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Über dieses Buch

Warum müssen InformatikerInnen und SoftwareentwicklerInnen im Studium eigentlich Mathe hören? Wie kann ihnen die Mathematik beim Programmieren helfen?

Dieses Lehrbuch vermittelt StudienanfängerInnen die Sprache und Methode der Mathematik als Grundlage strukturierten Problemlösens, welches essenziell für das Entwickeln von Softwaresystemen ist. Deshalb liegt der didaktische Fokus hier darauf aufzuzeigen, wie mathematische Konzepte aufeinander aufbauen, welche Muster sich daraus ergeben, und welche klar strukturierten Regeln es in der mathematischen Argumentation (dem Beweisen) gibt. Dieses Buch richtet den inhaltlichen Fokus auf Logik, Mengenlehre, diskrete Strukturen und Wahrscheinlichkeitsrechnung und orientiert sich damit an den Empfehlungen von ACM und IEEE zur Mathematikausbildung im Software-Engineering-Studium.

Da man Mathematik - ebenso wie die Softwareentwicklung - nicht durch Lesen, sondern nur durch Tun erlernt, schließt jeder Abschnitt mit einer Reihe von Verständnisfragen und Übungsaufgaben. Es eignet sich daher bestens zum Nacharbeiten einer Vorlesung und zur Prüfungsvorbereitung. Durch den verständlichen Schreibstil und die Lösungen auf der Webseite des Autors kann dieses Buch aber auch gut zum Selbststudium genutzt werden.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung
Die Mathematik dient vielen Bereichen der Naturwissenschaften und Technik als Hilfswissenschaft, mit der die dort auftretenden Probleme in einem strukturierten Formalismus gelöst werden können. Durch diese informelle Beschreibung der Rolle der Mathematik als Hilfwissenschaft werden bereits zwei grundlegende Anforderungen spezifiziert:
Stephan Dreiseitl

Kapitel 2. Logik als Sprache der Mathematik

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir uns mit der Sprache der Mathematik beschäftigen. Dies wird uns erlauben, normalsprachliche Ausdrücke in präzise mathematische Aussagen umzuwandeln und aus diesen Aussagen Schlüsse zu ziehen. Dazu werden wir sowohl die Struktur (Syntax) und die Bedeutung (Semantik) von Aussagen betrachten.
Stephan Dreiseitl

Kapitel 3. Mengen als Bausteine der Mathematik

Zusammenfassung
In diesem Kapitel betrachten wir Mengen als Grundbausteine mathematischer Objekte. Dabei verzichten wir auf eine genaue Definition des Begriffs Menge; die bekannte sprachliche Beschreibung stammt von Georg Cantor (1845–1918), dem Begründer der Mengenlehre.
Stephan Dreiseitl

Kapitel 4. Mengen + Operationen = Algebraische Strukturen

Zusammenfassung
Im letzten Kapitel haben wir Mengen hauptsächlich als Behälter von Elementen betrachtet. Durch Operationen können Strukturen auf den Elementen einer Menge definiert und Gemeinsamkeiten und Unterschiede verschiedener Strukturen herausgearbeitet werden.
Stephan Dreiseitl

Kapitel 5. Lineare Algebra

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir die Grundbegriffe der algebraischen Strukturen aus Kapitel 4 aufgreifen, um eine weitere algebraische Struktur (die des Vektorraums) zu definieren, die sich aber durch eine Verknüpfung mit einem Körperelement von allen bisher untersuchten Strukturen unterscheidet. Aufbauend auf dem Begriff des Vektorraums werden wir eine umfassende Theorie der linearen Funktionen, Matrizen, und linearen Gleichungssysteme erarbeiten.
Stephan Dreiseitl

Kapitel 6. Geometrie in ℝ n

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir das Grundgerüst der linearen Algebra um den Begriff des Skalarprodukts erweitern. Wir werden sehen, wie man mit wenig mathematischem Aufwand über die Verwendung von Projektionen interessante Ergebnisse erreichen kann. Als Einführung betrachten wir im ersten Abschnitt die Länge von Vektoren sowie den Abstand von und den Winkel zwischen Vektoren.
Stephan Dreiseitl

Kapitel 7. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zusammenfassung
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung nimmt in der Mathematik eine herausragende Stellung ein, da sich in kaum einem anderen Bereich mit derart geringem formalen Aufwand korrekte und einleuchtende Ergebnisse erzielen lassen. Ebenso wie in anderen Bereichen der Mathematik ist das theoretische Gerüst der Wahrscheinlichkeitsrechnung aus der Formalisierung von Anwendungen gewachsen. Obwohl der Begriff der Wahrscheinlichkeit anhand einfacher Beispiele leicht zu verstehen ist, ergaben sich bei der Einbettung in die moderne Mathematik einige Schwierigkeiten.
Stephan Dreiseitl

Kapitel 8. Zufallsvariablen

Zusammenfassung
Bis jetzt haben wir uns bei der Abstraktion eines Zufallsexperiments zu einem mathematischen Modell auf den Ereignisraum Ω und die Wahrscheinlichkeitsverteilung P auf Ω konzentriert. Tatsächlich sind aber bei einigen Experimenten nicht die Ausgänge direkt interessant, sondern eine davon abgeleitete Größe, in manchen Fällen auch mehrere solche Größen.
Stephan Dreiseitl

Kapitel 9. Einführung in die schließende Statistik

Zusammenfassung
Bei unserer Behandlung der Wahrscheinlichkeitsheorie standen bis jetzt genau definierte Zufallsexperimente im Vordergrund, wie etwa Würfeln, Werfen von Münzen, oder das Ziehen aus einer Urne. Jedes dieser Experimente konnte genau beschrieben werden, und zwar auf zwei Ebenen:
Stephan Dreiseitl

Kapitel 10. Lambda-Kalkül

Zusammenfassung
Der Lambda-Kalkül ist ein formales System, das (wie etwa die Aussagenlogik in Abschnitt 2.1) syntaktisch aus wenigen Bausteinen und Bildungsregeln aufgebaut werden kann. Diese Bausteine sind spezielle Terme, die Funktionen repräsentieren, und zwar auf zwei Ebenen: Einerseits die Ebene der Funktionsdefinition und andererseits die Ebene der Funktionsanwendung. In den meisten Bereichen der Mathematik wird zwischen diesen Ebenen nicht speziell unterschieden: So ist manchmal nur aus dem Kontext zu entscheiden, ob mit e x die Exponentialfunktion gemeint ist oder die reelle Zahl, die sich aus der Anwendung der Exponentialfunktion auf x ergibt.
Stephan Dreiseitl

Kapitel 11. Gleitkommazahlen

Zusammenfassung
Jede Zahl hat im Computer nur eine endliche Repräsentation. Die Details dieser Repräsentation, sowie mögliche Fehlerquellen beim Rechnen damit, sind bei der Implementierung numerischer Algorithmen von speziellem Interesse. Wir behandeln im Folgenden die Darstellung reeller Zahlen im Computer sowie mögliche Probleme arithmetischer Operationen mit dieser Darstellung.
Stephan Dreiseitl

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