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2022 | Buch

Mathematik für Ingenieurwissenschaften: Grundlagen

Von Vektoren und Matrizen über komplexe Zahlen zur Differential- und Integralrechnung

verfasst von: Prof. Dr. Harald Schmid

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Über dieses Buch

Sie studieren ein technisches Fach und müssen sich mit Ingenieurmathematik auseinandersetzen? Sie wollen Mathematik nicht nur anwenden können, sondern auch die Zusammenhänge verstehen? Das vorliegende Lehrbuch wird Ihnen dabei helfen. Es spannt einen Bogen von der Schul- zur Ingenieurmathematik und führt Sie vom Rechnen mit Zahlen hin zur Arbeit mit Integralen. Verständlichkeit und Anschaulichkeit stehen im Vordergrund. Mathematische Methoden werden durch Problemstellungen aus Physik und Technik motiviert und an zahlreichen Anwendungsbeispielen ausprobiert.

Das Buch eignet sich als Begleitlektüre zu den Mathematik-Vorlesungen an einer Hochschule und zur Prüfungsvorbereitung. Aufgrund der vielen vollständig gelösten Übungsaufgaben ist es gleichermaßen zum Selbststudium geeignet.

Für die 2. Auflage wurde das Buch korrigiert, überarbeitet und erweitert. Vor allem das Thema „Rechnen mit dem Computer“ nimmt nun insgesamt einen größeren Raum ein. Darüber hinaus wurden einige Übungsaufgaben und Anwendungsbeispiele ergänzt.

Der Inhalt

Arithmetik und Trigonometrie – Gleichungen und Matrizen – Vektoren und Transformationen – Funktionen und Grenzwerte – Komplexe Zahlen – Differentialrechnung – Integralrechnung

Die Zielgruppen
Studierende aller technischen und naturwissenschaftlichen Fächer
Ingenieure und Naturwissenschaftler in der Praxis

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Arithmetik und Trigonometrie
Zusammenfassung
Im ersten Kapitel werden wichtige Begriffe, Formeln und Zusammenhänge aus der Schulmathematik wiederholt. Welche Eigenschaften besitzen die natürlichen, rationalen und reellen Zahlen? Was ist beim Rechnen mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmen zu beachten? Darüber hinaus enthält es die Grundlagen aus der Trigonometrie: Wissenswertes über Winkelfunktionen, ihre Beziehungen untereinander und ihre Verwendung bei Dreiecksberechnungen. Abschließend befassen wir uns mit Besonderheiten, die beim „numerischen Rechnen“ mit dem Computer zu beachten sind, und wir wollen einen ersten Einblick erhalten, wie ein Computer kompliziertere Rechenarten wie etwa das Wurzelziehen bewältigt.
Harald Schmid
Kapitel 2. Gleichungen und Matrizen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel geht es um algebraische Gleichungen und um lineare Gleichungssysteme. Wir blicken zurück auf die Lösung der quadratischen Gleichung und wollen herausfinden, ob es etwas Vergleichbares wie die aus der Schule bekannte „Mitternachtsformel“ auch für kubische Gleichungen gibt. Anschließend beschäftigen wir uns mit linearen Gleichungssystemen, also mit mehreren linearen Gleichungen für mehrere Unbekannte. Diese treten in der Ingenieurpraxis sehr häufig auf, etwa bei der Finite-Elemente-Methode, in der Produktionsplanung oder bei Netzwerkanalysen, und sie können mehrere tausend Gleichungen und Unbekannte enthalten. Wir fragen uns, wie man solche Systeme effektiv löst. Hierbei werden uns Matrizen und Determinanten eine große Hilfe sein.
Harald Schmid
Kapitel 3. Vektoren und Transformationen
Zusammenfassung
Ein Vektor eignet sich nicht nur als „Container“ für die Daten eines linearen Gleichungssystems. Wir können einen Vektor auch geometrisch interpretieren als eine gerichtete Größe mit Betrag und Richtung. Das Ziel ist es, geometrische Problemstellungen wie etwa Winkel- oder Abstandsberechnungen in die Sprache der Vektoren zu übersetzen, um sie dann mit algebraischen Methoden zu lösen. Zusätzlich sollen Transformationen (Drehungen, Spiegelungen usw.) in der Ebene und im Raum mithilfe von Vektoren und Matrizen rechnerisch durchgeführt werden. Dieses Teilgebiet der Mathematik, das als analytische Geometrie bezeichnet wird, ist die mathematische Grundlage für das rechnergestützte Konstruieren (CAD).
Harald Schmid
Kapitel 4. Funktionen und Grenzwerte
Zusammenfassung
Zusammenhänge zwischen mathematischen, physikalischen oder technischen Größen werden durch Funktionen beschrieben. In diesem Kapitel geht es vorrangig um reelle Funktionen und solche, die man zur Beschreibung von Vorgängen aus Natur und Technik braucht. Zu diesen elementaren Funktionen gehören Polynome, rationale und trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen und Hyperbelfunktionen sowie ihre Umkehrfunktionen: Arkusfunktionen, Logarithmen, Areafunktionen usw. Die Basis der natürlichen Exponentialfunktion, die Eulersche Zahl e, ist als Grenzwert definiert. Daher befasst sich dieses Kapitel auch mit Grenzwerten bei Folgen und Funktionen. Letztere werden wiederum in der Differentialrechnung zur Berechnung von Ableitungen elementarer Funktionen gebraucht.
Harald Schmid
Kapitel 5. Komplexe Zahlen
Zusammenfassung
Die komplexen Zahlen entstanden aus dem Bedürfnis heraus, auch quadratische Gleichungen mit negativer Diskriminante lösen zu können. Nach Einführung der imaginären Einheit i und der komplexen Zahlen wird man mit Einsichten belohnt, die weit über das Ausgangsproblem hinausgehen. Dazu gehören der Fundamentalsatz der Algebra sowie die Eulersche Formel, welche eine Verbindung zwischen der natürlichen Exponentialfunktion, den trigonometrischen Funktionen und den Hyperbelfunktionen herstellt. Komplexe Zahlen spielen eine wichtige Rolle in der Physik und in der Ingenieurpraxis. Sie kommen dort nicht nur in den grundlegenden Gleichungen vor: In vielen Bereichen lassen sich damit Berechnungen erheblich vereinfachen, so wie etwa in der komplexen Wechselstromrechnung.
Harald Schmid
Kapitel 6. Differentialrechnung
Zusammenfassung
Die Differentialrechnung stellt uns mit der Ableitung ein mathematisches Werkzeug zur Verfügung, mit dem man das lokale Verhalten einer Funktion untersuchen kann. Aus der ursprünglichen Fragestellung, die Tangente einer Funktion zu bestimmen, ergeben sich schnell neue Anwendungen. Die Ableitung wird zur Berechnung von Nullstellen, Extremwerten, Monotoniebereichen oder Krümmungskreisen benutzt, später auch zur Untersuchung von Kurven oder Flächen im Raum. Neben den Themen, die bereits im Mathematik-Unterricht der Oberstufe (Ableitungsregeln, Kurvendiskussion usw.) behandelt werden, befassen wir uns in diesem Kapitel auch mit Kurven in Parameterdarstellung und ihren Tangentenvektoren. Damit lassen sich kompliziertere Bahnkurven, wie zum Beispiel Abrollkuren oder Schraubenlinien, sehr einfach beschreiben.
Harald Schmid
Kapitel 7. Integralrechnung
Zusammenfassung
Die Integralrechnung entwickelte sich aus der Problemstellung, den Flächeninhalt unter einem Funktionsgraphen zu ermitteln. Mit dem bestimmten Integral kann man aber auch andere geometrische oder physikalische Größen wie etwa die Bogenlänge einer Kurve oder das Volumen eines Rotationskörpers berechnen. Es gibt eine enge Beziehung zwischen Ableitung und Integral. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt, dass man ein bestimmtes Integral sehr bequem mithilfe einer Stammfunktion berechnen kann. Das Aufsuchen einer Stammfunktion ist die Umkehrung der Ableitung und erfolgt durch Integrationsmethoden (Substitution, partielle Integration, Partialbruchzerlegung), mit denen wir uns zunächst etwas ausführlicher befassen. Als Alternative werden abschließend noch verschiedene numerische Quadraturverfahren vorgestellt.
Harald Schmid
Kapitel 8. Lösungsvorschläge
Zusammenfassung
Dieser Abschnitt enthält ausführliche Lösungsvorschläge zu den Aufgaben, die am Ende der einzelnen Kapitel angegeben sind.
Harald Schmid
Backmatter
Metadaten
Titel
Mathematik für Ingenieurwissenschaften: Grundlagen
verfasst von
Prof. Dr. Harald Schmid
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-65528-3
Print ISBN
978-3-662-65527-6
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65528-3

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