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Über dieses Buch

In diesem Buch fallen mathematische Fakten nicht vom Himmel, sondern werden an Fragestellungen aus der Biologie oder Alltagswelt nach und nach herausgearbeitet. Besonderer Wert wurde darauf gelegt, dass die Studierenden ein mathematisches Verständnis erwerben können, damit sie für ihr Problem die richtigen mathematischen Methoden auswählen und korrekt anwenden und besser mit Mathematikern kommunizieren können. Eine weitere Besonderheit bei der Darstellung ist die Verarbeitung von Analysis einer Variablen, quantitativer Erfassung von Entwicklungsprozessen, Wahrscheinlichkeitslehre und Statistik zu einem Ganzen. Die Neuauflage beinhaltet die Statistik bis zu den wichtigsten statistischen Testverfahren und eindimensionale Grundlagen für die Systembiologie, einem neuen Arbeitsfeld für Biologen mit Mathematik-Kenntnissen. Das Buch bietet das mathematische Bachelor-Wissen für Studierende der Biowissenschaften (Modul Mathematik) und richtet sich auch an Lehramtsstudierende. Etwa verloren gegangene Mathematik-Kenntnisse aus der Sekundarstufe II werden nochmals aufgeführt und viele in neuer Weise erklärt, sodass das Buch auch dazu geeignet ist, mathematisches Schulwissen vor und im Biologiestudium zu wiederholen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Zahlen

Messergebnisse in den Biowissenschaften quantitativ auszuwerten, bedeutet, die Messungen durch Zahlen zu beschreiben. Daher steht am Anfang eine kurze Einführung in die natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen. Natürliche Zahlen treten als Anzahlen auf. Die hier behandelten Anzahlen spielen eine Rolle bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten in späteren Kapiteln. Messergebnisse sind häufig durch Dezimalzahlen beschrieben. Damit zusammen hängt die n-te Potenz einer reellen Zahl a, wobei n eine ganze Zahl ist. Die grundlegenden Rechenregeln für solche Potenzen werden zusammengestellt. Auf die sinnvolle Darstellung von dezimalen Messwerten durch die signifikanten Stellen wird besonders eingegangen.
Adolf Riede

2. Beschreibende Statistik

In diesem Kapitel geht es um die Ausprägungen von Merkmalen und um die Skalen, auf denen sie dargestellt werden: Nominale, ordinale Skalen, Intervallskalen und Verhältnisskalen. Der zweite Abschnitt behandelt die Häufigkeiten, mit denen die Ausprägungen in einer Messreihe vorkommen, und ihre übersichtliche graphische Darstellung. Zur Beschreibenden Statistik gehören auch die Kap. 3 und 15, für deren Inhalt ein eigenes Kapitel angemessen ist.
Adolf Riede

3. Statistische Maßwerte

Der Stoff dieses Kapitels gehört noch zur Beschreibenden Statistik, wurde aber zweckmäßigerweise in einem eigenen Kapitel gestaltet. Statistische Maßwerte sind Werte, die über die Messreihe \(x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\) eine wesentliche Information liefern. Zwei statistische Maßwerte bei einem Merkmal mit Ordinalskala haben wir bereits kennengelernt \(x_{\text{Min}} {\text{ und}} x_{\text{Max}}\) (vgl. 2.3.4). Des Weiteren werden hier behandelt: Der Zentralwert oder Median, das Zentrale Wertepaar, das arithmetische Mittel und Streuungsmaße, die die Streuung der Daten um den Mittelwert beschreiben. Eine Besonderheit stellen Merkmale dar, deren Ausprägungen nur auf einer Ordinalskala und nicht auf einer Intervallskala liegen. Für sie kann man nicht allgemein einen Zentralwert definieren jedoch ein Zentrales Wertepaar. Auf die Bedeutung des Zentralen Wertepaares wird in einfachen Beispielen besonders hingewiesen und zwar bei Erkrankungsgraden. Abschließend wird die graphische Darstellung der statistischen Maßwerte durch eine Kastengraphik (engl. boxplot) beschrieben. Liegen die Ausprägungen in einem Intervall reeller Zahlen, dann teilt man das Intervall in Klassen ein und kann dann die Maßwerte bilden. Dies wird u. a. wesentlich zum Verständnis der Kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsmodelle und ihrer Maßzahlen.
Adolf Riede

4. Endliche Wahrscheinlichkeitsmodelle

Hier wird für den endlichen Fall der grundlegende Begriff eines Wahrscheinlichkeitsmo-dells entwickelt, in dem sich alle weiteren Überlegungen und Berechnungen abspielen. Für Wahrscheinlichkeitsmodelle gibt es die entsprechenden Maßzahlen wie in der Beschreibenden Statistik. Statt Mittelwert sagt man Erwartungswert und statt Streuung Varianz.
Adolf Riede

5. Kombinatorische Modellbildung

Mit Hilfe der in Kap. 1 berechneten Anzahlen werden die grundlegenden endlichen Wahrscheinlichkeitsmodelle berechnet: Die Binomialverteilung im Zusammenhang mit Bernoulli-Experimenten, die Hypergeometrische Verteilung und die Multinomialverteilung. Außerdem werden ihre Erwartungswerte und Varianzen teils berechnet teils angegeben. Für die Überlebensfähigkeit eines Wildtierbestandes ist die augenblickliche Größe der Population wichtig. Ein adäquates Mittel, die Populationsgröße zu schätzen, ist die sogenannte Rückfangmethode, bei der eine Anwendung der Hypergeometrischen Verteilung behandelt wird. Die Multinomialverteilung wird am Beispiel der Blutgruppen erläutert.
Adolf Riede

6. Diskrete Entwicklungsprozesse

Hier wird die Entwicklung einer Population in diskreten Zeitschritten wie etwa einem Jahr studiert. Ein Hauptziel ist die Vorhersage der zukünftigen Entwicklung. Die dabei benötigten mathematischen Begriffe sind u. a. konvergente Folgen und Reihen, die unmittelbar an Beispielen aus den Biowissenschaften erklärt werden. Bei einer ohne Zuwanderung aussterbenden Population wird untersucht, wie eine konstante Zuwanderung die Population stabilisieren kann. Eine einfache Modellierung von Geburtenzahl und Todesfällen hat zu einem Modell geführt, bei dem die Population bis ins Unendliche wächst und daher nur bei kleinen Populationen sinnvoll ist. Wenn die Population eine gewisse Größe erreicht haben wird, wird sich die Beschränkung des Lebensraumes und die innerspezifische Konkurrenz bemerkbar machen und ein unbegrenztes Wachstum drosseln. Eine andere Anwendung ist die Einstellung eines Patienten auf ein Medikament. Das kann in einem mathematischen Modell quantitativ dargestellt werden. Das Kapitel wird abgerundet durch ein Modell, das zeigt, wie es zu einer zeitlich konstant bleibenden Genotypverteilung kommen kann, die nach ihren Entdeckern Hardy-Weinberg-Gleichgewicht genannt wird.
Adolf Riede

7. Funktionen

In diesem Kapitel werden die mathematischen Grundbegriffe einer Funktion, des Grenz-wertes einer Funktion f(x) bei einer Stelle x 0 und der Stetigkeit zusammengestellt. Auch die grundlegenden Sätze sind hier einmal aufgeführt. Man kann auf diese Grundlagen zurückgreifen, wenn diese bei der Behandlung von Entwicklungsprozessen, in der Statistik oder an anderen Stellen auftreten.
Adolf Riede

8. Exponentialfunktion und Logarithmus

Aus der Aufgabe, das gleichmäßige stetige Wachstum zu beschreiben, also aus einem Problem der Biologie wird eine Exponentialfunktion als beschreibende Funktion gefunden. Die Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen sind die Logarithmus-Funktionen. Als Anwendung des Logarithmus wird die Intensität einer Sinnesempfindung eines äußeren physikalischen Reizes nach dem Weber-Fechnerschen Gesetz beschrieben. Im Zusammenhang mit dem Hörsinn wird die Einheit eines Dezibels erläutert. Der Abschn. 8.5.8 endet mit einem kurzen Bericht über die Forschungen des amerikanischen Biophysikers Selig Hecht (1892 - 1947) über den Gesichtssinn an der Sandklaffmuschel (Mya arenaria) und am menschlichen Auge, die zu einer neuen Sicht des Weber-Fechnerschen Gesetzes führen.
Adolf Riede

9. Differenzialrechnung

Dieses Kapitel stellt die grundlegenden Begriffe und Regeln des Differenzierens parat, die in den folgenden Kapiteln angewandt werden. Es werden behandelt: Wachstumsrate und Differenzialquotient, Differenziationsregeln, konstante, monotone und konvexe Funktionen, Extremwerte, Taylorpolynom und Taylorreihe. Besonderer Wert wird auf eine graphische Veranschaulichung gelegt. Ein Beispiel aus der Biologie befasst sich mit dem Energieverbrauch eines Fisches beim Schwimmen. Die häufig verwendeten Formeln und Hinweise für die Anwendung sind jeweils in einen Rahmen gestellt.
Adolf Riede

10. Anwendung auf diskrete Entwicklungsprozesse

Zunächst zeigen wir in diesem Kapitel, wie man einen Entwicklungsprozess durch die Reproduktionsfunktion beschreiben kann. Mit graphischen Methoden kann man sich ein Bild davon machen, wie eine Entwicklung abläuft und wohin sie auf lange Zeit tendiert. Viele Entwicklungen tendieren auf ein Gleichgewicht zu. Das sind Populationsgrößen, die sich im Laufe der Zeit gar nicht ändern sondern konstant bleiben. Für die Anwendungen sind die stabilen Gleichgewichte interessant. Das sind solche, bei denen nach einer kleinen Störung sich die Population wieder von selbst auf das Gleichgewicht einstellt. Etwa ein Wald wächst nach einem nicht zu großen Sturmschaden wieder auf seine ursprüngliche Größe heran. Das Kapitel schließt mit einem Vergleich des Modells für beschränktes Wachstum und des Modells für innerspezifische Konkurrenz.
Adolf Riede

11. Integralrechnung

Ausgehend von der anschaulichen Vorstellung eines Flächeninhaltes wird der Begriff des Integrales einer Funktion erklärt. Mit vielen Beispielen werden die Berechnung von Integralen und die Integrationsregeln eingeübt. Ein zentraler Punkt ist der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, den wir auf elementare Weise mit dem Begriff der Geschwindigkeit erklären. Das Kapitel schließt mit uneigentlichen Integralen, die in der Statistik auftreten.
Adolf Riede

12. Kontinuierliche Entwicklungsprozesse

Hier geht es darum, wie man zeitliche Entwicklungsprozesse aus einem nicht mathematischen Bereich quantitativ durch eine Differenzialgleichung erfassen oder, wie man auch sagt, modellieren kann, wobei mit kontinuierlicher Zeit gerechnet wird. Auf eine abstrakte Begriffsbildung wird verzichtet. Stattdessen wird die Modellierung und das Lösen der Modellgleichung an vier Beispielen erläutert.
Adolf Riede

13. Unendliche diskrete Wahrscheinlichkeits-Modelle

In diesem und in den folgenden zwei Kapiteln wenden wir die in Kap. 6 bis 11 entwickelten Hilfsmittel in der Stochastik an. In diesem Kapitel verallgemeinern wir den Begriff eines endlichen Wahrscheinlichkeitsmodells auf diskrete unendliche Wahrscheinlichkeitsmodelle, bei denen das Merkmal so viele Ausprägungen hat wie es natürliche Zahlen gibt. Die betrachteten Beispiele sind die Poissonverteilung und die geometrische Verteilung. Die Bedeutung der Poissonverteilung liegt erstens darin, dass man mit ihr eine einfachere Verteilung hat als die Binomialverteilung, und dass sie die Binomialverteilung approximiert. Zweitens kann durch Vergleich mit der Poissonverteilung geprüft werden, ob Pflanzen, Tiere oder Hefezellen in einer Kultur rein nach dem Zufall verteilt sind, oder ob sie zur Koloniebildung neigen oder nicht.
Adolf Riede

14. Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsmodelle

Jetzt geht es um Merkmale, deren Ausprägungen ein Intervall reeller Zahlen ausfüllen. Im ersten Abschnitt wird aus dem Begriff der relativen Summenhäufigkeit bei einem endlichen Wahrscheinlichkeitsmodell die Verteilungsfunktion bei kontinuierlichem Mo-dell hergeleitet. Im zweiten Abschnitt ergibt sich aus dem Begriff der relativen Häufigkeiten der Begriff der Wahrscheinlichkeitsdichte einer kontinuierlichen Verteilung. Schließlich wird der Zusammenhang von Dichte und Verteilungsfunktion erklärt. Als Anwendungsbeispiel wird die Dauer der Funktionsfähigkeit eines technischen Gerätes behandelt. Die wichtigen Normalverteilungen führen wir am Beispiel des Geburtsgewichtes ein. Wir definieren die Maßzahlen von kontinuierlichen Verteilungen und behandeln ihre Veränderungen bei Skalenwechsel. Es wird beschrieben, warum Normalverteilungen so häufig auftreten. Ein weiterer Nutzen der Normalverteilungen ist, dass die Binomialverteilung und andere Verteilungen oft durch eine übersichtlichere Normalverteilung approximiert werden können.
Adolf Riede

15. Stochastische Abhängigkeit

In diesem Kapitel wird die stochastische Abhängigkeit zweier Zufallsgrößen erklärt und insbesondere auf die lineare Abhängigkeit eingegangen. Für die Stärke einer linearen Abhängigkeit werden Maßzahlen eingeführt. Lineare Abhängigkeit kann graphisch durch die Ausgleichsgerade dargestellt werden. Die Bestimmung der Ausgleichsgeraden wird lineare Regression genannt. Wir besprechen auch verschiedene Arten von nicht linearer Regression. Dabei wird der Regression eines sinusförmigen Biorhythmus ein eigener Abschnitt gewidmet.
Adolf Riede

16. Statistische Schätzverfahren

Bei Schätzungen bestimmt man näherungsweise einen unbekannten Wert unter Angabe eines üblicherweise zu erwartenden Fehlers. Dies wird in diesem Abschnitt präzisiert. Die Methode der Maximum-Likelihood-Schätzungen bestimmt bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einem Parameter denjenigen Parameterwert, der am besten zu einer vorliegenden Stichprobe passt. Es werden folgende Beispiele behandelt: Schätzung des Erwartungswertes und der Varianz bei beliebiger Verteilung. Schätzung des Erwartungswertes einer Normalverteilung bei bekannter Varianz mittels der Quantile der Normalverteilung. Dasselbe bei unbekannter Varianz mittels der Quantile einer t-Verteilung. Schätzung einer Wahrscheinlichkeit. Schätzung einer Populationsgröße mit Hilfe der Rückfangmethode und der Hypergeometrischen Verteilung.
Adolf Riede

17. Statistische Prüfverfahren

Mit einem statistischen Test wird geprüft, mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit eine Vermutung gültig ist. Da das Kapitel 16 mit einer Schätzung bei Hypergeometrischer Verteilung aufgehört hat, kommt daran anschließend ein Test bei
  • Hypergeometrischer Verteilung.
Die behandelten Testverfahren geben einen roten Faden durch eine Vielzahl von statistischen Prüfmethoden. Ab dem Gauß-Test ist die Reihenfolge u. a. nach folgendem Gesichtspunkt getroffen: Die Tests haben eine spezielle Voraussetzung. Der nächste Test stellt jeweils ein Verfahren zur Verfügung, diese Voraussetzung zu überprüfen, oder er beantwortet die Frage, was zu tun ist, wenn diese Voraussetzung nicht erfüllt ist.
Adolf Riede

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