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Über dieses Buch

Dieses mit ausgefallenen und lehrreichen Beispielen versehene Buch beinhaltet die wesentlichen Aspekte der mehrdimensionalen Analysis und der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Diese interessanten und anwendungsorientierten Inhalte der Mathematik sind in zahlreichen Studiengängen von großem Interesse.

An wen richtet sich also dieses Buch?

Neben den Studierenden der Ingenieurwissenschaften und technisch-physikalisch orientierten Studiengänge profitieren auch in besonderer Weise Lehramtsstudierende wegen der beispielorientierten Aufbereitung der anspruchsvollen Inhalte von diesem Werk. Ebenso ist dieses Buch für Studierende des Faches Mathematik neben den zahlreichen kreativen Beispielen auch durch die Beweisorientierung vieler Aussagen ein großer Gewinn.

Gibt es eine weitere Besonderheit in diesem Buch?

Natürlich! Jeder Abschnitt wird mit Aufgaben unterschiedlichen Niveaus ausgestattet, welche passgenau die besprochenen Inhalte aufgreifen. Somit bieten 240 Aufgaben den Leserinnen und Lesern die Möglichkeit, den Stoff zu vertiefen und Freude an der Materie zu gewinnen. Ein gesondertes Lösungsbuch mit gleichnamigem Titel gibt es selbstverständlich auch!

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Chapter 1. Reellwertige Funktionen von mehreren reellen Veränderlichen

Zusammenfassung
Es werden skalarwertige Funktionen in Abhängigkeit von mehreren Variablen besprochen. Dieser Funktionstyp unterscheidet sich hinsichtlich verschiedener Eigenschaften von Abbildungen, welche nur von einer Variablen abhängen. So ist bereits die Bestimmung der Definitions- bzw. der Wertebereiche deutlich umfangreicher und Begriffe wie Stetigkeit und Differenzierbarkeit erweisen sich im mehrdimensionalen Fall als weitaus schwieriger. Extremwertaufgaben bekommen in mehreren Dimensionen einen ganz besonderen Stellenwert. Anhand von zahlreichen kreativen und ausgefallenen Beispielen sowie zweiundsiebzig Aufgaben unterschiedlichen Niveaus sollen die Leserinnen und Leser dieses Buches an die erwähnten Begrifflichkeiten herangeführt und letztlich damit vertraut gemacht werden.
Wilhelm Merz, Peter Knabner

Chapter 2. Differentialrechnung vektorwertiger Funktionen

Zusammenfassung
Der zuvor eingeführte Funktionstyp wird hier auf vektorwertige Funktionen erweitert. Damit ist die allgemeinste Form einer Abildung gegeben. Es liegt nun nahe, die zuvor besprochenen Eigenschaften von Funktionen auf diesen Abbildungstyp zu verallgemeinern und anhand einundzwanzig geeigneter Aufgaben einen sicheren Umgang mit diesen in vielen Anwendungsbereichen relevanten Funktionen zu erreichen. Es zeigt sich auch, dass sich hier vielfältigere Ableitungsregeln ergeben und diesen durch speziell gewählte Beispiele und Aufgaben besondere Aufmerksamkeit gewidmet wird.
Wilhelm Merz, Peter Knabner

Chapter 3. Mehrdimensionale Integration

Zusammenfassung
Ein zentrales Thema ist die mehrdimensionale Integration. Während bei der eindimensionalen Integration entlang eines Intervalls integriert wird, sind jetzt mehrdimensionale Integrationsgebiete unterschiedlichster geometrischer Eigenschaften relevant. Wir beschränken uns in diesem Rahmen auf skalarwertige Integranden in Abhängigkeit von lediglich zwei oder drei Variablen, auch in Hinblick darauf, dass dies die praxisrelevanten Dimensionen sind. Daraus resultieren entsprechend Flächen- oder Volumenintegrale, welche spezielle Integrations- bzw. Lösungstechniken erfordern. Ein besonderes Augenmerk wird dabei auf die Transformationsformel, eine Verallgemeinerung der Substitutionsregel im eindimensionalen Fall, gelegt. Eine beispielsorientierte Herangehenweise und dreißig kreative Aufgaben bieten die Möglichkeit, sich mit diesem Themenbereich vertraut zu machen.
Wilhelm Merz, Peter Knabner

Chapter 4. Flächen und Flächenintegrale

Zusammenfassung
Im dreidimensionalen euklidischen Raum lassen sich Flächen bzw. Oberflächen als zweidimensionale Gebilde auf verschiedene Art und Weise darstellen. Besonders effektiv ist die sog. Parameterdarstellung, aus welcher sich recht einfach die Formulierung von Oberflächenintegralen zur Berechnung der Flächeninhalte herleiten lässt. Auch Kurvenintegrale sind in diesem Zusammenhang ein Thema und für beide Integralsorten werden physikalische Anwendungsbereiche besprochen und fünfzehn Aufgaben werden zu diesem Kapitel gestellt.
Wilhelm Merz, Peter Knabner

Chapter 5. Stammfunktionen und Wegunabhängigkeit von Kurven- und Flächenintegralen

Zusammenfassung
Hier werden weitere, physikalisch relevante Differentialoperatoren und damit verbunden zusätzliche Rechenregeln für differenzierbare Funktionen eingeführt. Ausgewählte Beispiele und Aufgaben sollen diese Regeln den Studierenden näherbringen. Zudem werden hier Gradientenfelder und damit verbunden Potentiale zu gegebenen Vektorfeldern besprochen. Die Existenz derartiger Potentiale und deren beispielorientierte Berechnung ist ein zentraler Punkt in diesem Kapitel. Insgesamt zwölf formulierte Aufgaben dienen dazu, sich mit diesem Themenbereich anzufreunden.
Wilhelm Merz, Peter Knabner

Chapter 6. Integralsätze von Gauß und Stokes

Zusammenfassung
Die wichtigsten Resultate aus dem Bereich der mehrdimensionalen Integration sind hier zu finden. Es handelt sich dabei um die beiden berühmten Integralsätze von Gauß bzw. Stokes, welche Zusammenhänge zwischen Volumen- und Oberflächenintegralen bzw. Oberflächen- und Kurvenintegralen im dreidimensionalen Raum herstellen. Beispiele und fünfzehn ausgefallene Aufgaben sorgen dafür, diese Sachverhalte zu vertiefen.
Wilhelm Merz, Peter Knabner

Chapter 7. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Gewöhnliche Differentialgleichungen sind Inhalt des letzten und umfangreichsten Kapitels dieses Buches. Es gibt zahlreiche Lösungsmethoden für spezielle Typen von Differentialgleichungen. Ausgewählte Beispiele dazu werden vorgestellt und detailiert besprochen. Bestimmte Formen von linearen Differentialgleichungssystemen stehen dabei im Mittelpunkt und finden durch außgewöhnliche Beispiele besondere Beachtung. Neben grundlegenden Existenz- und Eindeutigkeitsfragen, werden auch Stabilitätsangelegenheiten besprochen und mit passgenauen Aufgaben belegt. Abgerundet wird dieser Teil des Buches durch die Bereitstellung gängiger numerischer Lösungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen. Es werden insgesamt fünfundsiebzig Aufgaben unterschiedlichen Niveaus zu diesem Kapitel angeboten.
Wilhelm Merz, Peter Knabner

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