Mathematik für Ingenieure

Frontmatter

Plädoyer

Zusammenfassung

Muß es wirklich sein? Muß sich ein angehender Ingenieur, der in seinen ersten Semestern ohnehin ausreichend geplagt wird, auch noch mit so vielen Seiten Mathematik abquälen? Da ich all diese Seiten geschrieben habe, wird Sie meine Antwort nicht überraschen: vielleicht müssen Sie es nicht, aber es wäre für Ihr Studium und Ihren Beruf hilfreich, es eine Weile zu versuchen.

Thomas Rießinger

Kapitel 1. Mengen und Zahlenarten

Zusammenfassung

Wir beginnen ganz vorsichtig, indem wir uns mit zwei für die Mathematik grundlegenden Dingen befassen, mit Mengen und mit Zahlen.

Thomas Rießinger

Kapitel 2. Vektorrechnung

Zusammenfassung

Die reellen Zahlen, die wir im letzten Kapitel gewonnen haben, sind sogenannte Skalare, mit denen sich die Punkte auf der Zahlengeraden beschreiben lassen. Wie Sie selbst wissen, verläuft aber nicht vieles im Leben einfach schnurgerade: Sie brauchen nur einmal mit dem Auto durch ein Gebirge zu fahren — natürlich auf einer Landstraße und nicht auf der Autobahn — um festzustellen, daß Sie hier mit reellen Zahlen zwar sicher die zurückgelegte Distanz in Kilometern angeben können, aber damit nicht die permanenten Kurven und Richtungswechsel berücksichtigt haben. In der Physik und speziell in der Mechanik ist die Darstellung von Richtungen von großer Bedeutung, und man hat zu diesem Zweck das Konzept der Vektoren entwickelt.

Thomas Rießinger

Kapitel 3. Gleichungen und Ungleichungen

Zusammenfassung

Mit Gleichungen hatten Sie sicher schon während Ihrer Schulzeit zu tun, und auch ich kann Sie damit nicht verschonen. Sie sind sowohl in der Mathematik als auch in den Anwendungen ein unverzichtbares Hilfsmittel, weil das Lösen einer Gleichung im wesentlichen darauf hinausläuft, Informationen ans Licht zu bringen, die irgendwo im Dunkeln verborgen sind. Oft weiß man etwas über die Beziehungen zwischen zwei oder mehreren verschiedenen Größen, aber niemand sagt einem die Werte der Größen selbst. Wenn man Glück hat, kann man die bekannten Beziehungen in einer oder mehreren Gleichungen formulieren, und wenn das Glück noch weiter geht, dann sind diese Gleichungen sogar mit vertretbarem Aufwand lösbar.

Thomas Rießinger

Kapitel 4. Folgen und Konvergenz

Zusammenfassung

Bisher haben wir uns mit mehr oder weniger elementaren Dingen beschäftigt, die Sie zu einem guten Teil wohl noch aus der Schule kannten. Jetzt werden wir damit beginnen, uns einige Grundlagen für die Differentialrechnung zu verschaffen. Die Differentialrechnung selbst, also das Umgehen mit Ableitungen, liegt noch in weiter Ferne, um genau zu sein im siebten Kapitel, aber man kann sich nun einmal nicht sinnvoll mit ihr befassen, ohne ein paar Vorkenntnisse zu haben. Deshalb besteht mein Ziel in diesem Kapitel darin, Sie mit einigen Kenntnissen über Grenzwerte zu versehen, die wir im späteren Verlauf des Buches brauchen werden.

Thomas Rießinger

Kapitel 5. Funktionen

Zusammenfassung

Sie erinnern sich daran, was wir unter einer Folge verstehen: jeder natürlichen Zahl n wird ein Folgenglied a _n zugeordnet. Am Beispiel des Schokolade essenden Kindes haben Sie auch gesehen, welche Art von Prozessen aus dem richtigen Leben man damit modellieren kann: wann immer in bestimmten Abständen Daten erhoben werden, kann man den jeweils gefundenen Wert mit einer Nummer versehen und zum n-ten Folgenglied erklären. Das heißt aber insbesondere, daß Sie alles, was zwischen zwei Erhebungszeitpunkten geschehen mag, großzügig ignorieren. Interessant sind an einer Folge nur die Werte mit der Nummer n und vielleicht noch n + 1, aber was sich zwischen den beiden Werten getan hat, sagt uns keiner.

Thomas Rießinger

Kapitel 6. Trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktion

Zusammenfassung

Seit einiger Zeit gibt es eine Art von Freizeitvergnügen, das angeblich einen besonderen Reiz und Nervenkitzel verspricht: das Bungee-Jumping. Man bindet sich ein Gummiseil an ein Bein, befestigt das Gummiseil an einem festen Punkt an einer Brücke und springt dann kopfüber von dieser Brücke hinein ins Nichts. Ich habe das noch nie ausprobiert und werde es auch niemals tun, aber man kann sich leicht vorstellen, was nach dem Sprung passiert. Da das Seil elastisch ist, wird der Kandidat, sobald er den tiefstmöglichen Punkt erreicht hat, wieder ein Stück nach oben gezogen, danach fällt er wieder nach unten, gerät wieder in eine Aufwärtsbewegung und pendelt auf diese Weise so langsam vor sich hin, bis irgendwann der Stillstand eintritt — es sei denn, das Seil war zu lang oder nicht stabil genug, aber diesen Fall will ich jetzt lieber nicht besprechen.

Thomas Rießinger

Kapitel 7. Differentialrechnung

Zusammenfassung

Von Mark Twain stammt der Ausspruch, Isaac Newton hätte nur dabei zugesehen, wie ein Apfel vom Baum fiel — eine reichlich alltägliche Erfahrung, aber seine Eltern waren einflußreiche Leute und machten eine große Sache daraus. Diese Charakterisierung von Newtons Gravitationstheorie hat Twain wohl nicht ernst gemeint, denn die Entwicklung der Newton’schen Physik, die man Ihnen noch heute in Ihren Physik-Vorlesungen nahezubringen versucht, war sicher eine der größten wissenschaftlichen Leistungen, die ein einzelner Mensch jemals zustande brachte.

Thomas Rießinger

Kapitel 8. Integralrechnung

Zusammenfassung

In München steht nicht nur das Hofbräuhaus, das keine besondere mathematische Bedeutung hat, sondern auch das Olympiastadion. Als es geplant und erbaut wurde, erregte es einiges Aufsehen durch seine mehr oder minder einzigartige Dachkonstruktion: eine Kollektion geschwungener Oberflächen, die zumindest versuchen, beim Zuschauer den Eindruck des freien Schwebens hervorzurufen. Es dürfte damals, Anfang der siebziger Jahre, allerdings nicht nur Diskussionen über die ungewöhnliche Form eines Stadiondaches gegeben haben, sondern auch über die enormen Kosten, und das ist der Punkt, auf den ich hinaus will. So eine Konstruktion verschlingt, von allen technischen Schwierigkeiten einmal abgesehen, eine Menge an Material, und es wäre hilfreich, zumindest eine Schätzung des Materialverbrauchs zur Hand zu haben, damit man nicht am Ende böse Überraschungen erlebt und das Geld nicht reicht, um das Dach fertig zu bauen.

Thomas Rießinger

Kapitel 9. Reihen und Taylorreihen

Zusammenfassung

Im Zusammenhang mit dem Newton-Verfahren ist die Frage aufgetreten, wie wohl ein Taschenrechner Quadratwurzeln ausrechnet. Wir hatten uns damals auf das Newton-Verfahren geeinigt, denn jeder Rechner ist imstande, die Grundrechenarten auszuführen, und zur Berechnung von Wurzeln benötigt das Newton-Verfahren nichts Schlimmeres als die üblichen Rechenoperationen.

Thomas Rießinger

Kapitel 10. Komplexe Zahlen

Zusammenfassung

Im dritten Kapitel sind wir auf eine ganz merkwürdige Art von Zahlen gestoßen, die ich seither konsequent gemieden habe: die komplexen Zahlen. Beim Hantieren mit quadratischen oder gar kubischen Gleichungen ergab sich nämlich das Problem, daß gelegentlich Quadratwurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen sind, und so etwas lassen reelle Zahlen nicht mit sich machen. Ich habe deshalb die imaginäre Einheit i eingeführt, deren Quadrat genau -1 ergibt.

Thomas Rießinger

Kapitel 11. Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Sie haben sich vielleicht auch schon einmal gefragt, warum manche Menschen vom Glück verfolgt werden, während andere ein Leben lang auf keinen grünen Zweig kommen. Vor einigen Jahren gab es beispielsweise den Fall eines Lehrerehepaares, das innerhalb kurzer Zeit zweimal hintereinander sechs Richtige im Lotto hatte und seither finanziell wohl recht gut dastehen dürfte. Das ist ein besonders krasser Fall, denn erstens waren beide brauchbar bezahlte Beamte auf Lebenszeit, die sich vermutlich ihre Urlaubsreisen und ihre zwei Autos auch ohne Lottogewinn problemlos leisten konnten, und zweitens hätten es ja nun nicht gerade zwei Volltreffer hintereinander sein müssen. Manchmal hat man den Eindruck, daß eine Art von Prinzip dahintersteckt, für das ich sogar ein Bibelzitat vorweisen kann. Im Matthäus-Evangelium heißt es nämlich in Kapitel 13, Vers 12: „Denn wer da hat, dem wird gegeben, daß er die Fülle habe; wer aber nicht hat, von dem wird auch genommen, was er hat.“

Thomas Rießinger

Kapitel 12. Matrizen und Determinanten

Zusammenfassung

Leider war ich noch nie auf Hawaii, obwohl es ein angenehmer Ort ist, um dem deutschen Winter zu entfliehen. Es hat zwar eigentlich ein tropisches Klima, aber der stetige Passatwind, durch den Pazifik gekühlt, führt beispielsweise im Januar zu mittleren Temperaturen von etwa 22 Grad, während der Durchschnitt im August bei ungefähr 26 Grad liegt. Sie können sich leicht vorstellen, wie verführerisch der Gedanke ist, den Tag weitgehend am Strand zu verbringen, gelegentlich einen Abstecher ins Inselinnere zu machen und dann wieder an die Küste zurückzukehren und die Surfer zu beobachten.

Thomas Rießinger

Kapitel 13. Mehrdimensionale Differentialrechnung

Zusammenfassung

Sicher haben Sie schon hin und wieder Coca Cola getrunken, und manche Leute sollen sich sogar im wesentlichen von Cola und Kartoffelchips ernähren. Mittlerweile gibt es nicht nur das klassische Coca Cola, sondern eine Vielzahl von Abwandlungen, von den verschiedensten Firmen hergestellt und recht unterschiedlich in Preis und Geschmack. Das eigentlich Erstaunliche dabei ist, daß das genaue Rezept der klassischen Version bis heute ein von den Herstellern eifersüchtig gehütetes Geheimnis ist; niemand außer einer kleinen Zahl von Eingeweihten kennt die genaue Zusammensetzung und die korrekte Vorgehensweise.

Thomas Rießinger

Kapitel 14. Mehrdimensionale Integralrechnung

Zusammenfassung

Es gab eine Zeit, in der ARD und ZDF vollständig die Fernsehlandschaft beherrschten, weil es noch keine privaten Fernsehsender gab und Konkurrenzlosigkeit das Herrschen leicht macht. Seit nicht mehr nur zwei, sondern Dutzende von Sendern die Bildschirme bevölkern, müssen alle Beteiligten der Aufmerksamkeit des Zuschauers hinterherlaufen und ihn dazu bewegen, ihre Einschaltquoten aufzubessern. ARD und ZDF haben es zum Beispiel eine ganze Weile mit dem einprägsamen Satz „Bei ARD und ZDF sitzen Sie in der ersten Reihe“ versucht, aber böse Zungen meinten, in der ersten Reihe würde man dort nur sitzen, um bei den vielen Wiederholungen schnell und unauffällig verschwinden zu können, und vielleicht wurde deshalb diese Werbekampagne irgendwann eingestellt.

Thomas Rießinger

Backmatter