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2025 | Buch

Mathematik für Ingenieur- und Naturwissenschaften

Anwendungsorientierte Grundlagen kompakt erklärt mit Video-Tutorials

verfasst von: Anita Kloss-Brandstätter

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Über dieses Buch

Dieses innovative Video-Lehrbuch ist ein kompakter Begleiter für alle, die mathematische Grundlagen schnell erfassen und sicher anwenden möchten – insbesondere für Studierende der Natur- und Ingenieurwissenschaften.

Das Buch verbindet kompakte Wissensvermittlung mit praxisnahen Anwendungen und einem direkten Zugang zu ausführlichen Video-Tutorials im YouTube-Kanal der Autorin („Sciencebarbie erklärt Mathematik“). Mit klarer Struktur und prägnanter Darstellung bietet es den perfekten Einstieg in die Welt der höheren Mathematik, ohne dabei den Fokus auf das Wesentliche zu verlieren: die Anwendung. Praktische Beispiele und reale Problemstellungen stehen im Mittelpunkt, während der theoretische Hintergrund auf das Notwendige reduziert ist. Durch anschauliche Schritt-für-Schritt-Erklärungen in den Videos werden selbst komplexe Themen leicht verständlich.

Ob im Studium, zur Prüfungsvorbereitung oder für die Anwendung im Berufsalltag – dieses Buch bietet eine flexible und effiziente Möglichkeit, die anwendungsorientierten Grundlagen der Mathematik wirklich zu durchdringen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
1. Arithmetik und Diskrete Mathematik
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird die Grundlage für ein tiefes Verständnis der Arithmetik und Diskreten Mathematik gelegt. Den Einstieg bildet die Mengenlehre, das Fundament vieler mathematischer Konzepte. Hier stehen präzise Definitionen, Mengenoperationen sowie Strukturen wie das kartesische Produkt und die Potenzmenge im Mittelpunkt.
Anschließend wird der Bogen zu den verschiedenen Zahlbereichen gespannt – von den natürlichen bis hin zu den reellen Zahlen – und ihre Bedeutung sowie Anwendung in der Mathematik beleuchtet.
Der nächste Abschnitt widmet sich den Herausforderungen und Methoden beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen. Beginnend mit grundlegenden Umformungen bis hin zu komplexeren Aufgaben wie quadratischen oder Wurzelgleichungen, werden Lösungswege systematisch erschlossen.
Den Abschluss bildet ein Einblick in zentrale Themen der Diskreten Mathematik wie die modulare Arithmetik und die Methode der vollständigen Induktion, die als Werkzeug für Beweise fundamentale Bedeutung hat. Dieses Kapitel lädt dazu ein, die Struktur und Eleganz der Mathematik in ihrer ganzen Tiefe zu erleben.
Anita Kloss-Brandstätter
2. Funktionen
Zusammenfassung
Zu Beginn dieses Kapitels werden grundlegende Begriffe wie Definitions- und Wertebereich, Bild und Urbild eingeführt. Danach werden die Eigenschaften von Funktionen wie Injektivität, Surjektivität und Bijektivität untersucht, gefolgt von der Betrachtung von Umkehrfunktionen und der Verkettung von Funktionen.
Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf dem Grenzwertbegriff und der Stetigkeit von Funktionen. Hier wird gezeigt, wie Grenzwerte verwendet werden, um das Verhalten von Funktionen im Unendlichen zu beschreiben, bevor stetige und unstetige Funktionen näher betrachtet werden.
Der Abschnitt über spezielle Funktionstypen umfasst ganzrationale, gebrochenrationale und Wurzelfunktionen, wobei deren Eigenschaften und graphische Darstellungen im Mittelpunkt stehen. Anschließend eröffnen Exponential- und Logarithmusfunktionen neue Perspektiven durch ihre Anwendung in vielen Bereichen der Wissenschaft und Technik.
Den Abschluss bilden trigonometrische und hyperbolische Funktionen sowie deren Umkehrfunktionen. Diese erweitern den Funktionsbegriff und bieten ein reiches Werkzeug, um periodische und wachstumsbezogene Phänomene zu verstehen. Das Kapitel zeigt, wie vielseitig und grundlegend Funktionen für das Verständnis mathematischer Strukturen sind.
Anita Kloss-Brandstätter
3. Differentialrechnung
Zusammenfassung
Dieses Kapitel behandelt die Differentialrechnung mit Fokus auf Änderungsraten und Extremwerte. Zunächst wird die Differentiation von Funktionen einer Variablen eingeführt, einschließlich des Differentialquotienten, grundlegender Ableitungsregeln und höherer Ableitungen.
Ein Schwerpunkt liegt auf der Kurvendiskussion zur systematischen Analyse von Nullstellen, Extrem- und Wendepunkten sowie Symmetrie, Monotonie und Krümmung. Die Linearisierung zeigt, wie komplexe Verläufe vereinfacht werden können.
Der zweite Teil widmet sich Funktionen mehrerer Variablen, darunter partielle Ableitungen, totale Differenzierbarkeit und das totale Differential. Abschließend werden Methoden zur Extremwertbestimmung behandelt, einschließlich der Lagrange-Optimierung.
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4. Integralrechnung
Zusammenfassung
Die Integralrechnung erfasst Größen wie Flächen, Volumina und physikalische Eigenschaften präzise und stellt die Umkehrung der Differentialrechnung dar: Statt die Ableitung \( f^{\prime }(x) \) einer Funktion \( f(x) \) zu bestimmen, wird aus \( f^{\prime }(x) \) die ursprüngliche Funktion rekonstruiert.
Zunächst werden das unbestimmte Integral, Stammfunktionen und Integrationsregeln eingeführt. Anschließend folgt das bestimmte Integral mit dem Hauptsatz der Integralrechnung und dessen Anwendung. Fortgeschrittene Techniken wie Substitution, partielle Integration und Partialbruchzerlegung erweitern das Repertoire, ergänzt durch numerische Methoden wie die Trapezregel und die Simpsonsche Formel.
Das Kapitel schließt mit uneigentlichen Integralen sowie Anwendungen zur Flächen- und Volumenberechnung. Schließlich ermöglichen Doppelintegrale die Integration über zweidimensionale Bereiche.
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5. Komplexe Zahlen
Zusammenfassung
Das Kapitel über komplexe Zahlen eröffnet einen faszinierenden mathematischen Raum, der weit über die Grenzen der reellen Zahlen hinausgeht. Es beginnt mit der Definition imaginärer und komplexer Zahlen sowie ihrer geometrischen Veranschaulichung in der komplexen Ebene. Unterschiedliche Darstellungsformen – von der kartesischen bis zur polar-exponentiellen Form – machen deutlich, wie vielseitig diese Zahlen sind.
Ein Schwerpunkt liegt auf den Rechenoperationen mit komplexen Zahlen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzieren werden detailliert erklärt. Der Fundamentalsatz der Algebra wird eingeführt, um die Bedeutung komplexer Zahlen als Lösungsmöglichkeit für jede Polynomgleichung aufzuzeigen. Darüber hinaus wird die Berechnung der n-ten Wurzeln komplexer Zahlen sowie die elegante Eulersche Formel behandelt.
Ein praxisnaher Abschnitt widmet sich der Anwendung komplexer Zahlen in der Elektrotechnik, was ihre Relevanz in technischen und naturwissenschaftlichen Feldern verdeutlicht.
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6. Unendliche Reihen
Zusammenfassung
Das Kapitel über unendliche Reihen führt in die Welt unendlich vieler Summen und ihrer Anwendungen ein. Zunächst werden Zahlenfolgen hinsichtlich ihrer Bildung, Monotonie und Beschränktheit untersucht, wobei der Grenzwert eine zentrale Rolle spielt.
Zahlenreihen entstehen durch Summieren von Zahlenfolgen. Wichtige Konzepte sind Konvergenzkriterien und das Abschätzen des Reihenrestes, um den Fehler zu quantifizieren.
Potenzreihen, die in Mathematik und Physik bedeutend sind, werden hinsichtlich ihrer Definition, Konvergenz und Taylor-Reihenentwicklung erklärt.
Ein Highlight des Kapitels ist die Einführung in Fourierreihen, die periodische Funktionen als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen, einschließlich der Bestimmung der Koeffizienten und der komplexen Darstellung.
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7. Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Zusammenfassung
Das Kapitel zur linearen Algebra und analytischen Geometrie behandelt Vektoren, Matrizen und lineare Gleichungssysteme. Die Vektoralgebra umfasst Vektoren sowie Rechenoperationen wie Addition, Skalarprodukt und Vektorprodukt, die für die Geometrie wichtig sind. Matrizen stellen lineare Transformationen dar, und ihre Rechenoperationen umfassen Addition, Multiplikation, Inversion sowie die Berechnung von Determinanten und inversen Matrizen. Diese Werkzeuge werden zur Lösung von Gleichungssystemen und der Untersuchung der linearen Unabhängigkeit von Vektoren eingesetzt. Ein Abschnitt behandelt komplexe Matrizen, konjugierte und adjungierte Matrizen sowie Hermitesche und unitäre Matrizen. Das Kapitel schließt mit der Berechnung und Anwendung von Eigenwerten und Eigenvektoren.
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8. Gewöhnliche Differentialgleichungen
Zusammenfassung
Dieses Kapitel vermittelt die Grundlagen und Lösungstechniken gewöhnlicher Differentialgleichungen. Zunächst werden Definition, Richtungsfelder und Lösungskurven zur visuellen Darstellung behandelt. Anschließend folgt die Unterscheidung zwischen Anfangs- und Randwertproblemen.
Verschiedene Lösungsmethoden werden vorgestellt: Trennung der Variablen, der Exponentialansatz für lineare Gleichungen, die Variation der Konstanten für inhomogene Gleichungen sowie die Bernoullische Differentialgleichung mit praktischen Anwendungen. Zudem wird die numerische Lösung mittels Euler-Polygonzugverfahren erläutert.
Abschließend behandelt das Kapitel Differentialgleichungen höherer Ordnung, beginnend mit der Theorie und Lösungen für Gleichungen 2. Ordnung bis hin zu Anwendungen wie Schwingungen. Es bietet einen umfassenden Einstieg in Theorie und Praxis und vermittelt die grundlegenden Techniken zur Lösung solcher Gleichungen.
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9. Vektoranalysis
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird die Vektoranalysis behandelt, die für die Beschreibung von Feldern in der Mathematik und Physik unverzichtbar ist. Zunächst geht es um die Parametrisierung von Kurven und Flächen sowie die Theorie von Skalar- und Vektorfeldern. Skalarfelder repräsentieren Größen wie Temperatur oder Druck, während Vektorfelder etwa Geschwindigkeit oder Kraftverteilungen modellieren.
Ein besonderer Fokus liegt auf den Differentialoperatoren: Der Gradient zeigt die Richtung der größten Veränderung eines Skalarfeldes, die Divergenz misst Quellen oder Senken in einem Vektorfeld, und die Rotation erfasst die Drehbewegung eines Vektorfeldes. Der Laplace-Operator wird ebenfalls behandelt, insbesondere in physikalischen Anwendungen.
Das Kapitel schließt mit der Einführung in Koordinatentransformationen, einschließlich Polarkoordinaten sowie Zylinder- und Kugelkoordinaten, die in der Physik bei der Modellierung von Kreisbewegungen und elektromagnetischen Feldern von Bedeutung sind.
Anita Kloss-Brandstätter
10. Integraltransformationen
Zusammenfassung
Dieses Kapitel behandelt Integraltransformationen, die in der Signalverarbeitung, Systemtheorie und der Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden, um komplexe Funktionen in einfachere Darstellungen zu überführen. Es beginnt mit elementaren Signalen wie der Sprungfunktion, die plötzliche Änderungen beschreibt, und der Dirac’schen Deltafunktion für idealisierte Impulse. Die Fourier-Transformation zerlegt Funktionen in ihre Frequenzbestandteile, während die Inverse Fourier-Transformation zur ursprünglichen Funktion zurückführt. Die Laplace-Transformation hilft bei der Lösung von Differentialgleichungen und stellt Funktionen mit exponentiellem Verhalten dar. Das Kapitel zeigt, wie Integraltransformationen zur Vereinfachung und Lösung technischer und mathematischer Probleme genutzt werden.
Anita Kloss-Brandstätter
11. Partielle Differentialgleichungen
Zusammenfassung
Partielle Differentialgleichungen (PDG) beschreiben Beziehungen zwischen einer Funktion und ihren partiellen Ableitungen und modellieren Prozesse, die von mehreren Variablen abhängen, wie Wärmeleitung oder Wellenbewegungen. Das Kapitel behandelt die Klassifikation von PDG, unterscheidet zwischen linearen und nichtlinearen sowie elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Gleichungen.
Zur Lösung werden analytische Verfahren wie der Separationsansatz, das Charakteristikenverfahren und die Laplace-Transformation eingesetzt, um PDG in algebraische Gleichungen zu überführen.
Es werden die wichtigsten PDG-Typen wie die Laplace-Gleichung, die Wärmeleitungsgleichung und die Wellengleichung behandelt, die fundamentale physikalische Phänomene beschreiben, wie Temperaturverhalten und Wellenbewegungen.
Anita Kloss-Brandstätter
12. Stochastik
Zusammenfassung
Das Kapitel Stochastik beschäftigt sich mit der mathematischen Beschreibung und Analyse von Zufallsprozessen und Unsicherheiten. Es umfasst die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die es ermöglichen, Zufallsereignisse zu modellieren und Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, sowie der Statistik, die Methoden zur Auswertung und Interpretation von Daten bereitstellt. Stochastische Modelle finden in vielen Bereichen Anwendung, von der Wirtschaft über die Naturwissenschaften bis hin zur Technik, und sind unerlässlich, um die unvorhersehbare Natur vieler Prozesse zu verstehen und Vorhersagen zu treffen.
Anita Kloss-Brandstätter
Backmatter
Metadaten
Titel
Mathematik für Ingenieur- und Naturwissenschaften
verfasst von
Anita Kloss-Brandstätter
Copyright-Jahr
2025
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-71091-3
Print ISBN
978-3-662-71090-6
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-71091-3