Mathematik – einfach genial!

Bemerkenswerte Ideen und Geschichten von Pythagoras bis Peano

2025
Buch

Verfasst von: Heinz Klaus Strick
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik"; Springer Professional "Technik"; Springer Professional "Wirtschaft"

Über dieses Buch

Dieses Buch lädt Sie zum Staunen ein: Erleben Sie, wie etwa Archimedes bereits 1800 Jahre vor der Erfindung der „klassischen“ Integralrechnung den Flächeninhalt eines Parabelsegments bestimmen konnte, leiten Sie mit Ibn al-Haitham eine Summenformel für Quadratzahlen her oder entdecken Sie mit Hamilton die Quaternionen.

Die 21 ausgewählten Ideen werden mithilfe zahlreicher farbiger Abbildungen anschaulich entwickelt – Sie werden von den Gedankengängen der längst verstorbenen Mathematiker verblüfft sein!

Viele geniale Ansätze wurden von der Nachwelt regelrecht vergessen – die Universalgelehrten aus dem islamischen Kulturkreis etwa sind in Europa kaum noch bekannt, obwohl sie einen wichtigen Beitrag zur Entwicklung der Mathematik geleistet haben. In jedem Kapitel finden Sie daher auch Informationen über das Leben dieser Personen sowie über die Zeit, in der sie gelebt haben, Hinweise und Erläuterungen zu weiteren Fragestellungen, mit denen sie sich beschäftigt haben, sowie umfangreiche Hinweise auf weitergehende Literatur, die allgemein zugänglich ist.

Die Kapitel sind unabhängig voneinander lesbar – wo es sinnvoll ist, werden Bezüge zu anderen Kapiteln aufgezeigt. Die allermeisten Themen sind mit solidem schulischem Vorwissen aus der Ober- oder Mittelstufe nachvollziehbar, daher eignet sich das Buch für alle, die sich gern mit Mathematik beschäftigen – aber auch für Arbeitsgemeinschaften an Schulen und als Anregung für Facharbeiten.

Für die hier vorliegende 2. Auflage wurde das Buch um jeweils ein Kapitel zu Diophant, Thabit ibn Qurra und Giuseppe Peano erweitert.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Pythagoras von Samos – Sektenführer und Philosoph

Zusammenfassung

Dass ein berühmter Satz der Mathematik nach einer Person benannt ist, die mit Sicherheit nicht der Entdecker des Satzes war, erscheint zunächst rätselhaft, lässt aber auf die Bedeutung der Person schließen und auf dessen Wirkung auf seine Nachwelt. In vielen Darstellungen wird Pythagoras in erster Linie als Philosoph und religiöser Prophet beschrieben, weniger als Mathematiker. Viele Ideen, die Pythagoras zugeordnet sind, wurden erst von seinen Schülern, den Pythagoreern, entwickelt. Genial sind die Muster aus bunten Steinen, die pythagoreischen Zahlenmuster.

Heinz Klaus Strick

2. Archimedes von Syrakus – Mathematiker, Physiker und Ingenieur

Zusammenfassung

Archimedes gilt als der bedeutendste Mathematiker und Physiker des Altertums. Zahlreiche Sätze und Prinzipien erinnern an seine Entdeckungen und Erfindungen. 2000 Jahre vor der Erfindung der „klassischen“ Integralrechnung fand Archimedes eine geniale Methode, den Flächeninhalt eines Parabelsegments zu bestimmen.

Heinz Klaus Strick

3. Diophant von Alexandria – virtuose Anfänge von Algebra und Zahlentheorie

Zusammenfassung

Der griechische Mathematiker Diophant von Alexandria ist eine der rätselhaftesten Persönlichkeiten in der Wissenschaftswelt der Antike – nicht nur, weil man nicht einmal weiß, wann er gelebt hat. Seine Beiträge zu Algebra und Zahlentheorie waren ihrer Zeit um Jahrhunderte voraus. Seitdem im 16. Jahrhundert Teile seiner Schriften wiederentdeckt wurden, übten diese eine große Faszination auf die Mathematiker aus; selbst Gauß zeigte sich beeindruckt.

Heinz Klaus Strick

4. Muhammed al-Khwarizmi – Vater der Algebra

Zusammenfassung

Die Bezeichnung „Algebra“ für eines der Teilgebiete der Mathematik hat etwas mit dem Titel eines Werks zu tun, das der aus Persien stammende Mathematiker Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi verfasste. Aus dem Titel seines Werks Al Kitab al-muhtasar fi hisab al-gabr wa-al-muqabala („Ein kurzgefasstes Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen“) wurde durch Verballhornung des Worts al-gabr der heute übliche Begriff. In diesem Kapitel geht es um die genialen Verfahren zur Lösung quadratischer Gleichungen.

Heinz Klaus Strick

5. Thabit ibn Qurra – genialer Übersetzer und kreativer Mathematiker

Zusammenfassung

Wegen seiner Mehrsprachigkeit wurde der syrische Geldwechsler Thabit ibn Qurra eingeladen, im Haus der Weisheit in Bagdad als Übersetzer von Texten tätig zu werden. Bald jedoch stellte sich seine besondere mathematische Begabung heraus, die ihn nicht nur in die Lage versetzte, die Texte griechischer Mathematiker der Antike angemessen ins Arabische zu übertragen, sondern auch diese Werke zu kommentieren sowie eigene bedeutende Entdeckungen zu machen.

Heinz Klaus Strick

6. Ali al-Hasan Ibn al-Haitham – Vater der Optik

Zusammenfassung

Ibn al-Haitham, in Europa auch unter dem Namen Alhazen bekannt, entdeckte eine geniale Methode, mit deren Hilfe man die Summe der ersten n Quadratzahlen von natürlichen Zahlen mithilfe eines Terms direkt berechnen kann.

Heinz Klaus Strick

7. Abu Arrayhan al-Biruni – Universalgelehrter aus Afghanistan

Zusammenfassung

Der Universalgelehrte al Biruni verfasste Bücher über Heilpflanzen und zur Geografie, war Astronom und Philosoph. Genial war seine originelle Methode, den Erdradius zu bestimmen.

Heinz Klaus Strick

8. Omar Khayyam – Mathematiker, Philosoph und Dichter

Zusammenfassung

Der persische Mathematiker, Astronom und Philosoph Omar Khayyam fand eine geniale Methode, um kubische Gleichungen zu lösen: Für jede der möglichen Gleichungstypen entwickelte er eine geeignete Konstruktion. Berühmt wurde Omar Khayyam auch als Dichter – einige seiner Verse gingen als geflügelte Worte in die englische Sprache ein.

Heinz Klaus Strick

9. Jamshid al-Kashi – letzter bedeutender Mathematiker des islamischen Mittelalters

Zusammenfassung

Mit der Zunahme der Seefahrt erlangte die Genauigkeit von Tabellen mit den Werten trigonometrischer Funktionen eine immer größere Bedeutung: Seefahrer bestimmten ihre jeweilige Position anhand der Position der Sterne, und Ungenauigkeiten der Tabellen und der Messung konnten zu erheblichen Kursabweichungen führen. al Kashi gelang es, mithilfe eines genialen Verfahrens den Wert von \( \sin \left({1}^{\circ}\right) \) auf 18 Dezimalstellen genau zu bestimmen.

Heinz Klaus Strick

10. Niccolò Tartaglia und Girolamo Cardano – wem gebührt die Ehre?

Zusammenfassung

Nachdem jahrhundertelang vergeblich versucht worden war, kubische Gleichungen mithilfe algebraischer Methoden zu lösen, hatte der Rechenmeister Niccolò Tartaglia im Jahr 1535 die entscheidende geniale Idee. Trotz seiner Bemühungen, diese Einsichten für sich zu behalten, um sie ökonomisch nutzen zu können, veröffentlichte Girolamo Cardano gerade einmal zehn Jahre später seine Ars magna, in der sogar Lösungsverfahren für Gleichungen vierten Grades enthalten waren.

Heinz Klaus Strick

11. John Napier – Meister des Rechnens

Zusammenfassung

Die geniale Erfindung der Logarithmen durch John Napier zu Beginn des 17. Jahrhunderts hatte große Auswirkungen auf die Entwicklung der Naturwissenschaften, insbesondere auf die der Astronomie. Um das Jahr 1600 war die Zeit reif für die Entdeckung einer neuen Rechentechnik. Die Methode der Prosthaphaeresis war gerade dabei, sich unter Astronomen zu verbreiten, als Napiers Verhältniszahlen bekannt wurden.

Heinz Klaus Strick

12. René Descartes – Begründer der Analytischen Geometrie

Zusammenfassung

Der französische Mathematiker und Philosoph René Descartes gilt als einer der bedeutendsten Wissenschaftler des 17. Jahrhunderts. Mit seinem Werk Discours de la méthode leitete er eine neue Epoche der Philosophie und der Naturwissenschaften ein. In einem der Anhänge zu diesem Werk ist eine bemerkenswerte Regel über die Anzahl der Nullstellen von Polynomen enthalten, die von der Nachwelt zu wenig beachtet wurde.

Heinz Klaus Strick

13. Pierre de Fermat – verkanntes Mathematikgenie aus der Provinz

Zusammenfassung

Fermat war einer der bedeutendsten Mathematiker des 17. Jahrhunderts, aber er veröffentlichte nur wenige Beiträge. Von Beruf war er eigentlich Jurist (Anwalt und Richter), und Mathematik war sein Hobby. Fünfzig Jahre vor Newton und Leibniz war Fermat in der Lage, die Fläche zwischen dem Graphen einer Potenzfunktion und der x-Achse zu berechnen. Mit dieser Potenzsummen-Methode gab er sich aber nicht zufrieden, sondern entwickelte eine alternative geniale Methode der Flächenbestimmung.

Heinz Klaus Strick

14. Blaise Pascal – tiefsinniger Theologe und Mathematiker

Zusammenfassung

Im Jahr 1654 korrespondierte Pierre de Fermat mit Blaise Pascal über die korrekte Lösung des Problème des partis, das sog. Teilungsproblem. Während Fermat eine Lösung durch kombinatorische Überlegungen fand, entwickelte Pascal eine geniale rekursive Methode und entdeckte im nächsten Schritt einen Lösungsansatz mithilfe des arithmetischen Dreiecks, das heute seinen Namen trägt.

Heinz Klaus Strick

15. Abraham de Moivre – ein genialer Franzose im englischen Exil

Zusammenfassung

Um das Jahr 1707 entdeckte de Moivre einen Zusammenhang zwischen den komplexen Zahlen und Trigonometrie. Mithilfe dieser Formel von de Moivre lassen sich nicht nur die Mehrfachwinkelsätze herleiten, sondern auch spezielle kubische Gleichungen lösen.

Heinz Klaus Strick

16. Leonhard Euler – „unser aller Meister“

Zusammenfassung

Leonhard Euler war zweifelsohne der produktivste Mathematiker aller Zeiten; er verfasste insgesamt 866 Abhandlungen und Bücher zu verschiedenen Teilbereichen der reinen und angewandten Mathematik, zur Physik und Astronomie, zur Geodäsie und Kartographie, aber auch zur Musik. Er schrieb nicht nur viel, sondern er brachte bei allen Themen, mit denen er sich beschäftigte, neuartige Ideen ein und eröffnete durch seine Beiträge sogar neue Teilbereiche der Mathematik. Die Wissenschaftswelt wurde auf seine außergewöhnliche Begabung aufmerksam, als dieser 1735 das sog. Basler-Problem löste, an dem bis dahin alle Mathematiker gescheitert waren.

Heinz Klaus Strick

17. Joseph-Louis Lagrange – vielseitiger Mathematiker und Physiker

Zusammenfassung

An den französischen Gelehrten italienischer Abstammung erinnern zahlreiche Sätze und Gesetzmäßigkeiten der Mathematik und Physik. Durch seine genialen Untersuchungen über Kettenbrüche konnte Lagrange charakteristische Eigenschaften von rationalen und irrationalen Zahlen herausstellen.

Heinz Klaus Strick

18. Jean Baptiste Joseph Fourier – von der Französischen Revolution zur Revolution der Wärmelehre

Zusammenfassung

Der französische Mathematiker und Physiker Joseph Fourier hatte Anfang des 19. Jahrhunderts die entscheidende Idee, wie man trigonometrische Funktionen kombinieren muss, um eine geeignete Summendarstellung für die Darstellung einer beliebigen Funktion zu erhalten.

Heinz Klaus Strick

19. William Rowan Hamilton – ein unglückliches Genie aus Irland

Zusammenfassung

Der geniale irische Mathematiker William Rowan Hamilton empfand die Vermischung von arithmetisch-algebraischen Aspekten und geometrischer Veranschaulichung der komplexen Zahlen als höchst unbefriedigend. Daher beschrieb er die algebraische Struktur der komplexen Zahlen als 2-dimensionale Objekte und verallgemeinerte dies zu den 4-dimensionalen Quaternionen.

Heinz Klaus Strick

20. Georg Cantor – Erforscher des Unendlichen

Zusammenfassung

In den letzten drei Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts entwickelte Georg Cantor verschiedene geniale Methoden, durch die charakteristische Unterschiede von unendlichen Zahlenmengen entdeckt und nachgewiesen wurden: die Menge der natürlichen, der ganzen, der rationalen und der algebraischen Zahlen sind abzählbar, die Menge der irrationalen, der transzendenten und der reellen Zahlen sind überabzählbar.

Heinz Klaus Strick

21. Giuseppe Peano – vielseitiger Mathematiker und Logiker

Zusammenfassung

Mit dem Namen Peano verbinden die meisten Menschen, die Mathematik studieren oder studiert haben, in der Regel nur die sogenannten Peano-Axiome, die üblicherweise in Vorlesungen des ersten Semesters thematisiert werden. Wohl die Wenigsten werden den Namen des italienischen Mathematikers mit anderen Inhalten verbinden können, was dem genialen Wissenschaftler nicht gerecht wird.

Heinz Klaus Strick

Titel: Mathematik – einfach genial!
Verfasst von: Heinz Klaus Strick
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-71416-4
Print ISBN: 978-3-662-71415-7
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-71416-4

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3. Diophant von Alexandria – virtuose Anfänge von Algebra und Zahlentheorie

4. Muhammed al-Khwarizmi – Vater der Algebra

5. Thabit ibn Qurra – genialer Übersetzer und kreativer Mathematiker

6. Ali al-Hasan Ibn al-Haitham – Vater der Optik

7. Abu Arrayhan al-Biruni – Universalgelehrter aus Afghanistan

8. Omar Khayyam – Mathematiker, Philosoph und Dichter

9. Jamshid al-Kashi – letzter bedeutender Mathematiker des islamischen Mittelalters

10. Niccolò Tartaglia und Girolamo Cardano – wem gebührt die Ehre?

11. John Napier – Meister des Rechnens

12. René Descartes – Begründer der Analytischen Geometrie

13. Pierre de Fermat – verkanntes Mathematikgenie aus der Provinz

14. Blaise Pascal – tiefsinniger Theologe und Mathematiker

15. Abraham de Moivre – ein genialer Franzose im englischen Exil

16. Leonhard Euler – „unser aller Meister“

17. Joseph-Louis Lagrange – vielseitiger Mathematiker und Physiker

18. Jean Baptiste Joseph Fourier – von der Französischen Revolution zur Revolution der Wärmelehre

19. William Rowan Hamilton – ein unglückliches Genie aus Irland

20. Georg Cantor – Erforscher des Unendlichen

21. Giuseppe Peano – vielseitiger Mathematiker und Logiker

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