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2023 | Buch

Mathematik für den Studieneinstieg

Ein mathematischer Werkzeugkoffer für Studierende verschiedener Disziplinen

verfasst von: Antje Kiesel, Regula Krapf

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Über dieses Buch

Sie stehen am Beginn Ihres Studiums und wollen sich gut auf die mathematischen Herausforderungen Ihres Studienfachs vorbereiten? Sie möchten alle typischen Themen Ihrer ersten Mathematikvorlesung in nur einem Buch nachlesen? Sie wollen dabei viele Beispiele sehen, immer wieder aktiviert werden und selbst über die gegebenen Fragestellungen nachdenken?

Mit diesem Lehrbuch holen wir Sie bei Ihrem Abiturwissen ab und bringen Ihnen problem- und beispielorientiert die wichtigsten mathematischen Werkzeuge zum Studieneinstieg näher: Sie lernen die Grundlagen zu Funktionen, Gleichungen und Ungleichungen, das Lösen linearer Gleichungssysteme und das Rechnen mit Matrizen sowie die wichtigsten Inhalte der Differential- und Integralrechnung. Beweise führen wir dabei nur dann aus, wenn sie unmittelbar dem Verständnis dienen.

Bei der Darstellung legen wir größten Wert auf ein anschauliches Grundverständnis und das sichere Einüben von Verfahren – Sie sehen direkt am Beispiel, wie Sie eine Problemstellung grundsätzlich angehen und wie Sie konkret rechnen. Jeder Abschnitt startet daher mit einem Beispiel, welches die Fragestellungen motiviert. Dann erarbeiten wir die mathematische Theorie dazu. Zwischendurch finden Sie zahlreiche kleine Denkanstöße, Aufgaben und Anwendungen, bei denen Sie Zettel und Stift bereithalten sollten. Übungsaufgaben und passende online verfügbare Lernvideos, in denen Beispiele ausführlich und kleinschrittig durchgerechnet werden, unterstützen Sie zusätzlich beim Lernen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
1. Grundlagen – Werkzeugkoffer der Mathematik
Zusammenfassung
Wir starten in dieses Buch mit zwei kurzen Ausflügen, zunächst in die Logik und anschließend in die Mengenlehre. Sie fragen sich, wofür das gut sein soll? Nun, die kurze Antwort darauf ist: Warten Sie es ab! Sie werden sehen, dass es sich auszahlt. Diese Antwort wird sie nicht zufriedenstellen, auch wenn Mathematiker oft in der Lage sind, zunächst abstrakte Konzepte zu akzeptieren, deren Nutzen so richtig erst viel später klar wird. Sie haben dennoch eine konkretere Antwort an dieser Stelle verdient: In der Mathematik wollen wir Gleichungen lösen, Zusammenhänge verstehen, Hypothesen auf Richtigkeit überprüfen, kausale Abhängigkeiten ergründen. Dabei geht es ganz oft um Fragen folgender Art: Unter welchen Voraussetzungen gilt etwas? Wie groß muss eine Variable sein, um eine gegebene Forderung zu erfüllen? Was muss gleichzeitig gelten, damit etwas Drittes eintritt? Da wären wir schon beim Thema: Die Logik begegnet uns, und zwar im mathematischen Kontext genauso wie im Alltag.
Antje Kiesel, Regula Krapf
2. Was Sie über Lineare Algebra wissen sollten
Zusammenfassung
Das Rechnen mit Vektoren ist Ihnen bestimmt aus der Schule gut bekannt. Man kann durch zweidimensionale Vektoren der Form
$$\begin{gathered}\displaystyle\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix}\end{gathered}$$
oder dreidimensionale Vektoren der Form
$$\begin{gathered}\displaystyle\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{pmatrix}\end{gathered}$$
Richtungen in der Ebene oder im Raum beschreiben. Oftmals nutzen wir Vektoren aber auch, um höherdimensionale Objekte zu beschreiben. So können die Einträge von Vektoren etwa Verkaufsmengen von Produkten, Temperaturen an verschiedenen Orten der Erde, Koordinaten von Flugzeugen uvm. angeben. Hier ein paar weitere Beispiele:
Antje Kiesel, Regula Krapf
3. Notwendige (und hinreichende?) Kenntnisse der Analysis
Zusammenfassung
Folgen und Grenzwerte – falls dies Vokabeln sind, die in Ihrem Schulmathematikunterricht keine große Rolle gespielt haben, dann möchte ich Sie zunächst davon überzeugen, dass es sich jetzt trotzdem lohnt, diese Begriffe in den Blick zu nehmen. Ich verspreche Ihnen gleich zu Beginn, dass dies hier keine halbe Analysis-Vorlesung für Mathematikstudierende wird. Wir werden ein paar Begriffe und Konzepte definieren, wo es nötig ist, mehr aber auch nicht. Trotzdem werden wir das ordentlich tun und uns nicht mit der reinen Anschauung begnügen. Los geht es!
Wir starten mit einer Fragestellung, deren Antwort wir ganz am Ende unseres Analysis-Teils dieses Buches beantworten können wollen und die uns motivieren soll, uns bis dahin mit ein wenig Theorie auseinanderzusetzen.
Die Höhe einer Fichte in Zentimetern in Abhängigkeit vom Alter \(t\) in Jahren werde durch die Funktion \(h\) mit
$$\begin{gathered}\displaystyle h(t)=\frac{4000}{1+9e^{-0{,}058t}}-400\end{gathered}$$
beschrieben. Wir wollen folgende Fragen beantworten:
  • Wie ist die Definitionsmenge sinnvollerweise zu wählen, welche Bildmenge ergibt sich? Wie groß kann die Fichte maximal werden?
  • Mit welcher Geschwindigkeit wächst die Fichte im Alter von 10 Jahren?
  • In welchem Alter erreicht die Fichte eine Höhe von 16 Metern? Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit in diesem Alter?
Dabei ist \(e\) die Euler’sche Zahl, benannt nach dem Mathematiker Leonard Euler (1707–1783), die wir im Laufe dieses Kapitels kennenlernen werden. Sie hat einen Wert von etwa \(e\approx 2{,}718\dots\).
Antje Kiesel, Regula Krapf
Backmatter
Metadaten
Titel
Mathematik für den Studieneinstieg
verfasst von
Antje Kiesel
Regula Krapf
Copyright-Jahr
2023
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-67932-6
Print ISBN
978-3-662-67931-9
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-67932-6