läßt zumindest vier verschiedene Lösungen zu; die überraschende Lösung ist außerdem optimal in dem Sinne, als sie auch bei ähnlichen Berechnungen in Physik oder Technik angewandt werden kann.
Henry Eckhardt verdanken wir das folgende Problem, in dem Euklidchen und ein Grundstücksmakler die Hauptrollen spielen. Euklidchen und sein Vater wollten die Farm eines Nachbarn kaufen. Diese hatte zwar einen unregelmäßigen Umriß, die Grenzlinien waren aber gerade. Um das Geschäft abzuwickeln, begaben sich die beiden zum Grundstücksmakler. Dort war der Umriß des Farmlandes auf einem Plan eingezeichnet, der gitterförmig unterteilt war (Bild 6); die Maschenweite des quadratischen Gitters ist 100 ft. (1 ft = 30,5 cm)
Klein Mary hatte eine 50-Cent Münze geschenkt bekommen. Sie möchte sich davon Verschiedenes kaufen. Nach dem Einkauf macht sie auf dem Heimweg eine Reihe überraschender Feststellungen: (1) Sie hatte die 50-Cent restlos ausgegeben. (2) Für keinen der Einkäufe außer natürlich den letzten, hatte sie den exakten Kaufpreis, und (3) jeder Kaufmann hatte so gewechselt und „herausgegeben“, daß Mary nach jedem Einkauf so wenig Münzen wie möglich zurückbehielt (kostete also etwas z. B. 4 Cent, so wechselte der Händler (falls möglich) ein 5 Cent-Stück statt 10 Cent). (4) Sie hatte unter diesen Bedingungen die größtmögliche Zahl von Einkäufen gemacht.
Johnny spielt mit einem Bierdeckel und zeichnet damit einen Kreis auf ein Blatt Papier. Danach markiert er einen Punkt A auf dem Kreis. Euklidchen, der ihn dabei beobachtet, meint: „Kannst du allein mit Hilfe deines Bierdeckels den zu A diametral gelegenen Punkt B bestimmen? Du darfst den Bierdeckel jedoch nur in der Weise verwenden, daß mit ihm durch zwei gegebene Punkte ein Kreis gezeichnet wird.“ Diese Aufgabe ist schwieriger, als man auf den ersten Blick vermutet.
In einem Automaten sind Briefmarken zu drei und vier Cent erhältlich. Jeder Geldbetrag außer 1, 2, 5 Cents kann — wenn nur genügend Münzen vorhanden sind — in Briefmarken umgesetzt werden.
„In einer Gasse lehnen zwei gekreuzte Leitern gegebener Länge (20 ft, 30 ft); der Kreuzungspunkt liegt 8 ft über dem Boden. Wie breit ist die Gasse (Bild 15)?“ Diese Aufgabe hat schon viele Liebhaber der Mathematik gefesselt. In unserem Buch ”Ingenious Mathematical Problems and Methods“ haben wir uns auch schon damit beschäftigt. Wir erhielten daraufhin eine ganze Reihe überraschender Lösungen, die im Gegensatz zu unseren Vorschlägen die Struktur des Problems in einem viel deuthcheren Licht erscheinen lassen.
Eine Sekretärin sollte eine Aufgabe tippen. In der Aufgabe wurde das Produkt von drei dreistelligen Zahlen gebildet, von denen jede die gleichen Ziffern a, b, c enthielten, nur in anderer Reihenfolge: abc, bca, cab. Beim Schreiben des Produkt-Resultats 234235286 unterhef der Fehler: nur die Endziffer 6 ist korrekt; die anderen Ziffern sind durcheinander geraten. Wie lautet das richtige Resultat?
Die folgende Aufgabe untersucht das Spiel Tic-Tac-Toe (Drei Kreuze in einer Linie) unter wahrscheinhchkeitstheoretischen Gesichtspunkten. Es geht darum, die Chance des ersten Spielers für Gewinn, Verlust oder Unentschieden herauszufinden, wenn das Spiel als reines Glücksspiel aufgefaßt wird. Im Unterschied zu der sonst üblichen Version des Spiels sollen also diesmal strategische Überlegungen der beiden Spieler keine Rolle spielen.
In der folgenden Aufgabe geht es um einen humorvollen Mathematiker (das ist für die Lösung wichtig), der verstorben war, und auf einem Zettel die Verteilung seines Geldes hinterlassen hatte. Der Zettel enthielt eine Berechnung, bei der jedoch die meisten Ziffern unleserlich waren (in Bild 18 sind sie durch „x“ dargestellt). Der Dividend ist offensichtlich der hinterlassene Geldbetrag und der Divisor gibt die Anzahl der Erben an; bei der Division bleibt kein Rest. Wie groß war das hinterlassene Vermögen und unter wieviel Erben mußte es aufgeteilt werden?
Hobbymathematikern ist die folgende Aufgabe wohl bekannt: „Man finde einen mathematischen Ausdruck, der genau viermal das Zahlzeichen 4 und beliebig andere Operationszeichen wie z.B. √;!:; -;, etc. enthält und den Wert 71 hat.“ Diese Aufgabe läßt eine Reihe verschiedenster Lösungen zu; eine besonders geschickte Lösung ist die folgende:
$$\left( {4! + 4,4} \right):0,4 = 71$$
In dieser Aufgabe geht es um ein spezielles elektrisches Schloß, das ein exzentrischer Elektriker für seinen Tresor konstruierte. 6 Lampen, die von 1 bis 6 durchnumeriert waren, konnten jeweils von einem eigenen Schalter betätigt werden. Die Lampen waren (mit Hilfe von Relais) so geschaltet, daß die Betätigung eines Lampenschalters wirkungslos blieb, wenn nicht die Lampe mit der nächst kleineren Nummer eingeschaltet und alle Lampen mit kleineren Nummern abgeschaltet waren. Die erste Lampe (d.h. die Lampe mit Nummer 1) konnte stets an- oder abgeschaltet werden. Wenn alle Lampen brannten, konnte der Tresor geöffnet werden. Wie lange braucht der Elektriker zum Öffnen des Tresors, wenn ein „Zug“, d. h. eine Schalterbewegung eine Sekunde dauert? Welche Beziehung besteht allgemein zwischen der Anzahl der Lampen und der Zahl der benötigten Züge? Wie lange würde man bei 9 bzw. 30 Lampen zum Öffnen brauchen?
„Welches ist die Ellipse mit größter Fläche, die man einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten a, b einbeschreiben kann?” Der Einsender dieser Aufgabe fügte außerdem den folgenden aufschlußreichen Hinweis bei: „Wird diese Aufgabe mit den üblichen Methoden angepackt, so ergeben sich recht komplizierte Gleichungen; es gibt aber einen einfachen Weg, mit dem man sich die mühsame Plackerei sparen kann.“ An dieser Aufgabe kann man erneut in deuthcher Weise demonstrieren, was eine überraschende und, was den Aufwand betrifft, optimale Lösung eines Problems ist. Solchen Lösungen werden wir im weiteren Verlauf noch häufig begegnen.
Unter allen Dreiecken, bei denen die Maßzahlen der Seiten und Höhen sechs verschiedene natürhche Zahlen sind, bestimme man das Dreieck mit kleinster Fläche.
In den beiden nächsten Aufgaben geht es um Sportwettkämpfe. Ais erstes wird ein Leichtathietikwettbewerb zwischen drei Mannschaften mathematisch untersucht; die zweite Aufgabe handelt von einem Bowling-Match zwischen drei Spielern.
Eine Verkäuferin in der Kurzwarenabteilung eines Kaufhauses hat zum Abmessen von Seidenbändern etc. auf dem Ladentisch eine zyhndrische Meßvorrichtung mit dem Umfang 27 inch (die Maßeinheit spielt für das weitere keine Rolle). Auf dem Zylinder sind sechs Marken angebracht (Bild 34). Die Abstände zwischen den Marken sind oben — an Stelle der Fragezeichen — vermerkt. Die Meßmarken sind so verteilt, daß jede ganzzahlige Länge eines Bandes von 1 bis 27 inch abgemessen werden kann. Dazu wird der Bandumfang an eine geeignete Marke angelegt, das Band bis zu der passenden zweiten Marke um den Zylinder gewunden, und an dieser Stelle abgeschnitten. Wie müssen die Marken angebracht sein? Käme man auch mit weniger als 6 Marken aus?
In den folgenden drei Aufgaben geht es um geometrische Beziehungen zwischen den Positionen der Zeiger einer Uhr. Wir setzen für das weitere idealisierend voraus, daß ein Beobachter die Stellungen der Zeiger zueinander exakt wahrnehmen kann.
Wähle eine natürhche Zahl A und addiere zu A die Quersumme. Zu diesem Resultat B addiere man die Quersumme B und erhält die Zahl C. Für welche Zahlen A ist C die Spiegelzahl zu A?
Das folgende Gespräch fand zwischen einem Mann aus Las Vegas an dessen Sterbebett und seinem Freund statt. „In den letzten Jahren habe ich jeden Silberdollar, der mir in die Finger kam, gespart. Als ich hundert Dollar zusammen hatte, verschnürte ich das Geld in einem Sack. Die ersten dreihundert Dollar waren schnell gespart, und ich hoffte, bald tausend beisammen zu haben, doch schaffte ich es nicht. Die verschiedenen Säckchen mit je hundert Dollar habe ich im Nebenzimmer in einem Wandschrank aufbewahrt. Nun möchte ich dich als meinen Freund bitten, meinen minderjährigen Sohn (noch nicht 21 Jahre alt!) aufzusuchen und ihm zum nächsten Geburtstag und auch zu den folgenden, den seinem Alter entsprechenden Betrag in Dollar auszubezahlen. Ich meine, daß bei deinem letzten Besuch das Geld,restlos’ aufgebraucht sein wird.“ „Das ist ja interessant“, bemerkte der Freund. „Bevor ich mir die Geldsäcke anschaue, möchte ich versuchen herauszufinden, wieviele Besuche erforderlich sein warden.“ Nach einer Weile fuhr der Freund fort „Ich muß noch wissen, wie alt dein Sohn ist.“ Nachdem er das Alter erfahren hatte, sagte er „Nun weiß ich, wie oft ich deinen Sohn besuchen muß.“ Wissen Sie es auch?
In dieser Aufgabe geht es um eine originelle und, wie wir meinen, neue Methode zum Radizieren. Sie ist besonders gut geeignet in Situationen, wo keine Zahlentafeln oder kein Taschenrechner verfügbar ist. Die Methode hat ein 17-jähriger Student aus Milwaukee erfunden und liefert im Ergebnis bis zu 4 genaue Stellen, was im allgemeinen in der Praxis ausreicht.
Der Weihnachtsgruß „Merry Xmas to All“ wurde von einem Mathematiker seinen Freunden verschlüsselt übermittelt. Die 10 Buchstaben der Nachricht wurden durch die 10 Zahlen 0, …, 9 ersetzt.
Zu dem folgenden Problem erhielten wir von unseren Lesern eine solche Vielfalt von Lösungen wie kaum zu einer anderen Aufgabe der letzten 25 Jahre. „Ein Mathematiklehrer erörtert mit seinen Schülern den Satz von Pythagoras. Um die Situation ein wenig effektvoll zu gestalten, maßer an der Bodenkante der beiden in einer Ecke zusammentreffenden Wände die Längen 60 und 91 cm ab (die Längeneinheit ist ohne Belang). Für den Abstand der beiden von der Ecke entfernt liegenden Endpunkte ergab sich der Wert 109 (Bild 49). ‚Johnnie‘ fragte der Lehrer,‚wie können wir aus diesen drei Werten herausbekommen, daß die beiden Bodenkanten senkrecht aufeinander stehen?‘
Eine Reihe von Aufgaben dieses Buches hat mit Quadraten zu tun. Im folgenden Problem geht es um die Arbeit eines Fliesenlegers. Joe der Fliesenleger erzählt: „Kürzlich brachte ich eine Ladung quadratischer Fliesen, die alle die gleiche Größe haben, zum Krankenhaus, wo noch drei größere quadratische Flächen zu kacheln waren. Bei der ersten Fläche verbrauchte ich genau die Hälfte der Fliesen, die zweite Fläche hatte 50% mehr Reihen als die dritte. Als ich fertig war, hatte ich genau noch eine Kachel übrig. Wie viele Fliesen waren in der Ladung?
In dieser Aufgabe soll Euklidchen einen gegebenen Winkel dritteln. Leider stehen ihm nur Zirkel und Lineal zur Verfügung und kein Winkelmesser. Euklidchen wußte, daß er mit diesem Handwerkszeug nicht einen beliebigen Winkel exakt dritteln konnte; er setzte sich daher eine näherungsweise Lösung mit einem Fehler von höchstens 3/4% zum Ziel.
Herr Brown war auf Nassau verstorben; sein Testament war nicht zu entziffern. In seinem Nachlaß fand man ein Stück vergilbtes Papier (Bild 53), das der berühmte Detektiv Perry Mason, der mit dem Fall Brown befaßt war, als Anweisung für die Aufteilung des Vermögens unter den zahlreichen Erben erkannte.
Einer unserer Leser machte uns auf eine bemerkenswerte Eigenschaft der Zahl A = 473 684 210 526 315 789 aufmerksam. Wird die Einerziffer 9 an die erste Stelle von links gesetzt, so erhalten wir 2A. Gesucht sind sieben kleinere Zahlen als A mit der gleichen Eigenschaft. Wie so oft, erhielten wir nicht nur eine Vielzahl richtiger Lösungen, sondern auch zahlreiche überraschende Beiträge, die sich mit ähnhchen Beziehungen zwischen Zahlen beschäftigen.
„Das war ein leckeres Mittagessen“ sagte der Geschäftsmann, „es bleibt gerade noch Zeit für eine gute Zigarre, dann muß ich gehen, um den 13-Uhr-Zug zu erreichen. Auf meiner Uhr ist es jetzt genau 9 Uhr, aber Moment, das kann ja nicht stimmen. Die Uhr ist auch nicht stehen geblieben und ist noch gut aufgezogen. Heute morgen habe ich sie aufgezogen und nach dem Radio gestellt. Möglicherweise habe ich dabei die beiden Zeiger vertauscht.“ Wie spät ist es, als der Geschäftsmann nach dem Essen auf die Uhr schaut?
Gegeben ist ein Kreis, dessen Mittelpunkt unter alleiniger Verwendung eines Zirkels zu konstruieren ist. Die Konstruktion soll begründet werden. Diese Aufgabe ist eine Variante von Problem Nr. 54 in ”Ingenious Mathematical Problems and Methods“, wo allein mit Hilfe eines Zirkels der Mittelpunkt eines durch drei gegebene Punkte gehenden Kreises zu kontruieren war.
Das folgende Problem stammt ebenfalls von Professor Thebault, dem die Unterhaltungsmathematik eine Reihe interessanter und origineller Probleme verdankt. Die meisten seiner Aufgaben kommen aus der Geometrie und Zahlentheorie. Thebault ist Meister in der Konstruktion einfacher geistreicher Aufgaben, die mit Mitteln der elementaren Geometrie zu lösen sind. Auch das folgende Problem ist von diesem Typ: „Die Gerade AM durch die Ecke A des Dreiecks A B C und den Punkt M der ihr gegenüber liegenden Seite BC sei Winkelhalbierende und Seitenhalbierende, dann ist Dreieck A B C gleichschenklig. Gesucht ist ein elementarer geometrischer Beweis.“
Auf einer tropischen Insel, Azuciana, herrscht ein merkwürdiges Klima: Niemals regnet es länger als einen Tag. Die Meteorologen haben die Wetteraufzeichnungen bis in die Zeit des alten Königs Foobius zurückverfolgt; sie haben dabei herausgefunden, daß in der Tat die allgemeine Erfahrung, daß auf einen Regentag stets ein Sonnentag folgt, bestätigt wird. Außerdem ergab sich: Mit Wahrscheinlichkeit 1/2 regnet es nach einem Sonnentag. Obwohl diese Erkenntnisse von den Meteorologen nur widerwillig akzeptiert wurden, stellt sich z. B. für die Fremdenverkehrswirtschaft von Azuciana die wichtige Frage, wieviele Sonnentage im Jahr (365 Tage) zu erwarten sind.
An 10 Spieler werden Punkte vergeben. Der Sieger erhält 9, der zweite 8 Punkte, usw. Die nächsten 4 Spieler liegen auf dem gleichen Platz (Unentschieden) und erhalten daher jeweils (7 + 6 + 5 + 4):4 = 5 1/2 Punkte. Man kann die Punktabrechnung folgendermaßen vereinfachen: Ein Spieler erhält für jeden Spieler, den er im Rangplatz übertrifft, je einen Punkt; für jeden Spieler mit dem er sich auf dem gleichen Rangplatz befindet, erhält er einen halben Punkt. Man zeige, daß diese Regel unabhängig von der Zahl der Spieler und der Zahl der gleichrangigen Spieler allgemein gilt.
Eines Tages besuchte Euklidchen mit seinem Vater einen alten Freund der Familie auf seinem Bauernhof. Der Bauer erzählte, was seit dem letzten Zusammentreffen passiert war.„Du weißt ja, mein Partner und ich hielten eine Rinderherde. Nach einer gewissen Zeit verkauften wir die Herde; pro Kopf Vieh wollten wir genauso viele Dollars wie die Herde Köpfe zählte. Mit dem Erlös kauften wir so viele Schafe wie möghch; pro Schaf mußten wir 10 Dollar bezahlen. Vom Rest des Geldes legten wir uns noch einen Hund zu. Dann beschlossen wir zu teilen; jeder von uns sollte gleich viel Tiere erhalten. Den Hund erhielt mein Partner; das haben wir mit einer Münze ausgelost.“ An dieser Stelle unterbrach Euklidchen die Erzählung. „Ich hoffe, Sie haben Ihrem Partner zusätzlich noch $ 2 gegeben, um die Teilung gerecht zu machen“, „Ja, natürhch“ antwortete der Bauer überrascht, „woher wußtest Du das denn?“
„Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Höhen eines Dreiecks wieder ein Dreieck bilden können?“ Dieses, mit Aufgabe 12 zusammenhängende Problem hat eine heiße und äußerst interessante Diskussion zwischen Lesern unserer Zeitschrift entfacht. In den Überlegungen einiger Leser spielen z. T. auch philosophische Aspekte eine Rolle. Dazu aber später.
„Können Sie mir nicht vertraulich die Rangfolge der favorisierten 5 Schönsten verraten?“ fragte ich die Leiterin des Schönheitswettbewerbs. Natürhch weigerte sie sich, erklärte sich aber damit einverstanden, meine Vermutungen zu kommentieren.
In Rhode Island muß der Sicherheitsabstand zwischen zwei Autos mindestens eine Wagenlänge (etwa 10 ft) mal der Geschwindigkeit des zweiten Wagens sein. — Die Geschwindigkeit wird in Meilen pro Stunde (m.p.h.) gemessen — Angenommen, ein Wagen beschleunigt aus dem Stand in 6 Sekunden gleichmäßig auf eine Geschwindigkeit von 30 m.p.h. Wie groß darf die Beschleunigung eines unmittelbar dahinter startenden Autos zum Zeitpunkt des Starts, nach 1,2,3 Sekunden höchstens sein?
Von Professor Thebault stammt folgendes Problem: Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck derart, daß dessen Katheten und die Hypothenusenhöhe zur Konstruktion eines anderen rechtwinkligen Dreiecks geeignet sind.
Bei dem folgenden Spiel werden Karten, die von 1 bis 20 durchnumeriert sind, gut gemischt und sodann vom Spieler der Reihe nach aufgedeckt auf den Tisch gelegt. Immer wenn eine Karte aufgedeckt wird, die eine Zahl trägt, die größer als die Zahlen der bereits aufgedeckten Karten ist, bekommt der Spieler $ 10 von der Bank. Wenn die erste Karte aufgedeckt ist, erhält er stets $ 10. Für jedes Spiel sind an die Bank im voraus $ 50 zu bezahlen. 1) Gewinnt die Bank bei diesem Spiel? 2) Verallgemeinere das Spiel auf n Karten. 3) Man probiere das Spiel selbst mit 10 Karten („As“ bis „Zehn“) und vergleiche den Gewinn nach 25 Durchgängen mit dem theoretischen Wert.
Das folgende Problem aus der Geometrie kann in verschiedenen konventionellen Weisen, z. B. mit Hilfe der Trigonometrie oder der graphischen Lösung einer quadratischen Gleichung, bearbeitet werden. Es gibt aber auch einen überraschenden geometrischen Weg der direkt aufs Ziel lossteuert. Versuchen Sie, diesen Weg herauszufinden. Die Aufgabe: Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck aus der Basislänge und der Länge der Winkelhalbierenden eines Basiswinkels (vgl. Bild 72).
Sechs Männer, Adam, Braun, Ernst, Müller, Schmitt, Walther — sitzen in gleichen Abständen um einen runden Tisch herum (vgl. Bild 75). Genauer gesagt: fünf Männer sitzen und der sechste ist tot vornüber gekippt. Einer der fünf anderen Männer ist sein Mörder.
Dieses Problem hat mit der sogenannten Fibonaccifolge zu tun. „Fibonacci“ ist der Spitzname ihres Entdeckers Leonardo von Pisa. Die Fibonaccifolge wird so erzeugt: Beginnend mit den Zahlen 0, 1 ist jedes weitere Folgenghed die Summe der beiden vorhergehenden Folgenglieder: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… Die Verhältnisse aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen wie 5/8, 8/13, 21/34 trifft man bei verschiedenen natürhchen Spiralformen (z. B. in Sonnenblumen, Muscheln, Ananas oder spiraliger Blattanordnung) wieder.
Das folgende Problem stammt von Maxey Brooke, einem Chemiker bei Phillipps Petroleum Company, und verbindet vier Generationen. „Hier ist etwas interessantes“, sagt Bobby’s Vater. „Das Produkt aus meinem und Bobby’s Alter bleibt gleich, selbst wenn in beiden Zahlen die beiden Ziffern vertauscht werden. Beide Alterszahlen sind nicht durch 11 teilbar.“ Bobb’s Großvater sagt: „Das ist noch gar nichts; das Produkt aus meinem Alter und Bobby’s bleibt ebenfahs unverändert, wenn jeweils die beiden Ziffern vertauscht werden. Bobby’s Urgroßvater fühlt sich übergangen und meldet: „Das Produkt aus meinem Alter und Bobby’s bleibt auch gleich, wenn jeweils die beiden Ziffern vertauscht werden.“
Das folgende Problem sieht auf den ersten Blick leichter aus als es ist. Zahlenhebhaber werden ihren Spaß daran haben. Wie könnte man beweisen, daß das Produkt einer zweistelligen Zahl mit ihrer Spiegelzahl niemals eine Quadratzahl ergibt — es sei denn, beide Ziffern der Ausgangszahl sind gleich.
Dieses Problem könnte von besonderem Interesse für Informatiker sein, die häufiger mit dem Binärsystem zu tun haben. Beweise: Keine der Binärzahlen 11, 111, 1111, 11111, …ist eine Quadratzahl, ein Kubus oder eine höhere Potenz.
Man bestimme eine Zahl, deren Spiegelzahl im Dezimalsystem das Doppelte der Ausgangszahl ist. Man untersuche dieses Problem auch für andere Stellenwertsysteme (Binär-, Ternär-System etc.).
In Verbindung mit der dritten Lösung zu unserer 1. Aufgabe wurde bemerkt, daß zur Konstruktion einer Parallelen durch einen gegebenen Punkt zu einer Geraden ein Zirkel erforderlich wäre.
