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2022 | Buch

Mathematik für Ingenieurwissenschaften: Vertiefung

Von Funktionen mehrerer Variablen über Differentialgleichungen bis zur Stochastik

verfasst von: Prof. Dr. Harald Schmid

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Über dieses Buch

Sie studieren ein technisches Fach oder möchten sich tiefer in die Mathematik einarbeiten? Sie wollen höhere Mathematik nicht nur anwenden können, sondern auch die Zusammenhänge verstehen? Das vorliegende Lehrbuch wird Ihnen dabei helfen. Es führt Sie ausgehend von der Differential- und Integralrechnung einer Variablen in mathematische Gebiete, die im weiteren Verlauf eines Ingenieurstudiums gebraucht werden. Verständlichkeit und Anschaulichkeit stehen im Vordergrund. Mathematische Methoden werden durch Problemstellungen aus Physik und Technik motiviert und an zahlreichen Anwendungsbeispielen ausprobiert.

Für die 2. Auflage wurde das Buch korrigiert, überarbeitet und erweitert. Vor allem das Thema „Rechnen mit dem Computer“ nimmt nun insgesamt einen größeren Raum ein. Darüber hinaus wurden einige Übungsaufgaben und Anwendungsbeispiele ergänzt.

Das Buch eignet sich als Begleitlektüre zu den Mathematik-Vorlesungen an einer Hochschule und zur Prüfungsvorbereitung. Aufgrund der vielen vollständig gelösten Übungsaufgaben ist es gleichermaßen zum Selbststudium geeignet.

Der Inhalt
Partielle Ableitungen – Komplexe Funktionen – Mehrdimensionale Integrale –Vektoranalysis – Differentialgleichungen – Reihenentwicklungen – Stochastik

Die Zielgruppen
Studierende aller technischen und naturwissenschaftlichen Fächer
Ingenieure und Naturwissenschaftler in der Praxis

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Partielle Ableitungen
Zusammenfassung
In der Schulmathematik befasst man sich vorwiegend mit Funktionen, die nur von einer reellen Variablen abhängen. Wir betrachten in diesem Kapitel Funktionen mit zwei (oder mehr) voneinander unabhängigen Veränderlichen. Der zugehörige Funktionsgraph ist dann beispielsweise eine Fläche im Raum. Die Berechnung der Tangentialebenen und der lokalen Extremstellen führt uns zu den partiellen Ableitungen, zum Gradientenvektor und zur Hesse-Matrix. Wir werden partielle Ableitungen auch bei der Fehlerfortpflanzung, beim mehrdimensionalen Newton-Verfahren und zur Untersuchung von Flächen in Parameterdarstellung verwenden. Am Ende des Kapitels folgt noch ein Abschnitt über komplexwertige Funktionen und ihre Ableitungen.
Harald Schmid
Kapitel 2. Mehrdimensionale Integrale I
Zusammenfassung
Dieses Kapitel befasst sich mit Verallgemeinerungen des Integralbegriffs, bei denen das Integrationsintervall entweder durch eine Kurve in Parameterform oder durch einen Normalbereich in der Ebene ersetzt wird. Das Kurvenintegral hat seine Wurzeln in der Physik, und zwar in der Fragestellung: Wie berechnet man die Arbeit, wenn man sich in einem ortsabhängigen Kraftfeld entlang einer krummlinigen Kurve bewegt, etwa längs einer Feldlinie in einem Magnetfeld? Mit dem Flächenintegral wiederum kann man das Volumen oder den Schwerpunkt eines Körpers berechnen, der nicht rotationssymmetrisch ist und beispielsweise von einer gekrümmten Fläche über einem Rechteck eingeschlossen wird.
Harald Schmid
Kapitel 3. Differentialgleichungen I
Zusammenfassung
Bei einer algebraischen oder trigonometrischen Gleichung sind Zahlenwerte zu bestimmen. Bei einer Differentialgleichung werden Funktionen gesucht, wobei die Gleichung neben der unbekannten Lösungsfunktion auch noch deren Ableitungen erster oder höherer Ordnung enthält. Viele Vorgänge in der Natur und in der Technik lassen sich durch Differentialgleichungen beschreiben. In diesem Kapitel geht es um analytische und numerische Lösungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen. Wir werden diese an verschiedenen Anwendungsbeispielen ausprobieren: Wir untersuchen u.a. die Kettenlinie, das gedämpfte Federpendel sowie elektrische Ströme durch Spulen und Widerstände. Darüber hinaus werfen wir einen Blick auf Eigenwertprobleme, Variationsprobleme und die Grundidee der Finite-Elemente-Methode (FEM).
Harald Schmid
Kapitel 4. Reihenentwicklungen
Zusammenfassung
Wie ermittelt ein Computer Funktionswerte wie etwa sin(0,2) auf acht oder mehr Stellen genau? Ein Prozessor beherrscht im Wesentlichen nur die vier Grundrechenarten. Es muss also ein Verfahren geben, mit dem man mathematische Funktionen allein durch die Anwendung von Grundrechenarten auswerten kann. Dieser Zusammenhang wird durch Potenzreihen hergestellt. Damit lassen sich nicht nur viele elementare Funktionen, sondern auch bestimmte Integrale beliebig genau berechnen. Periodische Funktionen werden durch eine andere Art von Reihenentwicklung dargestellt: Eine Fourier-Reihe setzt sich zusammen aus trigonometrischen Funktionen, und sie ermöglicht es uns, periodische Signale in ihre Grund- und Oberschwingungen zu zerlegen.
Harald Schmid
Kapitel 5. Mehrdimensionale Integrale II
Zusammenfassung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) stellt einen Zusammenhang her zwischen dem bestimmten Integral und den Werten einer Stammfunktion am Rand des Integrationsbereichs. Entsprechende Aussagen gibt es auch für Funktionen mit zwei oder mehr Veränderlichen. Sie werden Integralsätze genannt, und sie sind etwas komplizierter formuliert als der HDI für eine Variable, zumal es mehrere partielle Ableitungen gibt und der Rand nicht durch zwei Punkte, sondern durch eine Kurve oder eine Fläche beschrieben wird. Wir beginnen mit den Integralsätzen von Green und Gauß in der Ebene, wobei wir auch einige Anwendungen dieser Integralsätze kennenlernen werden. Nach den Integralsätzen von Stokes und Gauß im Raum für Volumen- und Oberflächenintegrale behandeln wir abschließend Integrale komplexwertiger Funktionen und den Integralsatz von Cauchy.
Harald Schmid
Kapitel 6. Differentialgleichungen II
Zusammenfassung
Die mathematische Beschreibung eines physikalischen Modells führt oftmals auf ein System von Differentialgleichungen mit mehreren gesuchten Funktionen, wobei die Gleichungen untereinander gekoppelt sind. In vielen Fällen handelt es sich um lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten, die wir in diesem Kapitel etwas ausführlicher untersuchen. Darüber hinaus treten in der Technik und in den Naturwissenschaften gewisse Typen von linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung immer wieder und in ganz unterschiedlichen Zusammenhängen auf. Ihre Lösungen nennt man „spezielle Funktionen“, und sie lassen sich als Polynome oder Potenzreihe darstellen. Abschließend werfen wir einen ersten Blick auf partielle Differentialgleichungen und betrachten als Beispiel die Schwingungen eines elastischen Seils.
Harald Schmid
Kapitel 7. Stochastik
Zusammenfassung
Kann man Zufall vorhersagen? Mit dieser Frage beschäftigt sich die Stochastik, ein mathematisches Teilgebiet, das den Begriff „Wahrscheinlichkeit“ zu einer Rechengröße macht und sich mit der Bewertung von Daten befasst. Dass die Stochastik funktioniert, lässt sich anhand von zuverlässigen Wahl- oder Wirtschaftsprognosen feststellen. Doch wozu braucht man die Stochastik in der Technik? Bei vielen Problemen aus der Ingenieurpraxis spielt der Zufall eine Rolle: Wie wirken sich zufällig Störungen auf den Materialfluss in einem Fertigungsprozess aus? Wie findet man zu gegebenen fehlerbehafteten Messdaten eine passende Funktionsvorschrift? Diese und ähnliche Fragen wollen wir mit den Werkzeugen aus der Stochastik beantworten. Zuvor werden die dafür benötigten Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung bereitgestellt.
Harald Schmid
Kapitel 8. Lösungsvorschläge
Zusammenfassung
Dieser Abschnitt enthält ausführliche Lösungsvorschläge zu den Aufgaben, die jeweils am Ende der einzelnen Kapitel angegeben sind.
Harald Schmid
Backmatter
Metadaten
Titel
Mathematik für Ingenieurwissenschaften: Vertiefung
verfasst von
Prof. Dr. Harald Schmid
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-65526-9
Print ISBN
978-3-662-65525-2
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65526-9

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