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Über dieses Buch

Dieses Buch führt Sie auf leicht verständliche Weise von den gängigen Bereichen der Linearen Algebra und Analysis bis hin zur Stochastik und Numerik. Es ist in einem unverkrampften und ermutigenden, bisweilen sogar unterhaltsamen Stil geschrieben, der das Lesen leicht macht – ohne es jedoch an der nötigen Exaktheit und Präzision fehlen zu lassen. Viele ausführliche Erklärungen und Beispiele sowie zahlreiche Übungsaufgaben mit Lösungen unterstützen beim Lernen und helfen beim Verstehen des Stoffes – so dass Sie in jede Prüfung mit dem sicheren Gefühl gehen können: „Das kann ich!“

Im Rahmen der 3. Auflage wurde das Buch ergänzt durch den kostenlosen Zugang zur Springer Nature Flashcards-App. Hier wird dem Leser exklusives Zusatzmaterial in Form von über 300 neuen Prüfungsfragen zur Verfügung gestellt, mit deren Hilfe man jederzeit den eigenen Leistungsstand ermitteln und Prüfungssimulationen durchführen kann.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Grundlagen

Zusammenfassung
In diesem ersten Kapitel werde ich Sie mit den Grundlagen der Mathematik vertraut machen, die Sie im Laufe Ihres Studiums benötigen werden. Einiges wird Ihnen möglicherweise schon vertraut sein – was sicherlich nicht schlimm ist –, anderes dagegen vollständig neu – auch das ist nicht schlimm, wie Sie sehen werden. In jedem Fall werden Sie am Ende dieses Kapitels das Grundwissen sowie die nötigen Grundfertigkeiten haben, mit deren Hilfe Sie sowohl mit den weiteren Inhalten dieses Buchs, vor allem aber mit dem gesamten Mathematikteil Ihres Studiums keine unüberwindlichen Schwierigkeiten mehr haben werden. Das klingt doch schon mal gar nicht schlecht, oder?
Guido Walz

2. Lineare Gleichungssysteme, Vektoren und Matrizen

Zusammenfassung
Beim Schreiben eines Buches oder wie hier eines Kapitels über die Kernthemen der linearen Algebra stellt sich jedesmal wieder die Frage, in welcher Reihenfolge man die einzelnen Themen abhandeln soll. Nun werden Sie sagen: „Junge, das ist dein Problem, nicht meines, denn du bist der Autor und bekommst Geld dafür!“ Nun, das stimmt zwar beides (das Eine mehr, das Andere weniger), aber dennoch will ich Ihnen die Problematik kurz erklären, denn das fördert auch Ihr Verständnis der kommenden Seiten.
Guido Walz

3. Analytische Geometrie

Zusammenfassung
In Kap. 2 wurden Vektoren als schematische Anordnung von reellen Zahlen definiert. Das ist im Rahmen der Matrizenrechnung und bei der Behandlung von linearen Gleichungssystemen auch völlig richtig so. In diesem Kapitel werden nun mehr die geometrischen Aspekte von Vektoren und daraus gebildeten Objekten wie Geraden und Ebenen im Vordergrund stehen.
Guido Walz

4. Lineare Optimierung

Zusammenfassung
Der Begriff „Optimierung“ bezeichnet sowohl in der Mathematik als auch in der Umgangssprache das Problem, irgendetwas „möglichst gut“ zu machen. Im Gegensatz zur Umgangssprache kann man das in der Mathematik allerdings sehr präzise formulieren: Der Wert einer Funktion soll – je nach Problemstellung – maximal bzw. minimal gemacht werden, wobei üblicherweise noch gewisse einschränkende Nebenbedingungen zu beachten sind. Eine solche Funktion kann beispielsweise eine Kostenfunktion sein, hier wird man sicherlich minimieren wollen, oder aber eine Ertragsfunktion, die man dann maximieren will.
Guido Walz

5. Folgen und Funktionen

Zusammenfassung
Auf den ersten Seiten dieses Buches habe ich bereits erwähnt, dass für die meisten Menschen die „richtige“ Mathematik erst dann beginnt, wenn es um Funktionen geht. Das ist zwar inhaltlich nicht richtig – denn was um alles in der Welt haben wir auf den bisherigen Seiten gemacht? –, aber verständlich, und ich vermute fast, auch Sie warten schon verzweifelt auf die erste Funktion in diesem Buch.
Guido Walz

6. Differenzialrechnung

Zusammenfassung
Die Differenzialrechnung befasst sich mit der Bestimmung von Ableitungen einer Funktion. Das Berechnen einer solchen Ableitung nennt man „ableiten“ oder auch „differenzieren“ der Funktion, und dieser Vorgang ist DER (genau so: groß und kursiv) zentrale Vorgang der gesamten Analysis überhaupt.
Guido Walz

7. Integralrechnung

Zusammenfassung
Die Integralrechnung wird meist als Gegenstück der Differenzialrechnung angesehen und als solches eingeführt. Das hat auch durchaus seine Berechtigung, denn es wird sich herausstellen, dass die Integration einer Funktion f im Wesentlichen das Bilden einer anderen Funktion – der sogenannten Stammfunktion – erfordert, deren Ableitung gerade wieder f ist. Man kann also durchaus sagen, dass das Integrieren die Umkehrung des Differenzierens ist.
Guido Walz

8. Reihen

Zusammenfassung
Vor einigen Jahren fragte mich meine Tochter, die sich damals gerade aufs Abitur vorbereitete und sich dabei mehr oder weniger notgedrungen mit mathematischen Dingen beschäftigen musste, was denn eine „Reihe“ sei. Ich sagte ihr, dass es sich bei einer Reihe – manchmal sagt man auch „unendliche Reihe“– um eine Folge handelt, die dadurch entsteht, dass man die Glieder einer anderen Folge aufsummiert und die dabei entstehenden sukzessiven Partialsummen als neue Folge interpretiert.
Guido Walz

9. Differenzialgleichungen

Zusammenfassung
In Kap. 6 hatten wir uns damit befasst, die Ableitungen einer gegebenen Funktion zu bestimmen. In diesem Kapitel wird nun gewissermaßen die umgekehrte Fragestellung behandelt: Gegeben ist ein funktionaler Zusammenhang zwischen den Ableitungen einer Funktion, der Funktion selbst und der unabhängigen Variablen. Wie lautet die Funktion?
Guido Walz

10. Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen

Zusammenfassung
In den letzten Kapiteln war viel von Funktionen die Rede, es wurde munter differenziert, integriert, auf Stetigkeit untersucht und vieles mehr. Allen diesen Funktionen war gemeinsam, dass sie von einer Variablen abhingen. Dies entspricht der Tatsache, dass viele Prozesse und Verläufe, die durch solche Funktionen beschrieben werden, von einem Parameter abhängen. Beispielsweise ist der Gesamtgewinn g, den ein Unternehmen durch eine bestimmte Produktgruppe erwirtschaftet, sicherlich abhängig von der Anzahl x der verkauften Produkte, also kann man ihn durch eine Funktion g(x) ausdrücken.
Guido Walz

11. Stochastik

Zusammenfassung
Ich hoffe, der vielleicht ungewohnt klingende Begriff Stochastik hat Sie, als Sie das Inhaltsverzeichnis gelesen haben, nicht allzu sehr erschreckt. Das ist lediglich die zusammenfassende Bezeichnung für die Disziplinen Wahrscheinlichkeitsrechnung und (mathematische) Statistik. Und genau diese beiden Gebiete werde ich Ihnen in diesem Kapitel in ihren Grundzügen vorstellen.
Guido Walz

12. Numerische Mathematik

Zusammenfassung
Die numerische Mathematik (kurz: Numerik) ist weniger, wie etwa Algebra, Analysis oder Zahlentheorie, ein eigenes Teilgebiet der Mathematik, vielmehr versteht man darunter eine fachübergreifende Disziplin, die Berechnungsverfahren, also Algorithmen, zur Verfügung stellt, um in verschiedensten Teilgebieten der Mathematik und ihrer Anwendungen konkrete zahlenmäßige Lösungen zu berechnen. Sie verhindert quasi, dass Sie nach dem Ende Ihres Studiums und mehreren Semestern Mathematik zwar genau darüber Bescheid wissen, wie man die Stetigkeit einer Funktion definiert und nachweist oder wie man die partielle Ableitung einer multivariaten Funktion nach allen möglichen Variablen berechnet, aber dass Sie zur numerischen (also zahlenmäßigen) Berechnung beispielsweise von \( \sqrt{2} \) immer noch Ihren kleinen Bruder mit seinem Taschenrechner bemühen müssen – ganz zu schweigen etwa von der Interpolation einer Reihe durch Messfehler verfälschter Daten oder dem Berechnen eines komplizierten Integrals.
Guido Walz

13. Lösungen der Übungsaufgaben

Zusammenfassung
In diesem Kapitel finden Sie kurze Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben in diesem Buch, damit Sie kontrollieren können, ob Ihre eigenen Überlegungen richtig sind. Ausführlichere Lösungen mit Angabe möglicher Lösungswege finden Sie auf den Internetseiten des Verlages.
Guido Walz

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