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2019 | Buch

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Mathematik für die Informatik

Grundlegende Begriffe, Strukturen und ihre Anwendung

verfasst von: Prof. Dr. Rudolf Berghammer

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Mathematik für die Informatik: Dieses Buch bringt Ihnen die Grundlagen bei

Dieses Buch erläutert die für ein Informatikstudium relevanten Begriffe und Strukturen der Mathematik. Daneben zeigt es Ihnen, wie Sie die formalen Methoden der Programmverifikation und -entwicklung und den Entwurf von generischen Programmen in der Informatik anwenden. Den Einstieg in die Mathematik der Hochschulinformatik erleichtert ihnen dieses Buch durch:

· Ein spezielles und leicht verständliches Konzept der Stoffvermittlung

· Viele Beispiele und Beweistechniken inklusive der Erklärung ihres logischen Hintergrunds

· Rückgriffe auf die Schul-Mathematik

Dadurch bereitet Sie das Buch umfassend auf tiefgreifende Fachbegriffe und Anwendungen der Mathematik in der Informatik vor. Ein Highlight dieses Werks sind 142 Übungsaufgaben, die Ihnen helfen, das Erlernte im Selbststudium zu festigen und zu kontrollieren. Anhand von zahlreichen Lösungsvorschlägen überprüfen Sie Ihre eigenen Ergebnisse.

Grundlegende Themengebiete werden abgedeckt

Im ersten Kapitel werden Grundlagen der Mengentheorie, die Sie aus der Schule kennen, kompakt und intuitiv wiederholt. Der Fokus liegt z. B. auf Relationen und Funktionen sowie Potenzmengen und Kardinalitäten. Die weiteren Buchkapitel beleuchten u. a. folgende Teilbereiche der Mathematik für die Informatik:

· Allgemeine direkte Produkte und Datenstrukturen

· Grundlagen der Logik

· Spezielle Relationen und gerichtete Graphen

· Elementare Kombinatorik und ungerichtete Graphen

· Grundbegriffe algebraischer Strukturen

Zum Schluss folgt eine formale Einführung in die natürlichen Zahlen.

Mit diesem Buch gelingt der Einstieg ins Informatik-Studium

Mit diesem Buch schaffen Sie eine solide Basis für die Mathematikausbildung im Rahmen des Informatikstudiums. Zudem sind Sie durch die vorgestellten Problemstellungen in der Lage, selbstständig mathematische Konzepte und Methoden anzuwenden. Zielgruppen dieses Buchs über Mathematik in der Informatik sind Bachelor-Studierende in den ersten Studiensemestern folgender Fachbereiche:

Informatik

Mathematik

Ingenieurwissenschaften

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Mengentheoretische Grundlagen

Zusammenfassung

Die Mengenlehre ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie wurde vom deutschen Mathematiker Georg Cantor (1845-1918) etwa zwischen 1870 und 1900 begründet. Heutzutage baut die gesamte moderne und wissenschaftliche Mathematik, wenn sie formal axiomatisch betrieben wird, auf der axiomatischen Mengenlehre auf. Für Anfänger in der Mathematik ist ein axiomatischer Mengenbegriff sehr schwer zu verstehen.

Rudolf Berghammer

Kapitel 2. Logische Grundlagen

Zusammenfassung

Neben der Mengenlehre ist die Logik das zweite Fundament der Mathematik. Die Mengenlehre wird gebraucht, um die Objekte, für die man sich in der Mathematik interessiert, zu konstruieren, zu modellieren und zu manipulieren. Bisher kennen wir Paare, Relationen und Funktionen.

Rudolf Berghammer

Kapitel 3. Allgemeine direkte Produkte und Datenstrukturen

Zusammenfassung

In Abschnitt 1.4 haben wir direkte Produkte M × N als Mengen von Paaren (a, b) von Objekten eingeführt. Paare bestehen aus genau zwei Komponenten. In diesem Kapitel führen wir zuerst Tupel ein, die aus endlich vielen Komponenten bestehen, und, als deren Verallgemeinerungen, dann noch Folgen und Familien. Mengen von Tupeln nennt man allgemeine direkte Produkte.

Rudolf Berghammer

Kapitel 4. Mathematische Beweise

Zusammenfassung

Beweise zu führen ist das Kerngeschäft der Mathematik. In ihnen wird mit logischen Mitteln nachgewiesen, dass eine mathematische Aussage gültig ist. Es gibt verschiedene Stile, um mathematische Beweise aufzuschreiben.

Rudolf Berghammer

Kapitel 5. Anwendung: Spezifikation und Programmverifikation

Zusammenfassung

Eine der Hauptaufgaben der Informatik ist das Entwerfen von Algorithmen, also von effektiv ausführbaren Verfahren, die eine bestimmte Klasse von verwandten Problemen lösen. Von der höheren Schule her kennt man solche Verfahren in der Regel aus dem Geometrie- Unterricht. Typische Algorithmen sind hier das Halbieren einer Strecke oder das Fällen eines Lots nur unter Verwendung von Zirkel, Lineal und Bleistift.

Rudolf Berghammer

Kapitel 6. Spezielle Funktionen

Zusammenfassung

In Abschnitt 1.4 haben wir Funktionen als spezielle Relationen eingeführt und auch einige Sprech- und Schreibweisen festgelegt. Bisher haben wir Funktionen aber nur zu Beispielszwecken verwendet, etwa um Sachverhalte zu beschreiben oder Möglichkeiten zu schaffen, vorgegebene Objekte zu manipulieren. Insbesondere bei den zweiten Anwendungen sprachen wir dann oftmals von Operationen statt von Funktionen, um diesen Charakter zu betonen.

Rudolf Berghammer

Kapitel 7. Spezielle Relationen und gerichtete Graphen

Zusammenfassung

Nun betrachten wir weitere wichtige Klassen von Relationen und einige ihrer Eigenschaften näher. Im Gegensatz zu den Funktionen, die in ihrer Urform Relationen des Typs ⊆× mit zwei beliebigen Mengen M und N sind, betrachten wir in diesem Kapitel nur Relationen des Typs ⊆×, also Relationen, bei denen Quelle und Ziel gleich sind. Solche Relationen auf einer Menge werden auch homogen genannt. Homogene Relationen kann man anschaulich gut durch Pfeildiagramme darstellen und zwar durch solche, wie wir sie in Abschnitt 1.4 ursprünglich eingeführt haben.

Rudolf Berghammer

Kapitel 8. Elementare Kombinatorik und ungerichtete Graphen

Zusammenfassung

Im letzten Abschnitt des vorhergehenden Kapitels wurden gerichtete Graphen behandelt. Dies sind im Prinzip nichts anderes als Relationen auf Knotenmengen, deshalb geschah die Zuordnung zum Kapitel über Relationen. Es gibt auch noch ungerichtete Graphen, bei denen die Verbindungen zwischen den Knoten keine Richtung besitzen, graphisch also keine Pfeile mit Spitzen an einem Ende darstellen.

Rudolf Berghammer

Kapitel 9. Grundbegriffe algebraischer Strukturen

Zusammenfassung

Große Teile der Mathematik und der theoretischen Informatik untersuchen mathematische Strukturen und wenden solche zur Lösung von Problemen an. Sehr allgemein betrachtet besteht eine mathematische Struktur aus einer Liste von nichtleeren Mengen, genannt Trägermengen, von Elementen aus den Trägermengen, genannt Konstanten, und von mengentheoretischen Konstruktionen über den Trägermengen. Bisher kennen wir etwa geordnete Mengen, gerichtete Graphen und ungerichtete Graphen als mathematische Strukturen.

Rudolf Berghammer

Kapitel 10. Anwendung: Generische Programmierung

Zusammenfassung

Abstraktion und Wiederverwendung sind zwei bestimmende Faktoren beim mathematischen Arbeiten. Bei einer Abstraktion versucht man, durchWeglassen von als unwesentlich erachteten Einzelheiten zum wesentlichen Teil eines gerade behandelten Sachverhalts (etwa eines mathematischen Problems) vorzudringen. Typische Abstraktionen sind die algebraischen Strukturen von Kapitel 9.

Rudolf Berghammer

Kapitel 11. Formale Einführung der natürlichen Zahlen

Zusammenfassung

In Kapitel 1 haben wir die von der Schule her bekannten Mengen der natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen, rationalen Zahlen und reellen Zahlen eingeführt. Dies geschah in sehr informeller Weise und bei der Verwendung dieser Mengen und ihrer Operationen und Relationen haben wir bisher immer ein intuitives Verständnis von Zahlen vorausgesetzt. In Kapitel 1 haben wir auch erwähnt, dass es ein allgemeines Bestreben der an den Grundlagen orientierten Teile der Mathematik ist, alles, was man an mathematischen Objekten konstruiert, auf Mengen zurückzuführen.

Rudolf Berghammer

Backmatter

Titel: Mathematik für die Informatik
verfasst von: Prof. Dr. Rudolf Berghammer
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-25809-2
Print ISBN: 978-3-658-25808-5
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-25809-2