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Über dieses Buch

Dies ist ein Buch über die Mathematik, welches insbesondere die Anforderungen des Bachelorstudiums sinnvoll bedient. Es behandelt die Analysis in mehreren Variablen sowie gewöhnliche und partielle Differenzialgleichungen. Dabei wenden wir uns an Physiker, Mathematiker sowie ambitionierte Lehramtskandidaten und Ingenieure.

Das Buch fördert sowohl das Verständnis als auch das konzentrierte Lernen für Klausuren und mündliche Prüfungen.

Die Autoren bringen ihre Erfahrungen aus zahlreichen erfolgreichen Vorlesungen und Übungen zum Nutzen der Studierenden ein.

Auf einen Blick:

Klarer Stil, klare Sprache, klare Struktur. Zahlreiche Erläuterungen. Zu jedem Thema wird gesondert ein informativer Ein- und Ausblick geliefert. Grafiken und viele Beispiele helfen beim Verstehen. Fragen zum Selbsttest unterstützen zusätzlich beim Lernen. Aufgaben mit vollständigen Lösungen dienen der Vertiefung und Vorbereitung auf Prüfungen jeglicher Art.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Mehrdimensionale Analysis

Frontmatter

Kapitel 1. Metrische Räume

Zusammenfassung
In vielen Bereichen der Mathematik und Physik spielen Abstände eine besondere Rolle, beispielsweise bei der Berechnung der Länge eines Vektors (bei einem gezeichneten Geschwindigkeitsvektor in der Ebene der Abstand zwischen Fußpunkt und Spitze) oder bei der Definition des Begriffs der Konvergenz in der Analysis. In diesem Zusammenhang lernten wir im vorigen Band die Norm kennen. Dabei sahen wir, dass es nicht nur eine Norm gibt, sondern verschiedene.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 2. Stetige Abbildungen

Zusammenfassung
Wie schon im ersten Band bemerkt, verbinden wir mit dem Begriff der „Stetigkeit“, dass es keine Brüche, Sprünge oder Risse gibt, wenngleich auch die Anschauung dieser Begriffe im Fall mehrerer Dimensionen versagen kann. Die bereits bekannten Grundideen finden wir jedoch wieder.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 3. Differenzierbare Abbildungen

Zusammenfassung
Im 1-dimensionalen Fall ist die Ableitung eine Approximation einer auf einem Intervall I ⊆ ℝ definierten Funktion f : I → ℝ in der Nähe eines Entwicklungspunktes x0I im folgenden Sinne.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 4. Gradient, Divergenz und Rotation

Zusammenfassung
Die partiellen Ableitungen können wir nicht nur isoliert betrachten, sondern sie können auch zur Konstruktion spezieller Abbildungen verwendet werden, die wir Differenzialoperatoren nennen.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 5. Höhere partielle Ableitungen und der Laplace-Operator

Zusammenfassung
Im Fall der Analysis einer Dimension haben wir, z.B zum Finden von Extremstellen, höhere Ableitungen verwendet. Dies ist ebenfalls für partielle Ableitungen praktikabel und führt bei der Untersuchung von Funktionen im Mehrdimensionalen zu analogen Begriffen.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 6. Potenziale

Zusammenfassung
Der Begriff des Potenzials taucht in den Natur- und Ingenieurwissenschaften häufig auf. So meinen wir beispielsweise in der Elektrotechnik mit Potenzialdifferenz die Spannungsdifferenz zwischen Widerständen (oder Verbrauchern) in einem Stromkreis.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 7. Lokale Extrema und Taylor-Polynom

Zusammenfassung
Was lokale Extrema sind, das wissen wir bereits – wie solche rechnerisch gefunden werden, wird nachfolgend behandelt.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 8. Lokale Extrema unter Nebenbedingungen

Zusammenfassung
Auf den ersten Blick ist alles getan, wenn wir die lokalen Extrema einer Funktion berechnen können. Es kann jedoch passieren, dass mehr gewünscht ist. Stellen wir uns vor, dass wir ein Kraftfahrzeug mit Wasserstoffantrieb konstruiert haben und alles soweit fertig ist, bis auf die Form des Tanks für den Wasserstoff.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 9. Kurven und Integrale

Zusammenfassung
Welche Freude muss es sein, mit einem Fahrrad die spiralförmige Abfahrt eines Parkhauses zu bezwingen. Aufgrund der zunehmenden Geschwindigkeit scheint die Strecke immer enger zu werden und die Fahrt erzeugt mehr und mehr Adrenalin. Können wir aber vorher wissen, wie schnell die Fahrt wird? Ob wir eine Chance haben, ohne starkes Bremsen überhaupt unbeschadet am Ende der Bahn anzukommen? Um solche Fragen zu beantworten müssen wir ein Modell für die Parkhaus-Abfahrt haben (um ehrlich zu sein benötigt der Architekt ein solches bereits vor dem Bau), genau genommen ein mathematisches Modell. Eine grobe Annäherung ist eine Spirale, also eine spezielle Kurve im ℝ3, die dann durch eine Abbildung realisiert wird.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 10. Mehrfachintegration

Zusammenfassung
Wir haben entlang der x-Achse integriert, um z. B. die Fläche unter dem Graphen einer Funktion zu berechnen. Die Ideen dazu lassen sich auf den Fall von zwei Dimensionen verallgemeinern: An die Stelle von Intervallen treten dann beispielsweise Rechtecke, die dann aus einem Intervall auf der x-Achse und einem solchen auf der y-Achse gebildet werden – diese Rechtecke liegen dann in der xy-Ebene.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 11. Flächen und Integrale

Zusammenfassung
Wir erinnern uns daran, dass für den Fall einer Dimension Integrale u. a. dazu verwendet wurden, um die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen einer Funktion zu berechnen. Auch im mehrdimensionalen Fall spielt der Zusammenhang zwischen Flächen und Integralen eine Rolle, der sogar über die reine Flächenberechnung hinausgeht.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 12. Die Sätze von Gauß und Stokes

Zusammenfassung
Der Gauß’sche Integralsatz liefert einen Zusammenhang zwischen der Divergenz eines Vektorfeldes und dem durch das Feld vorgegebenen Fluss durch eine geschlossene Oberfläche.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Differenzialgleichungen

Frontmatter

Kapitel 13. Grundlegendes zu Differenzialgleichungen

Zusammenfassung
Differenzialgleichungen sind von großer Bedeutung, um die verschiedensten Vorgänge in Natur und Technik zu beschreiben, wie beispielsweise Schwingungen, Diffusionsprozesse und Strömungsphänomene.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 14. Lösungsraum homogener linearer Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffzienten

Zusammenfassung
Der Titel dieses Abschnitts klingt sperrig und wirft z. B. die Frage auf, warum es nicht einfach eine Art Formel gibt, die aus jeder möglichen Differenzialgleichung eine Lösung generiert. Leider ist es nicht so einfach.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 15. Anfangswertprobleme

Zusammenfassung
Stellen wir uns bildlich die folgende Situation vor: Ein Faden wird zwischen den Fingern gehalten, an dessen Ende eine kleine Metallkugel befestigt ist, die sich allerdings am Anfang unserer Beobachtung nicht bewegt. Nun verändern wir die Situation, indem wir die Kugel ein wenig aus der Ruhelage bewegen (der Faden bleibt gespannt, der Abstand zwischen Fingern und Kugel ändert sich also nicht) und diese dann loslassen. Nun können wir eine Kugel sehen, die am Anfang unserer Beobachtung eine Position hat, die zu einer Bewegung führt.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 16. Ansätze zum Finden partikulärer Lösungen

Zusammenfassung
Ist die Lösung einer homogenen Differenzialgleichung gefunden, so könnte es doch sein, dass die Lösung der inhomogenen Gleichung nur ein wenig von dieser abweicht. Die Idee liegt dann darin begründet, dass an den in der Lösung der homogenen Gleichung auftretenden Konstanten lediglich „ein wenig gewackelt“ werden müsste, diese also variiert werden, um dann zu einer partikulären Lösung zu kommen.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 17. Lösungsansätze für weitere Typen

Zusammenfassung
Bisher war vieles noch vertraut, denn die Linearität der Differenzialgleichungen machte Überlegungen anwendbar, die wir bereits bei der Linearen Algebra angestellt hatten. Liegt hingegen Linearität nicht mehr vor, schränken sich unsere Möglichkeiten stark ein.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 18. Nichtlineare Differenzialgleichungssysteme und Stabilität

Zusammenfassung
Es wurde bisher noch keine Aussage über die Lösung von nichtlinearen Anfangswertproblemen getroffen, dies holen wir hier nach.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 19. Partielle Differenzialgleichungen: Separationsansatz

Zusammenfassung
Uns erwartet ein kurzer Abschnitt, der jedoch bedeutungsvoll ist, da er das Tor zu partiellen Differenzialgleichungen aufstößt.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 20. Wellen- und Laplace-Gleichung

Zusammenfassung
Wir wollen nun zwei spezielle Differenzialgleichungen betrachten, die von besonderer Bedeutung sind: dieWellen- und die Laplace-Gleichung. Erstere bietet eine mathematische Beschreibung der Ausbreitung von Wellen, z.B. von Licht oder Schall. Spezielle Strömungen können mit der Laplace-Gleichung beschrieben werden, gleichfalls genügt ihr das elektrische Potential im ladungsfreien Raum und auch bei der Beschreibung von Wärmeleitungsphänomenen ist sie wichtig – um nur einige Beispiele zu nennen.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 21. Fourier-Reihen

Zusammenfassung
Der Ton macht die Musik, heißt es. Aber was ist ein Ton? Aus mathematischphysikalischer Sicht nichts anderes als eine periodische Schwingung, beispielsweise die Sinus-Schwingung einer Stimmgabel oder der Ton einer Bratsche.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

Kapitel 22. Variationsrechnung

Zusammenfassung
Das Folgende gilt als Allgemeingut: Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten in der (euklidischen) Ebene ist gegeben durch den Geradenabschnitt, der diese beiden Punkte verbindet.
Matthias Plaue, Mike Scherfner

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