Mathematik für Informatiker

(1.1) Es sei g ≥ 2 eine fest gewählte natürliche Zahl. Jede reelle Zahl a ≠ 0 hat genau eine g-adische Entwicklung \( a = sign(a)( \cdots a{ - _2}a{ - _1}{a_0}.{a_1}{a_2} \cdots )g \) [vgl. 1(3.24) und III(2.3)(4); es werden hier im Gegensatz zu I(3.24) die Stellen nach dem Punkt mit wachsenden Indizes gezählt].

(1) In diesem Paragraphen seien m und n natürliche Zahlen, und es sei K ein Körper. Mit K[T] wird der Polynomring über K in der Unbestimmten T bezeichnet [vgl. I(8.1)(6)].

(1) In diesem Paragraphen seien m, n und r stets natürliche Zahlen.

In diesem Paragraphen wird zunächst an einigen Beispielen gezeigt, mit welcher Art von Aufgaben sich das Lineare Optimieren beschäftigt. Dabei steht jedes Beispiel für eine ganze Klasse ähnlicher Aufgaben. Danach wird gezeigt, wie sich die verschiedenen Aufgabentypen auf einen einzigen Typ zurückführen lassen. Dieser Standardtyp wird dann im nächsten Paragraphen behandelt werden.

Die in diesem Paragraphen behandelten summierbaren Abbildungen werden im nächsten Paragraphen bei der Beschreibung der grundlegenden Strukturen der Stochastik, nämlich der diskreten Wahrscheinlichkeitsräume, benötigt. Die Theorie, die in den folgenden Abschnitten behandelt wird, ist im Grunde genommen nur eine Umformulierung der Theorie der absolut konvergenten Reihen aus Kapitel III, §3.

(1.0) Im folgenden werden die in Kapitel I, §3 eingeführten Begriffe und Sprechweisen benutzt; dem Leser wird empfohlen, sich den Inhalt jenes Paragraphen nochmals ins Gedächtnis zu rufen.

(1.1) In diesem Paragraphen wird die in Kapitel I, §5 begonnene elementare Zahlentheorie fortgesetzt. Dabei wird zunächst noch einmal auf die Begriffe des größten gemeinsamen Teilers und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ganzer Zahlen eingegangen; dabei werden einige in Kapitel III, §4 für faktorielle Ringe R bewiesene Resultate für den speziellen Fall R = ℤ nochmals hergeleitet. Dann werden die Restklassenringe von ℤ und deren Einheitengruppen genauer behandelt. Die dabei erzielten Ergebnisse werden in den beiden anschließenden Paragraphen benötigt. Dem Leser wird empfohlen, sich das wichtigste Ergebnis aus Kapitel I, §5 und seinen Beweis [vgl. I(5.20) und auch XIII, §4] zu vergegenwärtigen, nämlich: Jede natürliche Zahl m besitzt eine — bis auf die Reihenfolge der Faktoren — eindeutig bestimmte Primzerlegung m = ∏ _i=1 ^r p _i ^αi ist m = 1, so ist das Produkt leer, andernfalls sind darin p₁,...,p _r die verschiedenen Primteiler von m, und α₁,..., α _r sind natürliche Zahlen.

(1.0) In diesem Paragraphen bezeichnen K und L stets Körper, und es ist K[T] der Polynomring über K in der Unbestimmten T, L[T] der Polynomring über L in der Unbestimmten T. Ist L ein Erweiterungskörper von K, so ist K[T] ein Unterring von L[T].

Es sei V eine nichtleere Menge, auf der zwei Verknüpfungen \( (a,b) \mapsto a \vee b:V \times V \to V{\text{ und (}}a,b{\text{)}} \mapsto a \wedge b:V \times V \to V \) definiert sind.