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2015 | Buch

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Mathematik für Ingenieure

Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch

verfasst von: Thomas Westermann

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : Springer-Lehrbuch

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses kompakte Mathematikbuch überzeugt durch das didaktische Konzept und durch sein ansprechendes, in der 7. Auflage verbessertes Layout. Das einbändig vorliegende Werk umfasst den Mathematikstoff für technisch orientierte Bachelor-Studiengänge. Abstrakte mathematische Begriffe werden anschaulich erklärt, auf Beweise wird größtenteils verzichtet. 380 ausführlich durchgerechnete Beispiele auch aus technischen Anwendungsgebieten helfen den Studierenden, sich die Mathematik einprägsam zu erschließen.

Auf der Homepage zum Buch befinden sich zahlreiche Animationen zur Visualisierung der mathematischen Begriffe, die Lösungen zu den Übungsaufgaben sowie MAPLE-Arbeitsblätter, mit denen der Stoff interaktiv eingeübt werden kann. Die elektronischen Arbeitsblätter wurden an MAPLE 18 angepasst. Das Buch eignet sich hervorragend für das Selbststudium sowie zur erfolgreichen Prüfungsvorbereitung.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Zahlen und Mengen gehören zu den wichtigsten Grundbegriffen der Mathematik, auf denen alle weiteren Gebilde und Konstruktionen aufbauen. In diesem Kapitel werden die Grundlagen sowohl über Mengen als auch über die natürlichen Zahlen gelegt. Zur Beschreibung der natürlichen Zahlen werden die Peanoschen Axiome eingeführt und das Prinzip der vollständigen Induktion an vielen Beispielen demonstriert. Die reellen Zahlen und elementaren Rechengesetze werden angegeben; die Grundgesetze zu den Potenzen und Logarithmen werden wiederholt.

Zu den elementaren Aufgaben der Mathematik gehört das Lösen von Gleichungen. In diesem Kapitel werden auch einfache Gleichungen sowie die für die Anwendungen wichtigen linearen Gleichungssysteme behandelt und der Gauß-Algorithmus eingeführt. Da nur wenige Typen von Gleichungen explizit lösbar sind, werden wir nicht systematisch auf das Lösen von Gleichungen eingehen, sondern exemplarisch zeigen, wie man grundlegende Gleichungen bearbeitet.

Hinweis: Auf der Homepage befindet sich ein zusätzlicher Abschnitt über elementare mathematische Beweismethoden.

Thomas Westermann

2. Vektoren und Vektorrechnung

Zusammenfassung

Vektoren sind ein unentbehrliches Hilfsmittel bei der Beschreibung physikalischer Größen. Während die Temperatur eines Körpers, die Dichte eines homogenen Mediums, der Ohmsche Widerstand eines elektrischen Elementes durch eine reelle Zahl (zusammen mit einer Einheit) charakterisiert werden, ist dies z.B. bei den folgenden physikalischen Größen nicht möglich:

Die Geschwindigkeit eines Massenpunktes im Raum ist festgelegt durch die Größe der Geschwindigkeit und deren Richtung. Die Kraft, die an einem Massenpunkt angreift, wird beschrieben durch die Länge der Kraft und der Richtung, unter welcher die Kraft angreift. Immer wenn in Physik und Technik Größen auftreten, die sich die durch Maßzahl (Länge) und Richtung beschreiben lassen, spricht man von Vektoren.

Thomas Westermann

3. Matrizen und Determinanten

Zusammenfassung

Durch die Konstruktion der Koeffizientenmatrix in Kapitel 1 werden lineare Gleichungssysteme sehr kompakt beschrieben. In diesem Kapitel werden wir den Begriff der Matrix und der den quadratischen Matrizen zugeordneten Determinanten nicht nur als abkürzende Bezeichnungen kennen lernen, sondern mit ihnen Rechenoperationen durchführen, die wir dann beim Lösen von linearen Gleichungssystemen einsetzen. Beim Anwendungsbeispiel der gekoppelten Pendel werden wir aufzeigen, dass man mit der mathematischen Beschreibung durch die Systemmatrix und der Berechnung der zugehörigen Determinate die Eigenfrequenzen des Systems bestimmt.

Thomas Westermann

4. Elementare Funktionen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden elementare Funktionen, die u.a. zur Beschreibung von physikalischen Vorgängen notwendig sind, angegeben und allgemeine Funktionseigenschaften zur Charakterisierung dieser Funktionen bereitgestellt. Neben den Polynomen werden die gebrochenrationalen Funktionen qualitativ diskutiert. Potenz- und Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktion werden im Zusammenhang mit wichtigen Anwendungen eingeführt. Zur Beschreibung von Wechselspannungen bzw. harmonischen Schwingungen werden die trigonometrischen Funktionen mit den zugehörigen Umkehrfunktionen eingeführt.

Thomas Westermann

5. Komplexe Zahlen

Zusammenfassung

Die komplexen Zahlen stellen bei der Beschreibung von elektrischen Wechselstromschaltungen ein unverzichtbares Hilfsmittel dar. Fast jedes Lehrbuch über die Beschreibung von elektrischen Schaltkreisen hat als einleitendes Kapitel eine Einführung in die komplexen Zahlen. Einer der Gründe liegt darin, dass einfache Regeln von Gleichstrom-Netzwerken sich auf Wechselstrom-Schaltungen übertragen, wenn man komplexe Widerstände einf ührt.

Hinweis: Auf der Homepage befindet sich ein zusätzlicher Abschnitt über die Anwendung der komplexen Zahlen bei der Beschreibung von RCL-Filterschaltungen.

Thomas Westermann

6. Grenzwert und Stetigkeit

Zusammenfassung

Grundlegend für das gesamte Kapitel sind Grenzwerte von Zahlenfolgen. Auf dieser Grundlage baut die Konstruktion des Funktionsgrenzwertes auf, der wiederum für den Begriff der Stetigkeit benötigt wird. Etwas lax formuliert sind die stetigen Funktionen die Funktionen, die bei einem zusammenhängenden Definitionsbereich keine Sprungstelle aufweisen, d.h. ohne Unterbrechung gezeichnet werden können. Für diese stetigen Funktionen werden wir das Bisektionsverfahren einführen, um numerisch die Nullstellen dieser Funktionen zu bestimmen.

Thomas Westermann

7. Differenzialrechnung

Zusammenfassung

Eine der wichtigsten Aufgaben in der angewandten Mathematik ist die Berechnung der Ableitung einer Funktion. Viele physikalische Gesetzmäßigkeiten lassen sich nur über die Differenziation einer physikalischen Größe beschreiben. Ist beispielsweise bei einem Bewegungsvorgang das Weg-Zeit-Gesetz s(t) gegeben, dann ist die Geschwindigkeit v(t) die Ableitung des Weg-Zeit-Gesetzes nach der Zeit t. Die konkrete Bestimmung der Geschwindigkeit setzt rechentechnisch voraus, dass man die Funktion s(t) ableiten kann.

Immer dann, wenn sich physikalische Größen mit der Zeit nichtlinear ändern, benötigt man zur Beschreibung dieser Änderung die Ableitung. Aber auch die Fehlerrechnung, die Bestimmung der Extremwerte einer Funktion bzw. die Optimierungsaufgaben führen auf das Problem der Ableitung einer Funktion. Der Ableitungsbegriff ist also motiviert durch die physikalische Beschreibung von Bewegungsabläufen (Geschwindigkeit, Beschleunigung) und durch die mathematische Beschreibung von Kurven (Tangente, Kurvendiskussion).

Hinweis: Auf der Homepage befindet sich ein zusätzliches Kapitel über das numerische Differenzieren und Methoden beim numerischen Differenzieren.

Thomas Westermann

8. Integralrechnung

Zusammenfassung

Der Integralbegriff ist wie der Ableitungsbegriff motiviert durch die physikalische Beschreibung von Bewegungsabläufen (Geschwindigkeit, Beschleunigung). Er ist u.a. auch von Bedeutung bei der Berechnung von Flächen, Volumeninhalten von Körpern, Schwerpunktsberechnungen usw.

Hinweis: Auf der Homepage befindet sich ein zusätzliches Kapitel über das numerische Integrieren sowie einige weitere Anwendungen der Integralrechnung wie z.B. die Mittelungseigenschaft, die Bogenlänge und das Krümmungsverhalten sowie die Berechnung von Rotationskörpern.

Thomas Westermann

9. Funktionenreihen

Zusammenfassung

Die wichtigsten, in den Anwendungen auftretenden Funktionen lassen sich als Potenzreihen der Form

$$ \sum\nolimits_{n=0}^\infty a_n\ (x-x_0)^n , $$

den sog. Taylor-Reihen darstellen. Diese Entwicklung liefert eine Möglichkeit, um Funktionen wie z.B. $ \mathrm e^x, \sin x, \tan x, \sqrt x, \ln x $ oder $ \arctan x $ explizit zu berechnen, indem nur die Grundrechenoperationen + − ∗/ angewendet werden. Darüber hinaus ist es für die Anwendungen wichtig, dass für gegebenenfalls komplizierte Funktionen Näherungsformeln zur Verfügung stehen.

Thomas Westermann

10. Differenzialrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Zusammenfassung

Das Kapitel über die Funktionen von mehreren Variablen besteht aus vier Abschnitten. In 10.1 werden die Funktionen mit mehreren Variablen eingeführt und die graphische Darstellung von Funktionen mit zwei Variablen angegeben. Der Begriff der Stetigkeit wird in 10.2 verallgemeinert. Der mathematisch wichtigste Abschnitt ist 10.3, der die Differenzialrechnung zur Charakterisierung und Beschreibung dieser Funktionen behandelt. Die Konstruktion der Ableitung wird verallgemeinert und neue Begriffe wie die partielle Ableitung, die totale Differenzierbarkeit, der Gradient und die Richtungsableitung eingef ührt. Der Taylorsche Satz liefert den Übergang zu den Anwendungen in 10.4, bei denen die Diskussion der Fehlerrechnung, lokale Extremwertbestimmungen und die Ausgleichsrechnung im Vordergrund stehen.

Hinweis: Auf der Homepage befinden sich zusätzliche Abschnitte über Kettenregeln und Koordinatentransformationen.

Thomas Westermann

11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird der Begriff des bestimmten Integrals auf Doppel-, Dreifach- und Kurvenintegrale sowie auf Oberflächenintegrale erweitert. Bei jedem dieser Begriffe wird die Berechnung des Integralwertes auf die eines bestimmten Integrals zurück gespielt. Zunächst führen wir in 11.1 Doppelintegrale z.B. zur Beschreibung von Volumina, Schwerpunkten von ebenen Flächen und Flächenmomenten ein. Anschließend übertragen wir in 11.2 die Vorgehensweise auf Dreifachintegrale, um Schwerpunkte und Massenträgheitsmomente von Körpern zu berechnen.

Hinweis: Eine weitere Notwendigkeit, den Integralbegriff auf Funktionen mit mehreren Variablen zu erweitern, besteht in der Integration entlang einer Linie. Dies führt auf den Begriff der Linienintegrale, die in der Elektrodynamik und Thermodynamik zur Berechnung der Energie herangezogen werden. Neben den Linienintegralen werden in einem weiteren Web-Abschnitt Oberflächenintegrale diskutiert. Die hierzu notwendigen Substitutionsregeln und Koordinatentransformationen werden ebenfalls auf der Homepage zur Verfügung gestellt.

Thomas Westermann

12. Gewöhnliche Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

Differenzialgleichungen sind für die Natur- und Ingenieurswissenschaften unentbehrlich, da durch sie viele Naturgesetze ausgedrückt werden. Differenzialgleichungen sind das Ergebnis einer mathematisch-physikalischen Modellierung, welche die auftretenden Phänomene möglichst gut beschreibt. Aber nicht nur das Lösen von Differenzialgleichungen innerhalb der Mathematik ist für den Ingenieur wichtig, sondern gerade auch das Aufstellen dieser Modellgleichungen. Daher werden wir in jedem Abschnitt zunächst für anwendungsrelevante Beispiele die Herleitung von Differenzialgleichungen beschreiben und anschließend auf das systematische Lösen der unterschiedlichen Typen von Differenzialgleichungen eingehen.

Thomas Westermann

13. Laplace-Transformation

Zusammenfassung

Eine elegante Methode zur Lösung von Differenzialgleichungen macht Gebrauch von der Laplace-Transformation. Das sog. Laplace-Integral eignet sich besonders zur Behandlung von Differenzialgleichungen und Differenzialgleichungssystemen mit Anfangsbedingungen. Die mathematische Formulierung der Laplace-Transformierten einer Zeitfunktion f (t) lautet

$ \mathcal{L} (f(t))=F(s)=\int\limits_{0}^\infty f(t) e^{-st} dt $.

Dabei wird der Zeitfunktion f (t) eine Bildfunktion F (s) zugeordnet, so dass man bei der Laplace-Transformation auch von einer Funktionaltransformation spricht.

Hinweis: Auf der Homepage befindet sich ein zusätzlicher Abschnitt über Eigenschaften der Laplace-Transformation, das Berechnen der Laplace-Transformation sowie der inversen Transformation und zahlreiche weitere Anwendungsbeispiele.

Thomas Westermann

14. Fourier-Reihen

Zusammenfassung

Bei der Analyse periodischer Signale benötigt man die Darstellung des Signals in Form einer Fourier-Reihe

$ f(t)=a_0 + \sum_{n=1} ^\infty a_n \cos (\omega_n t)+\sum_{n=1} ^\infty b_n \sin (\omega_n t) $.

Denn durch eine solche Zerlegung des Signals in seine harmonischen Bestandteile geht hervor, welche Frequenzen mit welchen Amplituden im Signal enthalten sind.

Nach einer Einführung werden wir in 14.2 die Formeln für die Fourier-Reihe und die Fourier-Koeffizienten 2π-periodischer Funktionen aufstellen und in 14.3 auf Beispiele anwenden. In 14.4 übertragen wir die Formeln auf p-periodische Funktionen und in 14.5 gehen wir zur komplexen Formulierung über. Diese Formulierung stellt dann den Übergang zur Fourier-Transformation dar.

Thomas Westermann

15. Fourier-Transformation

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird mit der Fourier-Transformation untersucht, welche Frequenzen mit welchen Amplituden in einem nichtperiodischen Zeitsignal f(t) enthalten sind. Man nennt dieses Vorgehen, wie bei den Fourier-Reihen, die Frequenzanalyse des Zeitsignals f. In 15.1 werden die Formeln zur Fourier-Transformation

$ F(\omega)= \int_{-\infty} ^\infty f(t)e^{-i \omega t} dt $.

hergeleitet und an Beispielen verdeutlicht. Es werden weiterhin in 15.2 wichtige Eigenschaften der Fourier-Transformation vorgestellt und deren Bedeutung diskutiert. Zur Charakterisierung von linearen Systemen benötigt man eine Funktion, die alle Frequenzen mit gleicher Amplitude enthält. Dies führt auf den Begriff der Deltafunktion, die wir in Abschnitt 15.3 einführen und deren Eigenschaften wir diskutieren.

Hinweis: Im Web-Abschnitt 15.5 wird die Fourier-Transformation, die inverse Fourier- Transformation und deren Anwendung beim Lösen von Differenzialgleichungen vorgestellt. In einem weiteren Abschnitt 15.6 behandeln wir die vollständige Beschreibung von linearen Systemen durch die Impulsantwort und stellen den Zusammenhang zur Übertragungsfunktion mit Hilfe der Fourier-Transformation her.

Thomas Westermann

16. Partielle Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

Viele wichtige Probleme der angewandten Mathematik und Physik führen zu partiellen Differenzialgleichungen (PDG): zu Gleichungen, die Beziehungen zwischen einer oder mehreren Funktionen mehrerer Variablen und ihren partiellen Ableitungen herstellen.

Wir werden in diesem Kapitel exemplarisch die Wellen-, Wärmeleitungs- und Laplace-Gleichung behandeln.

Thomas Westermann

Backmatter

Titel: Mathematik für Ingenieure
verfasst von: Thomas Westermann
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-642-54290-9
Print ISBN: 978-3-642-54289-3
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-54290-9

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