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Über dieses Buch

Dieses Buch entwickelt verständlich und gut nachvollziehbar diejenige Mathematik, die für ein erfolgreiches Studium der Wirtschaftswissenschaften unverzichtbar ist. Hierbei wird die mathematische Darstellung stets durch ökonomische Anwendungen motiviert. Zahlreiche farbige Abbildungen und Übersichten visualisieren den Stoff; ausführliche Erläuterungen und Übungsaufgaben helfen, ihn zu verstehen und zu beherrschen.

Der erste Band behandelt die Grundlagen aus Logik und Mengenlehre sowie reelle Funktionen einer Veränderlichen mit Differential- und Integralrechnung und umfangreichen ökonomischen Anwendungen. Zum leichteren Einstieg wird im Grundlagenteil notwendiger Schulstoff aufgefrischt und erweitert. Eine ausführliche Anleitung zum Lesen und Verstehen mathematikhaltiger Texte erleichtert die Lektüre zusätzlich.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Vorkenntnisse und Grundlagen

Frontmatter

Kapitel 1. Zum Einstieg

Zusammenfassung
Der vorliegende Text versucht, mit einem Minimum an vorausgesetzten Schulkenntnissen auszukommen.
Hans M. Dietz

Kapitel 2. Grundlagen logischen Schließens

Zusammenfassung
“Wenn Isabell Geld hat, kauft sie Schuhe” ist so ein Satz, der verstehen lässt, warum der Handel boomt. Folgt aber daraus, dass, wenn Isabell Schuhe kauft, sie notwendigerweise Geld hat? Oder ist es nicht vielmehr so, dass sie notwendigerweise Schuhe kauft, wenn sie Geld hat?Wer die Antwort sofort weiß, mag dieses Kapitel getrost überschlagen. Wer sich nicht ganz sicher ist, sollte es lieber lesen.
Hans M. Dietz

Kapitel 3. Mengen und Mengenoperationen

Zusammenfassung
Die Mathematik und ihre Anwendungen sind darauf angewiesen, Sachverhalte präzise und logisch korrekt formulieren zu können. Das gilt insbesondere für die moderne Ökonomie, die intensiv mit mathematischen Konzepten arbeitet. Dabei besteht der Wunsch nach möglichst kurzen Formulierungen.
Hans M. Dietz

Kapitel 4. Zahlensysteme, Ungleichungen, Potenzen

Zusammenfassung
In diesem Abschnitt stellen wir wiederholend zusammen, was wir in diesem Text an Wissen und Bezeichnungen über Zahlensysteme voraussetzen (die Bezeichnungen dürften mittlerweile in allen Schulbüchern Standard sein).
Hans M. Dietz

Kapitel 5. Relationen

Zusammenfassung
Die Beziehungen zwischen ökonomischen Objekten und Größen können sehr vielfältig sein.
Hans M. Dietz

Kapitel 6. Mehr über Abbildungen

Zusammenfassung
Abbildungen als spezielle Relationen wurden bereits im vorangehenden Kapitel auf Seite 125 eingeführt; dort finden sich auch erste Beispiele. Für Abbildungen bleiben daher die für Relationen allgemein eingeführten Begriffe Definitionsbereich (domain), Bild (image) und Komposition in Kraft. Es sind lediglich kleine Abweichungen im Sprachgebrauch verbreitet, die hier kurz skizziert werden sollen.
Hans M. Dietz

Analysis im ℝ1

Kapitel 7. Grundwissen über die Menge der reellen Zahlen

Zusammenfassung
An dieser Stelle stellen wir einige der in diesem Text benutzten Schreibweisen zusammen und präzisieren Bezeichnungen, die wir im Abschnitt 0.1 “Vorkenntnisse” eher intuitiv eingeführt hatten.
Hans M. Dietz

Kapitel 8. Folgen, Reihen, Konvergenz

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir uns mit den in gewissem Sinne einfachsten reellen Funktionen beschäftigen, die der Abbildung aufeinanderfolgender Größen dienen und für die sich deshalb auch die spezielle Bezeichnung Folgen eingebürgert hat. Sie spielen nicht nur innerhalb der Mathematik, sondern auch in der Ökonomie eine große Rolle.
Hans M. Dietz

Kapitel 9. Reelle Funktionen einer Veränderlichen – Grundlagen

Zusammenfassung
Bei den im mathematischen Teil dieses Textes betrachteten Funktionen sind Argumente ebenso wie Funktionswerte reelle Zahlen. Es handelt sich dabei um Abbildungen im Sinne von Kapitel 2, und alles dort über Injektivität, Umkehrabbildung etc. Gesagte findet hier Anwendung. Darüber hinaus werden hier eine Reihe spezieller Eigenschaften reeller Funktionen, wie z.B. Monotonie oder Konvexität, die für ökonomische Anwendungen von Belang sind, betrachtet.
Hans M. Dietz

Kapitel 10. Beschränkte Funktionen

Zusammenfassung
Oft ist von Interesse, ob die Funktionswerte einer gegebenen Funktion beliebig groß bzw. klein werden können.
Hans M. Dietz

Kapitel 11. Stetige Funktionen

Zusammenfassung
Während die in blau dargestellte Kurve von s kontinuierlich verläuft, weist der rot dargestellte Graph von u Sprünge auf. Entsprechend nennt man im englischen Sprachgebrauch die Funktion s continuous und die Funktion u discontinuous. Im Deutschen haben sich dagegen die Begriffe “stetig” bzw. “unstetig” durchgesetzt.
Hans M. Dietz

Kapitel 12. Differenzierbare Funktionen

Zusammenfassung
Der Ableitungsbegriff ist zweifellos einer der wichtigsten im Thema “reelle Funktionen”. Aus der Schulmathematik wird damit zunächst immer der Anstieg einer Tangente an den Graphen einer Funktion assoziiert. Wir werden sehen, dass die Bedeutung der Ableitung weit über diese Interpretation hinausgeht. Das gilt insbesondere mit Blick auf die Ökonomie, in der oft gefragt wird, wie sich kleinste Änderungen von Inputgrößen auf den Output auswirken.
Hans M. Dietz

Kapitel 13. Monotone Funktionen

Zusammenfassung
Die folgenden Bilder zeigen Beispiele für Graphen reeller Funktionen, die sich in ihrem Wachstumsverhalten unterscheiden.
Hans M. Dietz

Kapitel 14. Konvexe Funktionen

Zusammenfassung
Je nach Art der Krümmung könnte man die Bezeichnungen “konvex”, “konkav” (jeweils in striktem Sinne), “beides” bzw. “weder-noch” vergeben. In ökonomischem Kontext ist das Krümmungsverhalten äußerst wichtig. Zugespitzt formuliert: “Ohne Konvexität kein Markt!”.
Hans M. Dietz

Kapitel 15. Extremwertprobleme

Zusammenfassung
Angenommen, ein Unternehmen kann beim Absatz von x Mengeneinheiten eines Gutes X einen Gewinn in Höhe von G(x) Geldeinheiten erzielen.
Hans M. Dietz

Kapitel 16. Integralrechnung

Zusammenfassung
Viele Autofahrer wissen, dass der werksseitig angegebene sogenannte Durchschnittsverbrauch ihres Pkw nur eine Rechengröße ist. In Abhängigkeit von Wetter, Fahrsituation und anderen Faktoren kommt es jedoch auf den Momentanverbrauch an. Dieser ist insbesondere im Winter bei einem Kaltstart besonders hoch – er kann z.B. in der Größenordnung von 40 l/100km liegen – und pegelt sich erst nach einigen gefahrenen Kilometern, wenn der Motor Betriebstemperatur erreicht hat, in der Nähe des Normwertes ein.
Hans M. Dietz

Kapitel 17. Reelle Funktionen in der Ökonomie

Zusammenfassung
In diesem Abschnitt wollen wir der Frage nachgehen, in Gestalt welcher mathematischen Eigenschaften sich ökonomische Anforderungen an Produktions-, Kosten- und andere Funktionen widerspiegeln. Dabei ist es grundsätzlich Angelegenheit des Anwenders – also des bzw. der Ökonomen –, zu entscheiden, über welche ökonomischen Eigenschaften solche Funktionen verfügen sollen. Wir leisten hier lediglich Hilfe bei der “Übersetzung” der ökonomischen in mathematische Eigenschaften (und zurück). Einmal in die Sprache der Mathematik übersetzt, können ökonomische Funktionen mathematisch untersucht und daraus weitergehende Schlüsse gezogen werden.
Hans M. Dietz

Methodisches

Frontmatter

Kapitel 18. Mathematik “lesen”

Zusammenfassung
Wir wollen uns in diesem Kapitel nun ein wenig intensiver mit dem Lesen “von Mathematik” beschäftigen. Betrachten wir als Beispiel diese Passage.
Hans M. Dietz

Kapitel 19. Anhang I: Begründungen

Zusammenfassung
Begründung von Satz 3.55: Wie wir in Abschnitt 3.4, Punkt Polynomdivision, sahen, ergibt jede Division von P(x) durch (xz) eine Darstellung der Form.
Hans M. Dietz

Kapitel 20. Anhang II: Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben

Zusammenfassung
Teil-Lösung zu Aufgabe 1.17:
a) falsch
b) falsch
c) richtig
Hans M. Dietz

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