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2012 | Buch

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Mathematik für Informatiker

Ein praxisbezogenes Lehrbuch

verfasst von: Peter Hartmann

Verlag: Vieweg+Teubner Verlag

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Buch enthält in einem Band den Mathematik-Stoff, der für das Informatik-Studium in anwendungsorientierten Bachelor-Studiengängen benötigt wird. Die Stoffauswahl und die Ausführlichkeit der Darstellung entspringen der langjährigen Lehrerfahrung des Autors in Informatik-Studiengängen an der Hochschule Landshut. Das heißt:

· Sie finden immer wieder konkrete Anwendungen aus der Informatik, so erkennen Sie die Nützlichkeit der Mathematik für Ihr Fachgebiet.

· Sie lernen nicht nur die mathematischen Grundlagen technischer Anwendungen wie in den Mathematikbüchern für Ingenieure, es werden auch die mathematischen Denkweisen vermittelt, die eine Grundlage zum Verständnis der Informatik darstellen.

· Es ist nicht so viel Theorie enthalten wie in den Büchern für das Mathematikstudium, Beweise werden dann geführt, wenn Sie daraus etwas lernen können, nicht um des Beweisens willen.

Mathematik ist für viele Studierende zunächst ein notwendiges Übel. Das Buch zeigt durch die ausführliche Motivation der Ergebnisse, durch viele Beispiele, durch das ständige Aufzeigen von Querbezügen zwischen Mathematik und Informatik und auch durch gelegentliche Ausblicke in die Welt der "richtigen" Mathematik, dass Mathematik nicht nur nützlich ist, sondern interessant sein kann und manchmal auch Spaß macht. Der Autor hat das Buch vollständig überarbeitet, insbesondere die Kapitel zur diskreten Mathematik wurden inhaltlich umstrukturiert und abgerundet. Jedes Kapitel wurde um eine Aufstellung der Lerninhalte und eine Reihe von Verständnisfragen zur Lernzielkontrolle ergänzt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Diskrete Mathematik und lineare Algebra

Frontmatter

1. Mengen und Abbildungen

Zusammenfassung

Mengen, Operationen auf Mengen und Abbildungen zwischen Mengen sind Teil der Sprache der Mathematik. Daher beginnen wir das Buch damit. Wenn Sie dieses erste Kapitel durchgearbeitet haben, kennen Sie

den Begriff der Menge und Mengenoperationen,
Relationen, insbesondere Äquivalenzrelationen und Ordnungsrelationen,
wichtige Eigenschaften von Abbildungen,
den Begriff der Mächtigkeit von endlichen und unendlichen Mengen,
und Sie haben gelernt einfache Beweise durchzuführen.

Peter Hartmann

2. Logik

Zusammenfassung

Als Informatiker ist man ständig mit Aufgabenstellungen aus der Logik befasst. In diesem Kapitel lernen Sie

was eine Aussage ist,
den Unterschied zwischen Syntax und Semantik,
wie Sie Aussagen und Aussageformeln auswerten können,
die Prädikatenlogik,
wichtige Beweisprinzipien der Mathematik,
die Verwendung von Vor- und Nachbedingungen beim Programmieren.

Peter Hartmann

3. Natürliche Zahlen, vollständige Induktion, Rekursion

Zusammenfassung

Am Ende dieses Kapitels

wissen Sie, was ein Axiomensystem ist, und kennen die Axiome der natürlichen Zahlen,
können Sie die natürlichen Zahlen in verschiedenen Basen darstellen,
beherrschen Sie das Beweisprinzip der vollständigen Induktion und haben einige wichtige mathematische Aussagen mit vollständiger Induktion bewiesen,
wissen Sie was rekursive Funktionen sind und kennen den Zusammenhang zwischen Rekursion und Induktion,
haben Sie für einige rekursive Algorithmen Laufzeitberechnungen durchgeführt.

Peter Hartmann

4. Etwas Zahlentheorie

Zusammenfassung

Die zentralen Lerninhalte dieses Kapitels sind

der Binomialkoeffizient und seine wichtigsten Eigenschaften,
der Umgang mit dem mathematischen Summensymbol Σ ,
Regeln zur Teilbarkeit natürlicher Zahlen und der Euklid’sche Algorithmus,
das Rechnen mit Restklassen,
die Anwendung der Restklassenrechnung für Hash-Verfahren.

Peter Hartmann

5. Algebraische Strukturen

Zusammenfassung

Am Ende dieses Kapitels

wissen Sie was eine algebraische Struktur ist,
kennen Sie die wichtigsten algebraischen Strukturen: Gruppen, Ringe, Körper,
Und viele bedeutende Beispiele dazu: Permutationsgruppen, Polynomringe, den Ring\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), die Körper \(\mathbb{C}\) und \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\),
kennen Sie die Homomorphismen als die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen algebraischen Strukturen,
und haben die Public Key Kryptographie als wichtige Anwendung der endlichen Ringe und Körper kennengelernt.

Peter Hartmann

6. Vektorräume

Zusammenfassung

In diesem Kapitel lernen Sie

die Rechenoperationen auf den klassischen Vektorräumen \(\mathbb{R}^{2},\;\mathbb{R}^{2}\) und \(\mathbb{R}^{n}\) ,
den Vektorraum als zentrale algebraische Struktur der Linearen Algebra kennen,
die linearen Abbildungen als die Homomorphismen der Vektorräume kennen,
die Begriffe lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension von Vektorräumen und wie diese zusammenhängen,
das Rechnen mit Koordinaten bezüglich verschiedener Basen eines Vektorraums.

Peter Hartmann

7. Matrizen

Zusammenfassung

Die Verwendung von Koordinaten und Matrizen in der Linearen Algebra legt die Grundlage für Algorithmen in vielen Bereichen der Informatik. Am Ende dieses Kapitels kennen Sie

den Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen,
wichtige lineare Abbildungen im \(\mathbb{R}^{2}\) und ihre darstellenden Matrizen: Streckungen, Drehungen, Spiegelungen,
die Matrixmultiplikation und ihre Interpretation als Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen,
Matrizen und Matrixoperationen im Kn, wobei K ein beliebiger Körper sein kann,
den Rang einer Matrix.

Peter Hartmann

8. Gauß’scher Algorithmus und lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Wenn Sie dieses Kapitel durchgearbeitet haben,

wissen Sie was ein lineares Gleichungssystem ist und können die Lösungen geometrisch interpretieren,
können Sie ein lineares Gleichungssystem in Matrixschreibweise aufschreiben,
beherrschen Sie den Gauß’schen Algorithmus und können ihn anwenden um
Lineare Gleichungssysteme zu lösen und das Inverse von Matrizen zu bestimmen.

Peter Hartmann

9. Eigenwerte, Eigenvektoren und Basistransformationen

Zusammenfassung

Am Ende dieses Kapitels

wissen Sie was die Determinante einer Matrix ist und können Sie berechnen,
haben Sie die Begriffe Eigenwert und Eigenvektor von Matrizen kennengelernt,
und können Eigenwerte und Eigenvektoren mit Hilfe des charakteristischen Polynoms einer Matrix berechnen,
haben Sie Eigenwerte und Eigenvektoren einiger wichtiger linearer Abbildungen im \(\mathbb{R}^{2}\) berechnet und die Ergebnisse geometrisch interpretiert,
können Sie Basistransformationen durchführen,
und wissen was die Orientierung von Vektorräumen bedeutet.

Peter Hartmann

10. Skalarprodukt und orthogonale Abbildungen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel lernen Sie kennen:

das Skalarprodukt und Normen für reelle Vektorräume,
das spezielle Skalarprodukt im \(\mathbb{R}^{2}\) und \(\mathbb{R}^{3}\),
orthogonale Abbildungen und ihre Matrizen,
alle Typen orthogonaler Abbildungen im \(\mathbb{R}^{2}\) und \(\mathbb{R}^{3}\)
die homogenen Koordinaten und ihre Anwendung in der Robotik.

Peter Hartmann

11. Graphentheorie

Zusammenfassung

Dieses Kapitel enthält viele Algorithmen und liegt besonders nahe an der Informatik. Wenn Sie es durchgearbeitet haben

kennen Sie die Grundbegriffe der Graphentheorie: Knoten, Kanten, Knotengrad, Wege, Kreise, Isomorphismen, bewertete und gerichtete Graphen,
wissen Sie was Bäume und Wurzelbäume sind,
Haben Sie als Anwendung Suchbäume konstruiert und können mit Hilfe von Bäumen den Huffmancode aufbauen,
wissen Sie, was Breitensuche und Tiefensuche bedeutet und können kürzeste Wege in bewerteten Graphen finden,
und können in azyklischen gerichteten Graphen eine topologische Sortierung durchführen.

Peter Hartmann

Analysis

Frontmatter

12. Die reellen Zahlen

Zusammenfassung

Dieses Kapitel legt die Grundlagen für Untersuchungen zu konvergenten Folgen und von stetigen Funktionen. Am Ende dieses Kapitels

wissen Sie, wodurch die reellen Zahlen charakterisiert sind,
kennen Sie die Eigenschaften von Anordnung und Betrag auf den reellen Zahlen,
kennen Sie den Begriff des metrischen Raumes und einige Beispiele metrischer Rôume,
können Sie mit Umgebungen in metrischen Rôumen umgehen,
kennen Sie offene Mengen, abgeschlossene Mengen und wissen was der Rand einer Menge ist.

Peter Hartmann

13. Folgen und Reihen

Zusammenfassung

Am Ende dieses Kapitels

wissen Sie was konvergente Folgen sind und können Grenzwerte von Folgen berechnen,
können Sie mit dem ε der Mathematiker umgehen,
kennen Sie die O-Notation und können die Laufzeit von Algorithmen in der ONotation berechnen und ausdrücken,
wissen Sie was Reihen und konvergente Reihen sind und haben wichtige Rechenregeln zur Bestimmung des Grenzwerts einer konvergenten Reihe kennengelernt,
können Sie reelle Zahlen im Dezimalsystem und in anderen Zahlsystemen darstellen und kennen den Bezug dieser Darstellungen zur Theorie der konvergenten Reihen,
haben Sie die Zahl e und die Exponentialfunktion als erste Funktion kennengelernt, die durch eine konvergente Reihe definiert wird.

Peter Hartmann

14. Stetige Funktionen

Zusammenfassung

Die Untersuchung stetiger Funktionen steht im Zentrum der Analysis. Wenn Sie dieses Kapitel durchgearbeitet haben

wissen Sie, was eine stetige reelle oder komplexe Funktion ist und können überprüfen ob eine gegebene Funktion stetig ist,
haben Sie Funktionen mehrerer Veränderlicher und den Begriff der Stetigkeit für solche Funktionen kennengelernt,
beherrschen Sie wichtige Eigenschaften stetiger Funktionen,
kennen Sie viele elementare stetige Funktionen: Potenzfunktion und Wurzel, allgemeine und komplexe Exponentialfunktion, den Logarithmus und trigonometrische Funktionen,
und haben eine ganz neue Definition der Zahl π kennengelernt.

Peter Hartmann

15. Differenzialrechnung

Zusammenfassung

Ein langes Kapitel liegt vor Ihnen. Wenn Sie es geschafft haben

kennen Sie die Definition der Ableitung für Funktionen einer oder mehrerer Veränderlicher,
können Sie Regeln für die Berechnung von Ableitungen anwenden,
haben Sie die Ableitungen vieler elementarer Funktionen ausgerechnet,
können Sie Extremwerte und Wendepunkte reeller Funktionen bestimmen,
kennen Sie Potenzreihen und den Konvergenzradius von Potenzreihen,
können Sie Taylorpolynome und Taylorreihen für differenzierbare Funktionen berechnen und Approximationsfehler abschätzen,
haben Sie Grundlagen der Differenzialrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher kennengelernt.

Peter Hartmann

16. Integralrechnung

Zusammenfassung

Am Ende dieses Kapitels haben Sie

das Integral als Fläche unter einer stückweise stetigen Funktion kennengelernt,
den Zusammenhang zwischen der Differential- und Integralrechnung verstanden,
Rechenregeln zur Bestimmung von Integralen hergeleitet und mit Hilfe dieser Regeln viele Integrale berechnet,
Körpervolumen und Kurvenlängen mit Hilfe der Integration berechnet,
Integrale mit Integrationsgrenzen am Rand des Definitionsbereichs berechnet (uneigentliche Integrale),
gelernt wie man stückweise stetige Funktionen als Fourierreihen darstellen kann,
und Sie kennen die diskrete Fouriertransformation.

Peter Hartmann

17. Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

Wenn Sie dieses Kapitels durchgearbeitet haben

kennen Sie die Bedeutung von Differenzialgleichungen,
können Sie wichtige Typen von Differenzialgleichungen erkennen,
kennen Sie Lösungsverfahren für trennbare Differenzialgleichungen und für lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung,
und können lineare homogene Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten vollständig lösen.

Peter Hartmann

18. Numerische Verfahren

Zusammenfassung

Das letzte Kapitel aus dem zweiten Teil des Buches macht Sie mit Anwendungen der theoretischen Mathematik für konkrete Berechnungsaufgaben vertraut. Am Ende dieses Kapitels

wissen Sie, dass Rechenfehler unvermeidlich sind und können ihre Größe und ihre Entwicklung bei Rechenoperationen abschätzen,
können Sie Nullstellen und Fixpunkte nichtlinearer Gleichungen mit verschiedenen Verfahren berechnen,
können Sie glatte Interpolationskurven zwischen vorgegebenen Punkten im \(\mathbb{R}^{2}\) bestimmen,
können Sie numerisch Integrale lösen,
und Lösungen für Differenzialgleichungen erster Ordnung iterativ bestimmen.

Peter Hartmann

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Frontmatter

19. Wahrscheinlichkeitsräume

Zusammenfassung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Grundlage für die Statistik. Damit beschäftigen wir uns in diesem Kapitel. An dessen Ende

kennen und verstehen Sie wichtige Fragestellungen der Statistik,
wissen Sie was ein Wahrscheinlichkeitsraum ist und kennen die grundlegenden Regeln zum Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten,
können Sie mit bedingten Wahrscheinlichkeiten und unabhängigen Ereignissen umgehen,
wissen Sie was ein Laplace-Raum, was ein Bernoulliexperiment und was ein Urnenexperiment ist,
und können Wahrscheinlichkeiten in Bernoulli- und Urnenexperimenten berechnen.

Peter Hartmann

20. Zufallsvariable

Zusammenfassung

Nach der Beendigung dieses Kapitels

wissen Sie was diskrete und stetige Zufallsvariable sind,
kennen Sie den Zusammenhang zwischen Zufallsvariablen und Verteilungsfunktionen,
haben Sie die Bedeutung der Begriffe Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen verstanden, können diese berechnen und damit umgehen,
und Sie haben einen kurzen Einblick in die Informationstheorie bekommen.

Peter Hartmann

21. Wichtige Verteilungen

Zusammenfassung

Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen lassen sich mit Hilfe von Verteilungen beschreiben. Am Ende dieses Kapitels kennen Sie

die wichtigsten diskreten Verteilungen: Binomialverteilung, geometrische und hypergeometrische Verteilung,
die Poisson-Verteilung als Annäherung an die Binomialverteilung und den Poisson- Prozess zur Beschreibung von Ereignissen im zeitlichen Verlauf,
die Standardnormalverteilung und die allgemeine Normalverteilung, und Sie wissen, warum sich diese als Annäherung an die Binomialverteilung verwenden lassen,
den zentralen Grenzwertsatz,
die Exponentialverteilung und die Chi-Quadrat-Verteilung.

Peter Hartmann

22. Statistische Verfahren

Zusammenfassung

Jetzt können Sie die Früchte aus den letzten Kapiteln ernten. Wenn Sie dieses Kapitel durchgearbeitet haben,

dann wissen Sie was eine Stichprobe ist und können deren Mittelwert, die mittlere quadratische Abweichung und die Varianz einer Stichprobe berechnen,
kennen Sie den Begriff der Schätzfunktion und haben Kriterien um festzustellen, ob eine Schätzfunktion erwartungstreu oder konsistent ist,
kennen Sie Schätzfunktionen für die Wahrscheinlichkeit in einem Bernoulliexperiment und für den Erwartungswert und die Varianz einer Zufallsvariablen,
verstehen Sie die Begriffe Konfidenzintervall und Konfidenzniveau und können Konfidenzintervalle für die Wahrscheinlichkeit in einem Bernoulliexperiment berechnen sowie notwendige Stichprobengrößen bestimmen,
können Sie einseitige und zweiseitige Hypothesentests für Bernoulliexperimente durchführen und kennen die Fehler erster und zweiter Art in Hypothesentests,
haben Sie einen Anpassungstest mit Hilfe der Pearson’schen Testfunktion durchgeführt,
und können das fertig gelesene Buch zur Seite legen. Herzlichen Glückwunsch!

Peter Hartmann

Backmatter

Titel: Mathematik für Informatiker
verfasst von: Peter Hartmann
Verlag: Vieweg+Teubner Verlag
Electronic ISBN: 978-3-8348-2002-0
Print ISBN: 978-3-8348-1856-0
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-8348-2002-0