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Über dieses Buch

Dieses Buch entwickelt verständlich und gut nachvollziehbar diejenige Mathematik, die für ein erfolgreiches Studium der Wirtschaftswissenschaften unverzichtbar ist. Hierbei wird die mathematische Darstellung stets durch ökonomische Anwendungen motiviert. Zahlreiche farbige Abbildungen und Übersichten visualisieren den Stoff; ausführliche Erläuterungen und Übungsaufgaben helfen, ihn zu verstehen und zu beherrschen.

Der zweite Band behandelt grundlegende Themenbereiche der linearen Algebra und der linearen Optimierung mit einem Ausflug in die mathematische Modellierung ökonomischer Probleme. Themen wie Matrizen, Vektoren und lineare Gleichungssysteme gehören ebenso dazu wie Systeme linearer Ungleichungen und die grafische und rechnerische Lösung von linearen Optimierungsproblemen. Für Wirtschaftswissenschaftler besonders interessant ist, dass hierbei alle benötigten Operationen für Matrizen und Vektoren aus ökonomischen Fragestellungen heraus entwickelt werden.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Lineare Algebra

Frontmatter

Kapitel 1. Matrizen

“Matrizen” sind ein Gegenstand der Mathematik, der manchem Leser bereits sehr vertraut sein mag, denn die sogenannte “Matrizenrechnung” ist bereits seit dem 19. Jahrhundert bekannt und wird in vielen Mathematik- Leistungskursen an Gymnasien vermittelt. Wir wollen uns hier jedoch einmal auf den Standpunkt stellen, es handele sich um ein völlig unbekanntes Gebiet (der Leser kann aushilfsweise versuchen, alles zuvor darüber Gelernte zu vergessen). Der Grund für unsere unbelastete Sichtweise ist folgender: Wir werden dadurch nachvollziehen können, warum und wie Mathematik entsteht – und zwar genau so, wie “wir Ökonomen” sie brauchen.
Hans M. Dietz

Kapitel 2. Modellierungs- und Problembeispiele

In diesem Kapitel wollen wir eine Verbindung zwischen “unserer” Theorie der Matrizen und beispielhaften ökonomischen Problemen herstellen. Das Ziel ist dabei ein doppeltes.
Hans M. Dietz

Kapitel 3. Vektoren

Im vorangehenden Kapitel destillierten wir aus zahlreichen ökonomischen Beispielen Mathematisches: Wir entwickelten den Begriff der Matrix sowie sämtliche Rechenoperationen für Matrizen als mathematische Abstraktionen ökonomischer Inhalte. Einen Vorteil solcher Abstraktionen lernten wir bereits kennen: Durch Konzentration auf das Wesentliche können wir die notwendigen Berechnungen schneller und sicherer bewältigen. Ein weiterer Vorteil der Abstraktion ist es, dass die abstrakten Begriffe, einmal geschaffen, völlig andersartig interpretiert werden können als ursprünglich und auf diese Weise neue Ideen und Lösungsansätze entstehen.
Hans M. Dietz

Kapitel 4. Lineare Räume

Dieses Kapitel ist aus gutem ökonomischem Grund ein “mathematisches”. Es ist an der Zeit, die Frage zu beantworten, was den vielen bereits betrachteten Beispielen gemeinsam ist. Das Ziel dabei ist erstens, eine möglichst einheitliche einfache “Sprache” zur Formulierung von Problemen zu finden. Dazu werden einige neue mathematische Begriffe wie “linearer Raum”, “linear unabhängig” oder “Basis” eingeführt. Zweitens – und womöglich interessanter – ist es, dass diese Vereinfachungen den Blick frei machen werden für einige verblüffend einfache Problemlösungen.
Hans M. Dietz

Kapitel 5. Lineare Gleichungssysteme

Der Begriff “lineares Gleichungssystem” ist uns bisher bereits bei zahlreichen ökonomischen Fragestellungen begegnet, so z.B. bei der Bestimmung von
Hans M. Dietz

Kapitel 6. Konvexe Mengen und lineare Ungleichungen

Diese können hinsichtlich ihrer äußeren Form in zwei Gruppen eingeteilt werden: Solche, die durchweg “nach außen gewölbt” (genauer: “nirgends nach innen gewölbt”) sind, und andere, die über “Einwölbungen nach innen” verfügen. Die ersteren wollen wir – in Anlehnung an die im Bild dargestellte Linse – konvex nennen, die übrigen nicht konvex.
Hans M. Dietz

Kapitel 7. Einfache lineare Optimierung

Von “linearer Optimierung” spricht man, vereinfacht gesagt, immer dann, wenn die Lösung eines linearen Ungleichungssystems mit der Aufgabe verbunden wird, eine lineare Funktion zu maximieren oder zu minimieren. Probleme dieser Art treten in der Praxis, vor allem in der Wirtschaft, in nahezu unendlicher Vielfalt auf. Deswegen hat sich seit etwa Mitte des 20. Jahrhunderts eine eigene mathematische Theorie dafür etabliert. Ihre Darstellung würde den Rahmen dieses Buches bei weitem sprengen; wir wollen aber zumindest einige grundlegende Ideen und Lösungstechniken vermitteln.
Hans M. Dietz

Kapitel 8. Determinanten und Anwendungen

Unsere erste Begegnung mit dem Begriff “Determinante” hatten wir im Beispiel 18.49, als wir uns fragten, ob – und gegebenenfalls wie – eine beliebige (2, 2)−Matrix A invertierbar sei. Wir sahen, dass die nach der “Kreuzregel” berechnete Zahl.
Hans M. Dietz

Kapitel 9. Quadratische Formen und Definitheit

Das gewöhnliche Skalarprodukt im ℝn, so wie wir es im Abschnitt 20.5 einführten.
Hans M. Dietz

Kapitel 10. Anhang I: Begründungen

Obwohl das Assoziativgesetz plausibel erscheint – und damit für den Anfang geglaubt werden mag, soll hier gezeigt werden, wie es sich formal beweisen ließe. Wir betrachten daher drei verkettete Matrizen A,B,C wie oben. Um zu zeigen, dass A(BC) und (AB)C gleich sind, macht man sich zunächst klar, dass der erste Ausdruck als AU, der zweite als V C gelesen werden kann, wobei U := BC und V := AB zu setzen sind.
Hans M. Dietz

Kapitel 11. Anhang II: Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben

Ergänzt man den Lösungsablauf dahingehend, dass wirklich jeweils nur eine einzelne Umformung vorgenommen wird, die ihrerseits auf einer einzelnen Regel beruht, gelangt man z.B. zu folgendem Ablauf.
Hans M. Dietz

Backmatter

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