Mathematik für Ingenieure

1. Zahlenbereiche

Zusammenfassung

Mengen sind die zentrale Grundlage der Mathematik. Insbesondere Zahlenmengen spielen eine bedeutende Rolle. Ausgehend von den natürlichen Zahlen wird der Zahlenraum über die ganzen und rationalen Zahlen hin zu den reellen Zahlen, mit denen man üblicherweise in der Mathematik arbeitet, erweitert. Bei manchen Problemen benötigt man nochmals eine Erweiterung der Zahlenmenge zu den komplexen Zahlen.

Klaus Dürrschnabel

2. Funktionen

Zusammenfassung

Funktionen sind die Grundlage der Analysis schlechthin. Reale Vorgänge im Alltag und in der Technik müssen beschrieben und modelliert werden. In diesem Kapitel werden Funktionen als zweckmäßige Beschreibung dieser Vorgänge eingeführt und die wichtigsten Eigenschaften, die Funktionen haben können, vorgestellt.

Klaus Dürrschnabel

3. Elementare Funktionen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die elementaren Funktionen behandelt, mit denen man im Allgemeinen in Technik, Wirtschaft und Alltag arbeitet. Neben der Definition werden die wichtigsten Eigenschaften dieser Funktionen sowie einige Einsatzbeispiele vorgestellt.

Klaus Dürrschnabel

4. Lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung

In praktischen Anwendungen muss man des Öfteren diverse Unbekannte aus mehreren Gleichungen bestimmen. Besonders häufig kommen hier Probleme vor, bei welchen lediglich gewisse Vielfache der Unbekannten addiert werden, sog. ” lineare Gleichungssysteme“. Derartige Gleichungssysteme erlauben ein systematisches Vorgehen zur Bestimmung der Lösung, welches in diesem Kapitel anhand diverser Beispiele vorgestellt wird.

Klaus Dürrschnabel

5. Vektorrechnung

Zusammenfassung

Vektoren sind in der Anschauungsgeometrie, aber auch in abstrakten Zusammenh ängen von großer Bedeutung. In diesem Kapitel werden ausgehend von der anschaulichen Geometrie die zentralen Eigenschaften von Vektoren abgeleitet und auf andere Konstrukte übertragen. Daraus resultiert der Begriff des Vektorraums mit seinen vielfältigen Anwendungen.

Klaus Dürrschnabel

6. Produkte von Vektoren

Zusammenfassung

Mithilfe von Vektoren kann man diverse Produkte bilden, die geometrisch motiviert und einsetzbar sind. In diesem Kapitel werden namentlich das Skalarprodukt, das Vektorprodukt und das Spatprodukt behandelt, wobei auch geometrische und physikalische Anwendungen zur Sprache kommen.

Klaus Dürrschnabel

7. Analytische Geometrie

Zusammenfassung

Viele Objekte sind durch Geraden- und Ebenenstücke begrenzt. Von daher stellt sich die Frage, wie man diese Gebilde mathematisch beschreibt. Vektoren bilden hier eine große Hilfestellung, zumal man Abstände und Winkel zwischen Geraden und Ebenen mithilfe von Vektoren berechnen kann. Auch Kreise und Ebenen lassen sich mit Vektoren beschreiben.

Klaus Dürrschnabel

8. Matrizen

Zusammenfassung

Matrizen, das sind im Wesentlichen Tabellen, sind zB. hilfreich zur Beschreibung von Koordinatentransformationen und Abbildungen. Von daher ist es sinnig, sich zunächst einmal damit zu beschäftigen, welche Operationen es für Matrizen gibt. Zudem kann man quadratischen Matrizen eine Maßzahl, die sog. Determinante zuordnen, die in vielen Zusammenh ängen hilfreich ist.

Klaus Dürrschnabel

9. Eigenwerte

Zusammenfassung

Eigenwerte sind Maßzahlen für quadratische Matrizen, die bei vielen Problemstellungen richtungsweisende Erkenntnisse liefern. Die zugehörigen Eigenvektoren liefern Informationen über den geometrischen Sachverhalt. Wo Eigenwerte eine Rolle spielen und wie man diese effektiv berechnet, ist Inhalt dieses Kapitels.

Klaus Dürrschnabel

10. Grenzwerte

Zusammenfassung

Die Stetigkeit von Funktionen ist ein zentraler Begriff zur Vorbereitung der Differenzialrechnung. Für die Definition der Stetigkeit benötigt man den Grenzwertbegriff bei Funktionen, der wiederum über Grenzwerte von Folgen erklärt wird. Aus diesem Grund werden wir uns zunächst mit Folgen beschäftigen, dann mit Grenzwerten von Folgen, um mit diesen dann Grenzwerte von Funktionen und letztendlich die Stetigkeit zu definieren.

Klaus Dürrschnabel

11. Differenzialrechnung

Zusammenfassung

Wir kommen nochmals auf den Begriff der affinen Funktion zur ück, welcher bereits in Abschnitt 3.2 diskutiert wurde.

Klaus Dürrschnabel

12. Anwendungen der Differenzialrechnung

Zusammenfassung

Es ist einsichtig, dass eine streng monoton wachsende, differenzierbare Funktion bis auf evtl. isolierte Ausnahmestellen überall positive Steigungen und damit eine überall positive Ableitungsfunktion besitzt.

Klaus Dürrschnabel

13. Unbestimmtes Integral

Zusammenfassung

Es gibt Situationen, in welchen man den Vorgang der Differenziation umkehren muss.

Klaus Dürrschnabel

14. Bestimmtes Integral

Zusammenfassung

Wir beginnen diesen Abschnitt wieder mit Beispielen, um exemplarisch zu demonstrieren, wo die neu zu entwickelnde Theorie nützlich ist.

Klaus Dürrschnabel

15. Numerische Integration

Zusammenfassung

Es gibt Problemstellungen, bei welchen es unmöglich ist, bestimmte Integrale mithilfe des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung zu berechnen. Dies ist zum einen dann der Fall, wenn wir keine exakte Funktionsvorschrift des Integranden haben. Bei wissenschaftlichen Experimenten werden häufig Kurvenverläufe aufgezeichnet, über die dann in einem bestimmten Intervall das Integral zu berechnen ist.

Klaus Dürrschnabel

16. Anwendungen der Integralrechnung

Zusammenfassung

Wie wir schon in Kapitel 14 festgestellt haben, ist es mithilfe der Integralrechnung möglich, Flächeninhalte zu berechnen. Dabei spielt es keine Rolle, ob es sich um eine echte Flächenberechnung oder um eine physikalische Anwendung handelt wie z. B. dieWegberechnung aus einem Geschwindigkeitsverlauf, was sich auf die Bestimmung des Flächeninhalts unter der Geschwindigkeitskurve zur ückf ühren lässt. Wir wollen diesen Anwendungsbereich nochmals mit zwei Beispielen vertiefen. Wir beginnen mit einer Flächenberechnung zwischen zwei durch Funktionen gegebene Kurven.

Klaus Dürrschnabel

17. Reihen

Zusammenfassung

Wir beginnen gleich mit einem einleitenden Beispiel, welches den Begriff einer Reihe verdeutlicht.

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18. Potenzreihen

Zusammenfassung

Wie üblich beginnen wir diesen Abschnitt mit einem Beispiel, welches darlegt, warum wir uns überhaupt mit Potenzreihen beschäftigen.

Klaus Dürrschnabel

19. Fourier-Reihen und Fourier-Transformation

Zusammenfassung

Es gibt periodische Vorgänge, die sich nicht durch eine klassische trigonometrische Funktion ausdr ücken lassen. Schon in den üblichenWechselstromgeneratoren werden meistens keine reine sinusf örmige Spannungen erzeugt. Transformatoren und Eisenkerne verzerren die erwartete Sinusspannung. Aber es gibt auch Beispiele, bei welchen der entstehende Vorgang weit weg vom Verhalten einer trigonometrischen Funktion ist.

Klaus Dürrschnabel

20. Differenzialrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher

Zusammenfassung

Bisher haben wir uns immer mit Funktionen in Abhängigkeit von einer Variablen beschäftigt, also mit Funktionen der Art

Klaus Dürrschnabel

21. Extrema bei Funktionen mehrerer Veränderlicher

Zusammenfassung

Wie im Eindimensionalen ist man auch bei Funktionen mehrerer Veränderlicher oft daran interessiert, die Extrema zu bestimmen. Die lokalen Extrema lassen sich bei Funktionen von einer Veränderlichen mithilfe der Differenzialrechnung berechnen. Man sucht die Nullstellen der ersten Ableitung und pr üft dann, ob die zweiten Ableitungen an diesen stationären Stellen positiv oder negativ sind. Wir fragen uns, ob sich dieses Vorgehen auf Funktionen mehrerer Veränderlicher übertragen lässt.

Klaus Dürrschnabel

22. Bereichsintegrale

Zusammenfassung

Ebenso, wie wir Flächeninhalte mit der Integration über Funktionen einer Veränderlichen berechnen konnten, ist es möglich, im Raum Volumina mit einer erweiterten Variante der Integralrechnung zu bestimmen. Bevor wir jedoch zur Behandlung dieser Volumenberechnung kommen, wollen wir uns in Erinnerung rufen, wie wir in Kapitel 14 das bestimmte Integral über eine Funktion in Abhängigkeit von einer Veränderlichen eingef ührt hatten.

Klaus Dürrschnabel

23. Allgemeine Kurven

Zusammenfassung

Kurven hatten wir bisher lediglich als Graphen von Funktionen in Abhängigkeit von einer Variablen betrachtet.

Klaus Dürrschnabel

24. Gewöhnliche Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

In der Praxis treten des öfteren Gleichungen auf, welche eine Funktion sowie deren Ableitungen beinhalten.

Klaus Dürrschnabel