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Über dieses Buch

Mit diesem Band werden die wichtigsten mathematischen Grundlagen für das Grundstudium der Physik in gut zugänglicher und ansprechender Form bereitgestellt. Der Aufbau orientiert sich an dem, was Physikstudierende möglichst früh benötigen, wie Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung und elementare Differentialgleichungen. Wo immer möglich, werden mathematische Begriffe durch physikalische Problemstellungen motiviert. Durch Begründung der meisten Ergebnisse sollen den Lesern und Leserinnen die mathematische Arbeitsweise und das für die mathematische Physik unerlässliche Problemverständnis vermittelt werden. In zahlreichen Anwendungen auf die Physik wird die Leistungsfähigkeit der hier vorgestellten mathematischen Methoden demonstriert.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Grundlagen

„Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen“. So beginnen die 1895 erschienenen Beiträge zur Begründung der Mengenlehre von Georg Cantor. Diese „naive“ Definition soll uns als Ausgangspunkt genügen.

Helmut Fischer, Helmut Kaul

Vektorrechnung im ℝn

Skalare Grӧßen wie Zeit, Masse, Energie und Temperatur werden in der Physik durch eine Maßzahl und eine Maßeinheit (Dimension) angegeben: 1.4 sec, 13 kg, 10 Joule, −15◦ C usw. In der mathematischen Behandlung physikalischer Vorg¨ange arbeiten wir nach der Festlegung der Maßeinheiten nur noch mit den dimensionslosen Maßzahlen: t = 1.4, m = 13, E = 10, T = −15 usw.

Helmut Fischer, Helmut Kaul

Analysis einer Veränderlichen

Wie lässt sich dem symbolischen Ausdruck $$ a_{0} + a_{1} + a_{2} + \ldots = \sum\limits_{k = 0}^{\infty } {a_{k} } $$ ein Sinn geben? Selbstverständlich kӧnnen wir nicht unendlich viele Zahlen addieren. Wir kӧnnen jedoch aus den Partialsummen.

Helmut Fischer, Helmut Kaul

Lineare Algebra

Ausgangspunkt der linearen Algebra sind lineare GleichungenL(u) = v verschiedenster Art. Wir geben zunächst Beispiele, stellen anschließend fest, was diese gemeinsam haben und formulieren dann die Problemstellungen.

Helmut Fischer, Helmut Kaul

Analysis mehrerer Variabler

Auch in der mehrdimensionalen Analysis sind die Begriffe „Konvergenz“, „Stetigkeit“, „Differenzierbarkeit“ fundamental. Neu hinzu treten topologische Begriffe, welche die Gestalt von Punktmengen betreffen, wie „offen“, „kompakt“, „zusammenhängend“. Alle diese Begriffe kӧnnen auf den Begriff des Abstands zweier Punkte, also letztlich auf die euklidische Norm zurückgeführt werden.

Helmut Fischer, Helmut Kaul

Vektoranalysis

Wir nennen eine C1–Kurve auf einem Intervall I.

Helmut Fischer, Helmut Kaul

Einführung in die Funktionentheorie

Die Auffassung des ℝ2 als komplexe Zahlenebene und das Ausnützen der multiplikativen Struktur von ℂ geben der Vektoranalysis in ℝ2 ein ganz neues Gesicht. Die daraus entstandene Funktionentheorie ist ein selbständiges Gebiet der Mathematik und ein wichtiges Hilfsmittel der Analysis.

Helmut Fischer, Helmut Kaul

Backmatter

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