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Über dieses Buch

Das Buch richtet sich an diejenigen, die Mathematik in wirtschaftswissenschaftlich orientierten Studiengängen studieren. Der leicht verständliche Text ist mit vielen Beispielen und Übungen mit Lösungen ergänzt. Die Autoren haben kompakt alle elementaren mathematischen Verfahren der Wirtschaftswissenschaften anschaulich erklärt. Die praxisnahe Darstellung der Methoden wird durch die Erklärung und Anwendung des Open Source Programms Scilab vervollständigt. Scilab ist ein Programm für numerische Berechnungen, in dem durch die vordefinierte Syntax eine einfache Umsetzung der Formeln möglich ist. Die einzelnen Programmschritte dazu sind im Text beschrieben.

In der 3. überarbeiteten und ergänzten Auflage ist die inhaltliche Struktur leicht verändert und das Kapitel Finanzmathematik mit den Themen Margenbarwert und Investitionsrechnung bei nicht-flacher Zinssatzstruktur ergänzt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Grundlagen

Frontmatter

1. Mengenlehre und Aussagenlogik

In diesem Kapitel werden die Grundzüge der Mengenlehre, der Zahlenmengen und der Aussagenlogik erklärt. Mengen und Aussagenlogik kann man als die Basis der Mathematik bezeichnen.

Wolfgang Kohn, Riza Öztürk

2. Funktionen

Eine Funktion beschreibt gegenseitige Abhängigkeiten zwischen Variablen und sie ist eine wesentliche Grundlage in der Mathematik. Im Folgenden werden der Funktionsbegriff und einige spezielle Funktionen erläutert. Dazu zählen wir auch das Summen- und Produktzeichen für die fortgesetzte Addition und Multiplikation. Insbesondere das Summenzeichen wird häufig verwendet. Ferner sind die Logarithmusund die Exponentialfunktion, sowie zwei spezielle Funktionen, die Betragsfunktion und die Gauß-Klammer (Auf- und Abrundungsfunktion) von Bedeutung. In Kapitel 8 werden die rationalen Funktionen mit einer Variablen sowie Folgen und Reihen erläutert.

Wolfgang Kohn, Riza Öztürk

3. Kombinatorik

Die Kombinatorik ist die Grundlage vieler statistischer und wahrscheinlichkeitstheoretischer Vorgänge. Sie untersucht, auf wie viele Arten man

n

verschiedene Dinge anordnen kann bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, aus der Grundmenge von

n

- Elementen

m

-Elemente auszuwählen. Sie zeigt also, wie richtig «ausgezählt» wird, und damit gehört die Kombinatorik auch in den Bereich der Mathematik.

Wolfgang Kohn, Riza Öztürk

Lineare Algebra

Frontmatter

4. Vektoren

Vektoren, wie auch Matrizen, sind Konstrukte, die Zahlen zusammenfassen, damit bestimmte Rechnungen einfacher werden. In einem Vektor bleibt jede Einzelgröße erhalten. Der Vektor ist eine kompakte Schreibweise für ein Zahlenfeld. Aus dieser Notation haben sich eigenständige Rechenanweisungen entwickelt.

Wolfgang Kohn, Riza Öztürk

5. Matrizen

In diesem Kapitel wird das Konstrukt des Vektors erweitert und die Matrix eingeführt. In der Darstellung wird sich auf die für Ökonomen wichtigen Eigenschaften und Operationen der Matrizenalgebra beschränkt. Mit der Matrizenrechnung kann dann eine Materialverflechtung eines mehrstufigen Produktionsprozesses einfach berechnet werden.

Wolfgang Kohn, Riza Öztürk

6. Lineare Gleichungssysteme

Viele Probleme der Praxis lassen sich in Form linearer Gleichungssysteme modellieren und damit lösen. Besonders häufig ergeben sich lineare Gleichungssysteme in ökonomischenBereichen, weil hier viele Beziehungen tatsächlich linear sind oder als linear angenommen werden können. Die Kenntnisse aus den Kapiteln 4 und 5 werden hier eingesetzt und erweitert. Inhomogene lineare Gleichungssysteme werden in der Input-Output-Analyse verwendet. Die Abschnitte

Determinante einer Matrix

und

Homogene Gleichungssysteme

sind Grundlagen für weiterführende Themen. Die Berechnung von Determinanten wird in den Abschnitten 11.4 und 11.5 verwendet. Homogene Gleichungssysteme und Eigenwertprobleme sind eng miteinander verbundene Fragestellungen. Diese werden bei einigen statistischen Verfahren eingesetzt.

Wolfgang Kohn, Riza Öztürk

7. Lineare Optimierung

Die lineare Optimierung (Synonyme: lineare Planungsrechnung, lineare Programmierung) (

operation research

) ist in den letzten Jahrzehnten, auch aufgrund der rasanten Entwicklung im Computerbereich, zu einem Standardverfahren in der Betriebswirtschaftslehre geworden. Sie kann grundsätzlich überall dort eingesetzt werden, wo eine optimale Verteilung knapper Ressourcen erforderlich ist, um ein gewünschtes Ziel zu erreichen.

Wolfgang Kohn, Riza Öztürk

Analysis

Frontmatter

8. Rationale Funktionen, Folgen und Reihen

In Kapitel 2 wurde der Funktionsbegriff eingeführt. In dem folgenden Text wird die Klasse der rationalen Funktionen näher betrachtet. Besteht die Funktion nur aus der Summe der Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten, dann spricht man von einer ganz-rationalen Funktion. Besteht die rationale Funktion aus einem Verhältnis zweier ganz-rationaler Funktionen, dann wird die Funktion als gebrochen-rationale Funktion bezeichnet.

Wolfgang Kohn, Riza Öztürk

9. Grundlagen der Finanzmathematik

Der Kern der Finanzmathematik ist die Berechnung einer Summe von verzinsten zukünftigen Zahlungen. Sind diese Zahlungen in der Zeit konstant, dann können sie mit der geometrischen Reihe berechnet werden. Dies liegt in der Rentenrechnung und in der Annuitätenrechnung vor. Variieren die zukünftigen Zahlungsströme (

cash flows

) hingegen, so können sie nicht mehr durch die geometrische Reihenformel (8.12) beschrieben werden. Dies ist der Fall in der Investitionsrechnung.

Wolfgang Kohn, Riza Öztürk

10. Differentialrechnung für Funktionen mit einer Variable

Werden Funktionen für einen festen Funktionswert untersucht, zum Beispiel hinsichtlich eines Extremums, so kann man dies als eine statische Analyse bezeichnen. Eine andere Betrachtungsweise ist die dynamische Analyse. Man untersucht dann die Eigenschaft einer Funktion an verschiedenen Stellen und vergleicht sie miteinander. Es werden also Eigenschaften untersucht, die relativ zur Funktionsänderung definiert sind, also Änderungsraten. Dazu gehören zum Beispiel die Steigung oder die Krümmung einer Funktion. Für die Untersuchung von Änderungsraten hat sich die Differentialrechnung als wichtiges Instrument erwiesen. In den Wirtschaftswissenschaftenwird die Grenzbetrachtung häufig auch als

Marginalanalyse

bezeichnet.

Wolfgang Kohn, Riza Öztürk

11. Funktionen und Differentialrechnung mit zwei Variablen

In vielen Fällen hängen die ökonomischen Größen nicht nur von einer Variablen, sondern von mehreren Variablen ab. Die in Kapitel 10.8.1 betrachtete Ertragsfunktion wird in der Realität von mehr als nur einem Produktionsfaktor bestimmt sein. Von daher ist es auch in den Wirtschaftswissenschaften notwendig, Funktionen mit mehreren Variablen zu betrachten. Im folgenden Abschnitt werden allerdings nur Funktionen mit zwei Variablen behandelt.

Wolfgang Kohn, Riza Öztürk

12. Grundlagen der Integralrechnung

In den vorausgegangenenKapiteln wurde die Differentialrechnung und ihre Anwendung in der Ökonomie dargestellt.

Wolfgang Kohn, Riza Öztürk

Anhang

Frontmatter

13. Eine kurze Einführung in Scilab

Scilab ist ein umfangreiches, leistungsfähiges Software-Paket für Anwendungen in der numerischen Mathematik, das am Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (INRIA) in Frankreich seit 1990 entwickelt wird. Seit 2003 wird die Entwicklung vom Scilab-Konsortium unter Federführung des INRIA vorangetrieben. Scilab wird für Anwendungen in Lehre, Forschung und Industrie eingesetzt und ist für rein numerische Berechnungen programmiert. Es ist ein kostenloses open source Paket www.scilab.org.

Wolfgang Kohn, Riza Öztürk

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