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Über dieses Buch

Dieses Buch stellt mathematische Grundlagen für Studierende der Wirtschaftsinformatik bereit, die über die zwei klassischen Gebiete Analysis und lineare Algebra hinausgehen. Dabei wird ausführlich auf Anwendungen wie Kryptologie, Codierung und Analyse von Algorithmen eingegangen. Auch neue Entwicklungen, wie Blockchain, künstliche Intelligenz und Quantencomputer werden in diesem Zusammenhang vorgestellt.

Der leicht verständliche Text verzichtet größtenteils auf Beweise und ist mit vielen Beispielen sowie Übungen mit Lösungen ergänzt. Eine Umsetzung der beschriebenen Algorithmen ist durch Codes im Open-Source-Programm R direkt möglich.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Grundlagen Mathematik

Frontmatter

Kapitel 1. Mengenalgebra

Zusammenfassung
Die Mengenlehre ist essenziell für die Mathematik. Mit ihr werden die Grundlagen zur Logik, den Relationen, den Zahlen und eigentlich fast der gesamten Mathematik geschaffen. Zum Beispiel werden die Zahlen mit Hilfe der Mengenlehre konstruiert, und letztlich basiert die gesamte moderneWahrscheinlichkeitsrechnung auf ihr.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm

Kapitel 2. Logik

Zusammenfassung
Logik ist die Lehre vom folgerichtigen Denken, d. h. vom richtigen Schlussfolgern aufgrund gegebener Aussagen. Sie ist daher ein Teilgebiet der Philosophie. Im 20. Jahrhundert haben sich daraus wichtige theoretische Grundlagen der Informatik entwickelt, wie die Turing-Maschine als ein Modell für einen Rechner und die Programmierung für Computer.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm

Kapitel 3. Zahlensysteme

Zusammenfassung
Im Computer werden Zahlen anders gespeichert, als wir es von der Mathematik mit dem Dezimalsystem her kennen. Dies liegt daran, dass im Computer pro Bit nur die zwei Zustände 0 und 1 (oder FALSCH undWAHR) gespeichert werden. Mehrere Bits werden zur Darstellung einer Zahl zusammengefasst.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm

Kapitel 4. Gruppen, Ringe und Körper

Zusammenfassung
Die uns bekannten Zahlenmengen (wie die natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen oder reellen Zahlen) sind mit Gruppen, Ringen und Körpern konstruiert. In Abschnitt 6.3 gehen wir kurz über die Eigenschaft der Relation auf die Konstruktion der ganzen Zahlen ein. In diesem Kapitel erklären wir, was Gruppen, Ringe und Körper sind.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm

Kapitel 5. Funktionen

Zusammenfassung
Eine Funktion dient zur Beschreibung der gegenseitigen Abhängigkeit mehrerer Faktoren. Sie ist eine Beziehung (auch Relation oder Abbildung genannt) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Mengen (x-Wert oder Argument) genau ein Element der anderen Menge (y-Wert oder Funktionswert) zuordnet.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm

Kapitel 6. Relationen

Zusammenfassung
Will man verschiedene Mengen miteinander vergleichen, dann benötigt man eine Beziehung zwischen diesen. Eine einzelne Menge ist ohne Struktur, solange die einzelnen Elemente völlig beziehungslos zueinander sind. Hat man aber eine Beziehung (Relation), so entsteht aus dem Chaos eine Struktur. Die Untersuchung der Eigenschaften dieser Beziehungen ist eine der Hauptaufgaben der Mathematik.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm

Kapitel 7. Restklassen

Zusammenfassung
Restklassen sind spezielle Relationen, die insbesondere für die Kryptologie (Kapitel 9) benötigt werden.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm

Anwendungen

Frontmatter

Kapitel 8. Kontrollcodierung

Zusammenfassung
Eine weitere Anwendung der modulo-Rechnung aus Kapitel 7 ist die Kontrollcodierung. Sie soll verhindern, dass Tippfehler in Nummern wie z. B. Bestellnummern aufgedeckt werden. Allerdings können nur bestimmte Tippfehler mit der Kontrollcodierung aufgedeckt werden.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm

Kapitel 9. Kryptologie

Zusammenfassung
Mit der Caesar-Chiffre wurde schon sehr früh die Kenntnis der Restklassen in Kapitel 7 genutzt, um Informationen zu verschlüsseln. Allerdings weist die Caesar-Chiffre den großen Nachteil auf, dass auch der Schlüssel sicher transportiert werden muss.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm

Kapitel 10. Hashfunktion und Blockchain

Zusammenfassung
Hashfunktionen sind neben den symmetrischen und asymmetrischen Kryptoverfahren der dritte wichtige Baustein zur Konstruktion von Algorithmen in der Kryptologie. So werden etwa bei digitalen Unterschriften die Hashwerte des zu unterschreibenden Textes signiert.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm

Diskrete Mathematik

Frontmatter

Kapitel 11. Enumerative Kombinatorik

Zusammenfassung
Die Kombinatorik ist die Grundlage vieler statistischer und wahrscheinlichkeitstheoretischer Vorgänge. Sie untersucht, auf wie viele Arten man n verschiedene Dinge anordnen kann bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, aus der Grundmenge von n Elementen m auszuwählen. Sie zeigt also, wie richtig „ausgezählt“ wird. Eine gute Darstellung steht ist etwa in [7].
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm

Kapitel 12. Erzeugende Funktionen

Zusammenfassung
In Abschnitt 11.6 wurde der Begriff der erzeugenden Funktion bereits kurz eingeführt.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm

Kapitel 13. Analyse von Algorithmen

Zusammenfassung
Mathematische Methoden werden in der Informatik oft benutzt, um die Laufzeit von Algorithmen zu analysieren. Dabei werden die einzelnen Rechenschritte gezählt, die ein Algorithmus zur Bewältigung der gestellten Aufgabe bei Eingabe einer gewissen Größe – oft mit n bezeichnet – benötigt.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm

Kapitel 14. Einführung in neuronale Netze

Zusammenfassung
Üblicherweise erfolgt die Lösung eines Problems durch einen Computer, indem ein Algorithmus entworfen, programmiert und anschließend implementiert wird. Der Algorithmus wird dann für jede gewünschte Eingabe vom Computer schrittweise abgearbeitet, bis das Ergebnis ermittelt wurde.
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm

Anhang

Frontmatter

Kapitel 15. Anhang A: Bäume, Graphen und deren Darstellung im Computer

Zusammenfassung
Bäume, Graphen und deren Darstellung im Computer
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm

Kapitel 16. Anhang B: Lösungen zu den Übungen

Zusammenfassung
Lösungen zu den Übungen
Wolfgang Kohn, Ulrich Tamm

Backmatter

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