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Über dieses Buch

Dieses kompakte Mathematikbuch überzeugt durch das didaktische Konzept und durch sein ansprechendes, in der 7. Auflage verbessertes Layout. Das einbändig vorliegende Werk umfasst den Mathematikstoff für technisch orientierte Bachelor-Studiengänge. Abstrakte mathematische Begriffe werden anschaulich erklärt, auf Beweise wird größtenteils verzichtet. 380 ausführlich durchgerechnete Beispiele auch aus technischen Anwendungsgebieten helfen den Studierenden, sich die Mathematik einprägsam zu erschließen.

Auf der Homepage zum Buch befinden sich zahlreiche Animationen zur Visualisierung der mathematischen Begriffe, die Lösungen zu den Übungsaufgaben sowie MAPLE-Arbeitsblätter, mit denen der Stoff interaktiv eingeübt werden kann. Die elektronischen Arbeitsblätter wurden an MAPLE 18 angepasst. Das Buch eignet sich hervorragend für das Selbststudium sowie zur erfolgreichen Prüfungsvorbereitung.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Zusammenfassung
Zahlen und Mengen gehören zu den wichtigsten Grundbegriffen der Mathematik, auf denen alle weiteren Gebilde und Konstruktionen aufbauen. In diesem Kapitel werden die Grundlagen sowohl über Mengen als auch über die natürlichen Zahlen gelegt. Zur Beschreibung der natürlichen Zahlen werden die Peanoschen Axiome eingeführt und das Prinzip der vollständigen Induktion an vielen Beispielen demonstriert.
Thomas Westermann

Kapitel 2. Vektoren und Vektorrechnung

Zusammenfassung
Vektoren sind ein unentbehrliches Hilfsmittel bei der Beschreibung physikalischer Größen. Während die Temperatur eines Körpers, die Dichte eines homogenen Mediums, der Ohmsche Widerstand eines elektrischen Elementes durch eine reelle Zahl (zusammen mit einer Einheit) charakterisiert werden, ist dies z.B. bei den folgenden physikalischen Größen nicht möglich.
Thomas Westermann

Kapitel 3. Matrizen und Determinanten

Zusammenfassung
Durch die Konstruktion der Koeffizientenmatrix in Kapitel 1 werden lineare Gleichungssysteme sehr kompakt beschrieben. In diesem Kapitel werden wir den Begriff der Matrix und der den quadratischen Matrizen zugeordneten Determinanten nicht nur als abkürzende Bezeichnungen kennen lernen, sondern mit ihnen Rechenoperationen durchführen, die wir dann beim Lösen von linearen Gleichungssystemen einsetzen. Beim Anwendungsbeispiel der gekoppelten Pendel werden wir aufzeigen, dass man mit der mathematischen Beschreibung durch die Systemmatrix und der Berechnung der zugehörigen Determinate die Eigenfrequenzen des Systems bestimmt.
Thomas Westermann

Kapitel 4. Elementare Funktionen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden elementare Funktionen, die u.a. zur Beschreibung von physikalischen Vorgängen notwendig sind, angegeben und allgemeine Funktionseigenschaften zur Charakterisierung dieser Funktionen bereitgestellt. Neben den Polynomen werden die gebrochenrationalen Funktionen qualitativ diskutiert. Potenz- und Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktion werden im Zusammenhang mit wichtigen Anwendungen eingeführt.
Thomas Westermann

Kapitel 5. Komplexe Zahlen

Zusammenfassung
Die komplexen Zahlen stellen bei der Beschreibung von elektrischen Wechselstromschaltungen ein unverzichtbares Hilfsmittel dar. Fast jedes Lehrbuch über die Beschreibung von elektrischen Schaltkreisen hat als einleitendes Kapitel eine Einführung in die komplexen Zahlen. Einer der Gründe liegt darin, dass einfache Regeln von Gleichstrom-Netzwerken sich auf Wechselstrom-Schaltungen übertragen, wenn man komplexe Widerstände einführt.
Thomas Westermann

Kapitel 6. Grenzwert und Stetigkeit

Zusammenfassung
Grundlegend für das gesamte Kapitel sind Grenzwerte von Zahlenfolgen. Auf dieser Grundlage baut die Konstruktion des Funktionsgrenzwertes auf, der wiederum für den Begriff der Stetigkeit benötigt wird. Etwas lax formuliert sind die stetigen Funktionen die Funktionen, die bei einem zusammenhängenden Definitionsbereich keine Sprungstelle aufweisen, d.h. ohne Unterbrechung gezeichnet werden können.
Thomas Westermann

Kapitel 7. Differenzialrechnung

Zusammenfassung
Eine der wichtigsten Aufgaben in der angewandten Mathematik ist die Berechnung der Ableitung einer Funktion. Viele physikalische Gesetzmäßigkeiten lassen sich nur über die Differenziation einer physikalischen Größe beschreiben. Ist beispielsweise bei einem Bewegungsvorgang das Weg-Zeit-Gesetz s(t) gegeben, dann ist die Geschwindigkeit v(t) die Ableitung des Weg-Zeit-Gesetzes nach der Zeit t.
Thomas Westermann

Kapitel 8. Integralrechnung

Zusammenfassung
Der Integralbegriff ist wie der Ableitungsbegriff motiviert durch die physikalische Beschreibung von Bewegungsabläufen (Geschwindigkeit, Beschleunigung). Er ist u.a. auch von Bedeutung bei der Berechnung von Flächen, Volumeninhalten von Körpern, Schwerpunktsberechnungen usw.
Thomas Westermann

Kapitel 9. Funktionenreihen

Zusammenfassung
Die wichtigsten, in den Anwendungen auftretenden Funktionen lassen sich als Potenzreihen der Form \( \Sigma _{n = 0}^{{\infty }} \) \( a_{n} \)\( \left( {x - x_{0} } \right)^{n} \), den sog. Taylor-Reihen darstellen. Diese Entwicklung liefert eine Möglichkeit, um Funktionen wie z.B. ex, sin x, tan x, \( \sqrt x \), ln x oder arctan x explizit zu berechnen, indem nur die Grundrechenoperationen + − ∗/ angewendet werden. Darüber hinaus ist es für die Anwendungen wichtig, dass für gegebenenfalls komplizierte Funktionen Näherungsformeln zur Verfügung stehen.
Thomas Westermann

Kapitel 10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Zusammenfassung
Das Kapitel über die Funktionen von mehreren Variablen besteht aus vier Abschnitten. In 10.1 werden die Funktionen mit mehreren Variablen eingeführt und die graphische Darstellung von Funktionen mit zwei Variablen angegeben. Der Begriff der Stetigkeit wird in 10.2 verallgemeinert.
Thomas Westermann

Kapitel 11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird der Begriff des bestimmten Integrals auf Doppel-, Dreifach- und Kurvenintegrale sowie auf Oberflächenintegrale erweitert. Bei jedem dieser Begriffe wird die Berechnung des Integralwertes auf die eines bestimmten Integrals zurück gespielt. Zunächst führen wir in 11.1 Doppelintegrale z.B. zur Beschreibung von Volumina, Schwerpunkten von ebenen Flächen und Flächenmomenten ein.
Thomas Westermann

Kapitel 12. Linien- bzw. Kurvenintegrale

Zusammenfassung
Die Bestimmung der Arbeit in einem Kraftfeld oder die der elektrischen Spannung in einem elektrischen Feld erfordert oftmals die Berechnung eines Integrals entlang einer ebenen oder räumlichen Kurve. Dies führt auf einen neuen Integralbegriff, dem sog. Linienintegral. Dabei stoßen wir auf das Problem, dass der Wert eines Linienintegrals in der Regel wegabhängig ist. Für den Fall, dass ein Gradientenfeld integriert wird, ist der Wert aber wegunabhängig.
Thomas Westermann

Kapitel 13. Gewöhnliche Differenzialgleichungen

Zusammenfassung
Differenzialgleichungen sind für die Natur- und Ingenieurswissenschaften unentbehrlich, da durch sie viele Naturgesetze ausgedrückt werden. Differenzialgleichungen sind das Ergebnis einer mathematisch-physikalischen Modellierung, welche die auftretenden Phänomene möglichst gut beschreibt.
Thomas Westermann

Kapitel 14. Laplace-Transformation

Zusammenfassung
Eine elegante Methode zur Lösung von Differenzialgleichungen macht Gebrauch von der Laplace-Transformation. Das sog. Laplace-Integral eignet sich besonders zur Behandlung von Differenzialgleichungen und Differenzialgleichungssystemen mit Anfangsbedingungen. Die mathematische Formulierung der Laplace-Transformierten einer Zeitfunktion f (t) lautet
Thomas Westermann

Kapitel 15. Fourier-Reihen

Zusammenfassung
Bei der Analyse periodischer Signale benötigt man die Darstellung des Signals in Form einer Fourier-Reihe.
Thomas Westermann

Kapitel 16. Fourier-Transformation

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird mit der Fourier-Transformation untersucht, welche Frequenzen mit welchen Amplituden in einem nichtperiodischen Zeitsignal f(t) enthalten sind. Man nennt dieses Vorgehen, wie bei den Fourier-Reihen, die Frequenzanalyse des Zeitsignals f.
Thomas Westermann

Kapitel 17. Partielle Differenzialgleichungen

Zusammenfassung
Viele wichtige Probleme der angewandten Mathematik und Physik führen zu partiellen Differenzialgleichungen (PDG): zu Gleichungen, die Beziehungen zwischen einer oder mehreren Funktionen mehrerer Variablen und ihren partiellen Ableitungen herstellen.
Thomas Westermann

Backmatter

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